双曲线及其标准方程(带动画)很好[高教课堂]

1、 1教学运用 巴西利亚大教堂巴西利亚大教堂北京摩天大楼北京摩天大楼 法拉利主题公园法拉利主题公园 花瓶花瓶 2教学运用 1.回顾椭圆的定义？回顾椭圆的定义？ 1 F 2 F 0, c 0, cX Y O yxM, 探索研究 平面内与两个定点平面内与两个定点F1、F2的的 距离的和距离的和等于常数（大于等于常数（大于 F1F2）的点轨迹叫做椭圆。）的点轨迹叫做椭圆。 思考：如果把椭圆定义中的“距离之和”改为“距 离之差”，那么动点的轨迹会是怎样的曲线？ 即“平面内与两个定点F1、F2的距离的差等于常数 的点的轨迹 ”是什么？ 3教学运用 画双曲线画双曲线 演示实验：用拉链画双曲线演示实验：用拉链

2、画双曲线 4教学运用 5教学运用 根据实验及椭圆定义，你能给双曲线下定义吗？根据实验及椭圆定义，你能给双曲线下定义吗？ 6教学运用 两个定点两个定点F1、F2双曲线的双曲线的焦点焦点; |F1F2|=2c 焦距焦距. o F2 2F1 1 M 平面内平面内与两个定点与两个定点F1，F2的距离的差的距离的差的绝对值的绝对值 等于常数等于常数（小于（小于F1F2)的点的轨迹叫做的点的轨迹叫做双曲线双曲线. 2、双曲线定义、双曲线定义 |MF1| - |MF2|=常数（小于常数（小于|F1F2|） 注意注意 | |MF1| - |MF2| | = 2a (1)(1)距离之差的距离之差的绝对值绝对值

3、(2)(2)常数要常数要小于小于|F|F1 1F F2 2| |大于大于0 002a2c 符号表示：符号表示： 7教学运用 【思考思考2】说明在下列条件下说明在下列条件下动点动点M的轨迹各是什么图形？的轨迹各是什么图形？ （F1、F2是两定点是两定点, |F1F2| =2c (0a2c，动点，动点M的轨迹的轨迹 . 8教学运用 |MF|MF1 1| |MF|MF2 2|=|F|=|F1 1F F2 2| |时，时，M M点一定在上图中的射线点一定在上图中的射线F F1 1P P， F F2 2Q Q 上，此时点的轨迹为两条射线上，此时点的轨迹为两条射线F F1 1P P、F F2 2Q Q。

4、常数大于常数大于|F|F1 1F F2 2 | |时时 常数常数等于|F|F1 1F F2 2| |时时 |MF|MF1 1| |MF|MF2 2| |F| |F1 1F F2 2| | F F2 2F F1 1 P P M Q Q M 是不可能的，因为三角是不可能的，因为三角 形两边之差小于第三边。此时无轨迹。形两边之差小于第三边。此时无轨迹。 此时点的轨迹是线段此时点的轨迹是线段F F1 1F F2 2的垂直平的垂直平 分线。分线。 则则|MF|MF1 1|=|MF|=|MF2 2| | F1F2 M 常数等于常数等于0 0时时 若常数若常数2a= |MF2a= |MF1 1| |MF|M

5、F2 2| =0| =0 9教学运用 4) 3() 3() 1 ( 2222 yxyx 5) 3() 3() 2( 2222 yxyx 6)3()3()3( 2222 yxyx 方程表示的曲线是双曲线方程表示的曲线是双曲线 方程表示的曲线是双曲线的右支方程表示的曲线是双曲线的右支 方程表示的曲线是方程表示的曲线是x轴上分别以轴上分别以F1和和F2为端点，为端点， 指向指向x轴的负半轴和正半轴的两条射线。轴的负半轴和正半轴的两条射线。 练习巩固练习巩固: : 10教学运用 x y o 设设M（x , y）,双曲线的焦双曲线的焦 距为距为2c（c0）,F1(-c,0),F2(c,0) F1 F2

6、M 即即 (x+c)2 + y2 - (x-c)2 + y2 = + 2a_ 以以F1,F2所在的直线为所在的直线为X轴，轴， 线段线段F1F2的中点为原点建立直角坐的中点为原点建立直角坐 标系标系 1. 建系建系. . 2.设点设点 3.列式列式|MF1| - |MF2|= 2a 如何求这优美的曲线的方程？如何求这优美的曲线的方程？ 4.4.化简化简. . 3.3.双曲线的标准方程双曲线的标准方程 11教学运用 2222 (xc)y(xc)y2a 22 2222 ( (xc)y )( (xc)y2a) 222 cxaa (xc)y 22222222 (ca )xa ya (ca ) 令令c

7、c2 2a a2 2=b=b2 2 22 22 xy 1 ab y o F1 M 12教学运用 1 2 2 2 2 b y a x 1 2 2 2 2 b x a y F2 2F1 1 M x O y O M F2 F1 x y 222 (00)=abab，并c且 双曲线的标准方程双曲线的标准方程 焦点在焦点在x轴上轴上 焦点在焦点在y轴上轴上 13教学运用 双曲线定义及标准方程双曲线定义及标准方程 222 bac | |MF1|- -|MF2| | =2a（ 2a0，b0，但，但a不一不一 定大于定大于b，c2=a2+b2 ab0，a2=b2+c2 |MF1|MF2|=2a |MF1|+|M

