理论教学传统实验与“有限元分析”有机结合的探索与研究

1、理论教学传统实验与“有限元分析”有机结合的探 索与研究摘 要：“有限元分析”是工程领域进行数值计算的极为 重要的方法之一。为使学生掌握有限元方法的基本原理和编程技 巧，更好地应用有限元分析这一强有力的数值计算工具，文章将理论分析、传统实验与计算机数值模拟有机结合，结合工程应用 的具体实践，在有限元教学中不断渗透学科发展的前沿知识，从教学方式、内容选择、实验设计等几个方面作了一系列探索。有限元分析是工程领域进行数值模拟极为重要的手段，已成为工程设计及分析的最重要工具之一，有限元分析的数值方法、 分析解法与实验研究已成为现代工程科学的三大支柱，在现代土木工程中得到了非常广泛的应用。有限元方法成本较

2、低，适用 范围宽，可以获得几乎任意复杂工程结构的各种机械性能信息， 还可以直接就工程设计进行各种评判， 可以就各种工程事故进行 技术分析。力学分析的软件化，使得对结构或机构做力学分析变 得大为简单，一般的力学分析不再需要专门的力学人才去完成。 有限元方法是有限元分析的理论基础， 是求解各种复杂数学物理 问题的重要方法，也是进行可行性研究的重要工具。 掌握有限元 方法的基本原理和编程技巧，更好地应用有限元分析这一强有力 的数值计算工具，成为各高校工程类大学生的学习内容和要求。一、教学方法的探索有限元法是土木工程本科生接触到的唯一数值计算方法， 也 是当前应用最广泛的方法。 有限元法通过离散与组合

3、， 可以适应 弹性体的任意边界形状， 材料性质及荷载分布等复杂性， 非常适 合于编制计算机程序， 得到了极其广泛的应用和发展。 然而虽然 有限元方法的基本思想和原理是“简单”而又“朴素”的，但 “有限元方法及程序设计”课程却又综合了力学理论、矩阵分 析、数值计算、工程结构等多方面的知识。“数理原理+软件工具+应用对象”是有限元分析这门课的三个主要特征。由于其所 涉及到的数学力学知识往往使初学者望而生畏， 探讨合理的教学 模式成为有限元课程的首要任务。兴趣是最好的老师。注重对学生兴趣的激发、能力的培养， 这是教学的关键。 借助于目前多媒体计算机辅助教学， 为充分调 动学生学习的兴趣， 增加课堂学

4、习的趣味性， 运用教学演示实例， 介绍有限元方法在各个领域的应用， 从工程实际中选出具有典型 代表意义和较大覆盖面的实例作为教学素材， 增强学生的感性认 识。同时为学生介绍一些目前国际通用的有限元分析软件， 这些 软件一般包括前处理、 后处理及计算三大块。 多数大型通用软件 的后处理可以用应力云图、 变形云图显示构件或结构的应力、 应 变分布，同时鼓励他们熟悉其中的某种软件。比如 Ansys 软件， 作为一个大型通用的有限元程序， 其功能已为全世界公认。 该程 序最为显著特点是加入交互式操作方式， 即能在分析前用交互式 图形验证模型的几何形状， 材料及边界条件， 分析之后又能立即 用图形交互地

5、检查分析结果。 这必然让学生对所学的理论知识有 了兴趣。研究性学习也是被大力推广的一种学习方法， 实践证明可以 有效地改变学生在传统课程承载的知识面前的被动局面。 有限元 分析实现的最后载体是经技术集成后的有限元分析软件， 但能够 使用和操作有限元分析软件， 并不意味着掌握了有限元分析这一 复杂的工具。对同一问题，使用同一种有限元软件，不同的人会 得到完全不同的计算结果， 如何来评判计算结果的有效性与准确 性，是各类工程技术人员不得不面临的重要问题。 只有在掌握了 有限元分析基本原理的基础上，才能真正理解有限元方法的本 质，应用有限元方法及其软件系统来分析解决实际问题， 以获得 正确的计算结果

