力学习题课 哈尔滨工程大学孙秋华课件[高教课堂]

1、Harbin Engineering University 孙秋华孙秋华 一一 理解理解描写刚体定轴转动的物理量，并描写刚体定轴转动的物理量，并掌握掌握角量角量 与线量的关系与线量的关系. 二二 理解理解力矩和转动惯量概念，力矩和转动惯量概念，掌握掌握刚体绕定轴转刚体绕定轴转 动的转动定律动的转动定律. 三三 理解理解角动量概念，角动量概念，掌握掌握质点在平面内运动以及质点在平面内运动以及 刚体绕定轴转动情况下的角动量守恒问题刚体绕定轴转动情况下的角动量守恒问题. 能运用以上规律分析和解决包括质点和刚体的简单能运用以上规律分析和解决包括质点和刚体的简单 系统的力学问题系统的力学问题. 四四 理

2、解理解刚体定轴转动的转动动能概念，能在有刚体刚体定轴转动的转动动能概念，能在有刚体 绕定轴转动的问题中正确地应用机械能守恒定律绕定轴转动的问题中正确地应用机械能守恒定律 Harbin Engineering University 孙秋华孙秋华 一、基本概念一、基本概念 )t ()t ( 12 1 1、角位置矢量（描述刚体位置的物理量）、角位置矢量（描述刚体位置的物理量） (rad) 2 2、角位移矢量（描述刚体位置变动的物理量）、角位移矢量（描述刚体位置变动的物理量） 3 3、角速度矢量（描述刚体位置变动快慢的物理量）、角速度矢量（描述刚体位置变动快慢的物理量） dt d (rad.s-1)

3、Harbin Engineering University 孙秋华孙秋华 4 4、角加速度矢量（描述刚体运动状态变化的物理量）、角加速度矢量（描述刚体运动状态变化的物理量） dt d (rad.s-2) 5 5、转动惯量（描述刚体惯性的物理量）、转动惯量（描述刚体惯性的物理量） 2 1 i n i ir mI (kg.m2) 6 6、力矩（描述物体相互作用的物理量）、力矩（描述物体相互作用的物理量） FrM (N.m) Harbin Engineering University 孙秋华孙秋华 2 2 1 JEk vmrL （7）转动动能：）转动动能： （8）动量矩：）动量矩： JL （9）重力

4、势能：）重力势能： cp mghE 状态函数状态函数 Harbin Engineering University 孙秋华孙秋华 （10）力矩的功：）力矩的功： （11）冲量矩：）冲量矩： b a MdA 2 1 t t dtM 过程量过程量 二、基本定理和定律二、基本定理和定律 （1） 转动定律转动定律: dt Ld M （2） 动能定理动能定理: 2 1 2 2 2 1 2 1 JJA Harbin Engineering University 孙秋华孙秋华 （3）功能原理：）功能原理： 12 EEAA 内非外 （4）机械能守恒定律：）机械能守恒定律： 12 EE （6） 角动量守恒定律角动

5、量守恒定律 当当 时，有时，有 0M CJL ii 12 LLdtM （5）角动量定理：）角动量定理： Harbin Engineering University 孙秋华孙秋华 刚刚 体体 运动学运动学 动力学动力学 , 2 2 dt d dt d dt d tt dtddtd 00 2 1 2 1 2 2 1 2 0 2 2 0 0 tt t FrM 2 iir mJ J M 刚体刚体 2 1 2 2 2 1 2 1 JJA 系统系统12 EEAA 内非外 0 内内非非外外 WW 12 EE 12 JJdtM 外内外 或MMM 0 CJL ii Harbin Engineering Univ

6、ersity 孙秋华孙秋华 力力 学学 质点质点 刚体刚体 mFavrr, JM, 2 2 1 mvEvmP K 2 2 1 JEJL K MdAdtM sdFAdtFI m F a 12kk EEA 12 2 1 PPdtF t t 12kk EEA J M 12 2 1 LLdtM t t Harbin Engineering University 孙秋华孙秋华 1.一些物理量的计算一些物理量的计算 作业作业18. 有一半径为有一半径为R的圆形平板平放在水平桌面上，平板的圆形平板平放在水平桌面上，平板 与水平桌面的摩擦系数为与水平桌面的摩擦系数为 ，若平板绕通过其中心且垂直板，若平板绕通过

7、其中心且垂直板 面的固定轴以角速度面的固定轴以角速度0开始旋转，它将在旋转几圈后停止？开始旋转，它将在旋转几圈后停止？ Harbin Engineering University 孙秋华孙秋华 2.利用作用的效果解决问题利用作用的效果解决问题 作业作业17.如图所示，已知弹簧的倔强系数为如图所示，已知弹簧的倔强系数为k=20N/m，滑轮质，滑轮质 量量M=2kg，半径为，半径为R=0.1m，物体质量，物体质量m=1kg。开始时系统。开始时系统 静止，弹簧处于自然状态。求：当物体下落静止，弹簧处于自然状态。求：当物体下落 h=0.2m 时，物时，物 体速度的大小（设绳与轮间不打滑，忽略滑轮的摩擦

8、阻力）。体速度的大小（设绳与轮间不打滑，忽略滑轮的摩擦阻力）。 m Harbin Engineering University 孙秋华孙秋华 3. 力学的综合问题力学的综合问题 作业作业19.在光滑水平桌面上有个弹簧（其倔强系数为在光滑水平桌面上有个弹簧（其倔强系数为k），弹），弹 簧一端固定，另一端连接一个质量为簧一端固定，另一端连接一个质量为m的小球，如图。的小球，如图。 开始时，小球最初静止于开始时，小球最初静止于A点，弹簧处于自然状态点，弹簧处于自然状态l0。现。现 有一质量为有一质量为m1的子弹以速度的子弹以速度v0射入小球而不复出。求：射入小球而不复出。求： 此后当弹簧的长度为此后