8、F2|=2a 椭椭 圆圆 双曲线双曲线 F（0，c）F（0，c） 22 22 1(0) xy ab ab 22 22 1(0) yx ab ab 22 22 1(0,0) xy ab ab 22 22 1(0,0) yx ab ab 16教学运用 判断：判断： 与与 的焦点位置？的焦点位置？ 22 1 1 69 xy 22 1 916 yx 思考：如何由双曲线的标准方程来判断它的焦点思考：如何由双曲线的标准方程来判断它的焦点 是在是在X X轴上还是轴上还是Y Y轴上？轴上？ 结论：结论：看看 前的系数，哪一个为正，则前的系数，哪一个为正，则 焦点在哪一个轴上。焦点在哪一个轴上。 22 , yx

9、 17教学运用 22 (2)33 a= b= c= xy则焦点坐标为 1.已知下列双曲线的方程：已知下列双曲线的方程： 22 (1)1 a= b= c= 916 yx 则焦点坐标为 345 (0,-5),(0,5) 312 (-2,0),(2,0) 18教学运用 19教学运用 课本例课本例2 20教学运用 (1)a=4,b=3,焦点在焦点在x轴上轴上; (2)焦点为焦点为F1(0,-6),F2(0,6),过点过点M(2,-5) 利用定义得利用定义得2a= |MF|MF1 1| |MF|MF2 2| 4 10 3 (3)a=4,(3)a=4,过点过点(1, )(1, ) 21教学运用 15 (4

10、)P(- 2,- 3)Q(, 2). 3 焦点在x轴上，且过， 15 (4)P(- 2,- 3)Q(, 2). 3 变式：过， 22 1(0,0)mxnymn由题可设双曲线的方程为： 22 1(0)mxnymn由题可设双曲线的方程为： 22教学运用 例例3 3，证明椭圆，证明椭圆 与双曲线与双曲线x x2 2-15y-15y2 2=15=15的焦点相同的焦点相同 变式变式: :上题的椭圆与双曲线的一个上题的椭圆与双曲线的一个 交点为交点为P P，求，求|PF|PF1 1| | x2 25 + y2 9 =1 23 1 416 22 yx 23教学运用 例例：已知圆已知圆C1：(x+3)2+y2

11、=1和圆和圆C2：(x-3)2+y2=9， 动圆动圆M同时与圆同时与圆C1及圆及圆C2相外切，求动圆圆心相外切，求动圆圆心M的轨的轨 迹方程迹方程 解：设动圆解：设动圆M与圆与圆C1及圆及圆C2分别外切于点分别外切于点A 和和B，根据两圆外切的条件，根据两圆外切的条件， |MC1|-|AC1|=|MA|,|MC2|-|BC2|=|MB| 这表明动点这表明动点M与两定点与两定点C2、C1的距离的差是常数的距离的差是常数2根根 据双曲线的定义，动点据双曲线的定义，动点M的轨迹为双曲线的左支的轨迹为双曲线的左支(点点M与与C2 的距离大，与的距离大，与C1的距离小的距离小)，这里，这里a=1，c=3

12、，则，则b2=8，设点，设点M 的坐标为的坐标为(x，y)，其轨迹方程为：，其轨迹方程为： 轨迹问题轨迹问题 24教学运用 变式训练： 已知已知B（-5，0），），C（5，0）是三）是三 角形角形ABC的两个顶点，且的两个顶点，且 3 sinsinsin, 5 BCA 求顶点求顶点A的的轨迹方程。轨迹方程。 3 sinsinsin, 5 BCA 解：在解：在ABCABC中，中，|BC|=10|BC|=10， 33 10610 55 ACABBC 故顶点故顶点A的轨迹是以的轨迹是以B、C为焦点的双曲线的左支为焦点的双曲线的左支 又因又因c=5，a=3，则，则b=4 1 (3) 916 xy x

13、2222 则顶点则顶点A的轨迹方程为的轨迹方程为 25教学运用 解：由双曲线的定义知点解：由双曲线的定义知点 的轨迹是双曲线的轨迹是双曲线.因因 为双曲线的焦点在为双曲线的焦点在 轴上，所以设它的标准方程轴上，所以设它的标准方程 为为 所求双曲线的方程为：所求双曲线的方程为： 222 3 ,25 9 16 5 a bca c 2c=10 由已知 2a=6 22 1 916 xy 变变2：已知：已知 , 动点动点 到到 、 的的 距离之差的绝对值为距离之差的绝对值为6，求点，求点 的轨迹方程的轨迹方程. 12 ( 5,0),(5,0)FF P1 F 2 F P P 22 22 1(0,0) xy

14、 ab ab x 26教学运用 小结小结 -双曲线定义及标准方程双曲线定义及标准方程 222 bac | |MF1|- -|MF2| | =2a（ 2a|F1F2|） F ( c, 0) F(0, c) 1 2 2 2 2 b y a x 1 2 2 2 2 b x a y y xo F2F1 M x y F2 F1 M 27教学运用 解：解： (1)(2)0mm12mm或 10 3 2012 2 12 m mmm mm 且 1.已知方程已知方程 表示椭圆，则表示椭圆，则 的取值范围是的取值范围是_. 22 1 12 xy mm m 若此方程表示双曲线，若此方程表示双曲线， 的取值范围？的取值范围？m 解：解： 当堂训练：当堂训练： 2“ab0”是方程是方程 ax2by21 表示双曲线表示双曲线 的（的（ ）条件）条件 A必要不充分必要不充分 B充分不必要充分不必要 C充要充要 D既不充分也不必要既不充分也不必要 C 28教学运用 例例3 29教学运用 30教学运用 【名师点评名师点评】双曲线的定义是解决与双曲线有关的问题双曲线的定义是解决与双曲线有关的问题 的主要依据，在应用时，一是注意条件的主要依据，在应用时，一是注意条件|PF1|PF2| 2a(02a|F1F2|)的使用，二是注意与三角形知识相结合，的使用，二是注意与三角形知识相结合，