6、。 针对学生中认为只要掌握了通用软件， 就不必 再学习有限元基础理论的思想，我们精心选择了例题、习题，让 不同小组的学生应用相同的软件， 却采用各种不同的单元， 相同 的单元却不同的网格数量进行计算， 得到不同的结果后， 进行分 析讨论。其解析解、采用两种单元的计算结果，如表 1 所示。由表 1 中计算结果进行比较，选用普通 4 节点单元网格 1， 与解析解相比， j 点位移误差在载荷 A 与载荷 B 情况下均为 31.9 ；i 点弯曲应力误差均为 27.3 。但是选用更密的网格后， 与解析解相比 j 点位移误差、 i 点弯曲应力误差均有下降，分别 为 29.4 与 27 。采用 Wilson

7、 4 节点非协调单元增加内部自由 度后，误差大幅下降，有限元分析结果与解析解非常接近，说明Wilson 4 节点非协调单元对精度的改进效果是相当好的。由此 可见，单元选择的不同，直接影响到计算结果的正确与否。就如 何来进行单元的划分、选择，如何来提高计算的精度，减少计算 的时间等等具体问题的讨论， 可以使学生在学习中不断提高了对 理论的理解， 不断提高有限元软件的应用能力， 善于解决以后工 作中遇到的实际问题。承前启后，融会贯通， 是有限元教学的又一特点。 在此之前， 学生已学习了材料力学、结构力学、弹性力学、矩阵运算等，为 此，首先引导学生回忆弹性力学中按位移求解的方法， 引出工程 实践中广

8、泛存在的连续体偏微分方程无法求出其精确解的问题， 进而培养学生运用离散化思想分析问题的新途径， 通过计算机程 序或大型工程有限元分析软件求出问题的近似解 （有限元解 ） 。在 平衡方程的建立过程中， 结合材料力学、 结构力学中已掌握的杆 系结构虚功原理、能量原理，介绍最小势能原理及其变分。涉及 到单元刚度矩阵时， 启发学生在矩阵位移法单刚的基础上理解三 角形单元刚度矩阵的性质， 理解矩阵奇异性的含义， 及对如何消 除奇异性展开讨论，以引出后续内容等等。二、教学内容的选择 理论力学、材料力学和结构力学为土木工程中结构构件的力 学模型建立、变形和受力分析奠定基础。然而在实际工程中，研 究对象的几何

9、形状、 所受的荷载和约束条件都很复杂， 能求出理 论解析解的工程问题极少。 在学习“三大力学”过程中， 学生容 易产生理论与实际脱节、 工程应用困难的印象。而且目前“三大 力学”的教学内容很少反映现代力学发展的新成果和计算手段 在工程实践中的应用，并且实践性环节薄弱，课程设计、学习小 论文和工程实践少，不利于培养学生的创新能力。 但借助于计算 机，有限元分析能给出结构构件的应力、 变形及位移的数值结果， 可以是数据、曲线或图像，直观明了，信息丰富，克服了“三大 力学”中力学概念抽象和复杂的缺点。有限元法涉及内容包括数学力学基础、 软件工具和工程应用 等三个方面。有限元方法理论研究及其工程应用领

10、域在不断发 展，教学内容不断丰富，因此在教学过程中必须根据专业的不同， 突出教学重点，从课堂教学、上机操作、工程实践等多方面人手， 从教学内容方面对“有限元方法”课程进行改革。在兼顾理论教学的同时，着重加强培养学生的实际应用能力，将有限元方法的基本理论与实际工程紧密结合起来，发挥多媒体教学直观、 互动的特点，提高了学生的学习积极性， 既让学生了解有限元方 法的起源以及发展历程，又要由浅入深，让学生掌握典型的一维 杆系结构、二维弹性力学平面问题、板壳单元、三维实体单元等 构造，并从变分原理、矩阵位移法角度详细讨论有限元方法的单 元离散问题。从线性静力有限元分析出发，至U动力问题。让学生 对有限元

11、结构分析基本原理、计算公式和计算步骤有较深的理 解。为此，精讲平面问题的弹性力学经典理论和有限元法求解平 面问题的基本原理及计算步骤， 使学生能够真正理解弹性力学的 研究方法和有限元数值求解的步骤。 有限元软件工具采用能够编 制，dat文件的FEAP与在土木工程领域应用广泛的 ANSY激件 系统相结合， 教学演示与自主建模相结合， 精心设计上机操作的 内容，让学生在较短的时间内熟练掌握有限元软件的使用方法。 有限元法的内容与工程应用是紧密相关的， 从工程实践中精选有 代表性的实例，让学生练习建模分析，会收到良好的教学效果。加强学生的基础训练， 从“数值分析”人手， 使学生在理解 有限元的数学力

12、学基础上， 着重于方法论的融会贯通。 有限元结 构分析程序是把有限元结构分析理论和方法通过算法与应用计 算机实现计算过程的连接纽带， 有限元程序是实现有限元计算应 用的关键。为达到对有限元结构分析方法的基本原理及公式更全 面的了解， 掌握有限元解题方法的步骤， 我们采用以人为本的上 机实践，提供有限元程序框图及大部分或全部有限元程序功能模 块，并对程序进行讲解说明， 要求学生分工编写或改写部分子程 序，形成完整的有限元程序。 上机操作以完成程序的连接调试工 作，以培养阅读和编写有限元程序的能力， 较好地掌握和使用程 序，适应所给出新问题为要求。通过上机实践， 不仅能加深学生对理论知识的理解，

13、培养学 生的实际动手能力，尤为重要的是，只有通过上机实践，学生才 能真正投入到有限元分析的过程中来， 并在使用中发现问题， 独 立或在教师的帮助下分析问题，最终具备独立解决问题的能力。 对于课程教学计划中有限的上机学时，除加强上机实习的监管 外，注重对学生一对一的上机辅导， 鼓励学生独立完成案例分析 和进行课外的上机操作练习， 使本科生应用有限元方法进行结构 分析成为可能。三、教学实验的设计有限元方法课程的目标是让学生掌握和应用有限元方法， 为 今后用该方法分析和解决工程实际问题打下一个良好的基础。 显 然，该课程的教学与工程实际是紧密相关的。为此，笔者设计了 模拟二层楼房的双层刚架的静动态综

14、合性实验装置， 它集中了几 类基本受力构件，如受弯构件 （板和梁 ） 、拉压构件 （柱），并通过 刚结点将各类构件连成整体。 此结构具有良好的韧性， 抗振能力 强，在弹性范围内摆动多次都不破坏，适合教学实验。且可通过 更换柱的高度和增多、 减少板梁的个数来研究一个或多个自由度 体系，如图2所示。刚架每层高110mm柱材料为弹簧刚片，弹 性模量E为206GPa柱宽10mm厚0.8 mm,设计的准则是保证 刚架受 2 公斤以下的力激振时， 左右摆动弹簧刚片不会产生塑性 变形，始终保持弹性状态。模拟楼板材料为铝板，规格为 130mrhC 130mM 12mm在刚架的顶层中心开一个直径为8 mm的孔，

15、用以做实验时更换不同大小的附加质量块， 板梁和柱的接触 面先用环氧树脂粘贴， 再用螺钉紧固， 以保证板梁和柱为刚结点 结合。在刚架的底层楼板中心开一个直径为 8mm的孔，用以和基 础板槽钢紧固。实验装置由基础底板、刚架、激振器、激振器夹 具、激振信号源、动静态应变仪和和分析系统等组成，如图 3 所 示。对此结构，指导学生运用有限元法进行数值模拟， 编写程序, 最后用应力云图、变形云图显示结构的应力、应变分布等；再通 过实验测试，及应用传统的结构力学进行计算， 最后写出实验报 告，比较讨论各种结果，培养学生善于发现问题，探索及解决问 题的能力及创新精神，进一步加强对传统理论、实验数据、有限 元分析的理解与应用。论教学、传统实