9、当弹簧的长度为l时，小球速度大小和它的方向与弹时，小球速度大小和它的方向与弹 簧轴线的夹角。簧轴线的夹角。 Harbin Engineering University 孙秋华孙秋华 作业作业20. 质量为质量为M=0.03kg，长为，长为l=0.2m的均匀细棒，在一的均匀细棒，在一 水平面内绕通过棒中心并与棒垂直的光滑固定轴自由转动。水平面内绕通过棒中心并与棒垂直的光滑固定轴自由转动。 细棒上套有两个可以沿棒滑动的小物体，每个质量都为细棒上套有两个可以沿棒滑动的小物体，每个质量都为 m=0.02kg。开始时，两个小物体分别被固定在棒中心的两。开始时，两个小物体分别被固定在棒中心的两 侧且距棒中

10、心各为侧且距棒中心各为r=0.05m，此系统以，此系统以n1=15rev/min转速转转速转 动。若将小物体松开后，它们在滑动过程中受到的阻力正动。若将小物体松开后，它们在滑动过程中受到的阻力正 比于速度。求：（比于速度。求：（1）当两小物体到达棒端时，系统的角）当两小物体到达棒端时，系统的角 速度是多少？（速度是多少？（2）当两小物体飞离棒端，棒的角速度是）当两小物体飞离棒端，棒的角速度是 多少？多少？ Harbin Engineering University 孙秋华孙秋华 作业作业21. 一根放在水平光滑桌面上的匀质棒，可绕通过其一端一根放在水平光滑桌面上的匀质棒，可绕通过其一端 的竖直

11、固定光滑轴的竖直固定光滑轴O转动。棒的质量为转动。棒的质量为m=1.5kg，长度为，长度为 l=1.0m，对轴的转动惯量为，对轴的转动惯量为J=ml2/3。初始时棒静止。今有一。初始时棒静止。今有一 水平运动的子弹垂直地射入棒的另一端，并留在棒中，如图水平运动的子弹垂直地射入棒的另一端，并留在棒中，如图 所示。子弹的质量为所示。子弹的质量为m =0.020kg，速率为，速率为v=400m/s。试问：。试问： （1）棒开始和子弹一起转动时角速度）棒开始和子弹一起转动时角速度有多大？（有多大？（2）若棒转）若棒转 动时受到大小为动时受到大小为Mr=4.0Nm的恒定阻力矩作用，棒能转过多大的恒定阻力

12、矩作用，棒能转过多大 角度？角度？ o m v Harbin Engineering University 孙秋华孙秋华 作业作业22. 质量为质量为M，长度为，长度为l的均匀细棒，可绕垂直于棒的的均匀细棒，可绕垂直于棒的 一端的水平轴一端的水平轴O无摩探地转动，它原来静止在平衡位置上无摩探地转动，它原来静止在平衡位置上 (如图如图)现有一质量为现有一质量为m的弹性小球沿水平方向飞来，正的弹性小球沿水平方向飞来，正 好垂直的与细棒的下端相撞相撞后，使棒从平衡位置摆好垂直的与细棒的下端相撞相撞后，使棒从平衡位置摆 到最大角度到最大角度 30o处。处。 (1)设碰撞为弹性碰撞试计算小球的初速设碰撞

13、为弹性碰撞试计算小球的初速v0的值；的值； (2)相碰时，小球受列的冲量有多大相碰时，小球受列的冲量有多大? Harbin Engineering University 孙秋华孙秋华 1.已知：已知：M1 、R的鼓形轮，的鼓形轮，M2、r的圆盘悬挂的圆盘悬挂m，两轮的顶，两轮的顶 点在同一水平面上。求：当重物由静止开始下降时，（点在同一水平面上。求：当重物由静止开始下降时，（1） 物体的加速度；（物体的加速度；（2）绳中张力。）绳中张力。 m M2,r M1,R 二、典型例题二、典型例题 Harbin Engineering University 孙秋华孙秋华 解得：解得： maTmg 1 1

14、 2 21 2 1 )(rMrTT 2 2 1 2 1 RMTR 21 Rra 解：由牛顿第二定律与转动定律解：由牛顿第二定律与转动定律 m M2,r M1,R T T1 mg21 2 2 MMm mg a 21 1 2MMm gmM T 21 21 1 2 )( MMm gMMmm T Harbin Engineering University 孙秋华孙秋华 2.质量为质量为M的匀质圆盘，可绕通过盘中心垂直于盘的固定光的匀质圆盘，可绕通过盘中心垂直于盘的固定光 滑轴转动，转动惯量为滑轴转动，转动惯量为 绕过盘的边缘挂有质量绕过盘的边缘挂有质量 为为m，长为，长为l的匀质柔软绳索（如图）设绳与

15、圆盘无相对的匀质柔软绳索（如图）设绳与圆盘无相对 滑动，试求：当圆盘两侧绳长之差为滑动，试求：当圆盘两侧绳长之差为S时，绳的加速度的大时，绳的加速度的大 小小 2 2 1 Mr s a 21 Harbin Engineering University 孙秋华孙秋华 解：选坐标如图所示，任一时刻圆盘两侧的绳长分别为解：选坐标如图所示，任一时刻圆盘两侧的绳长分别为x1、 x2 选长度为选长度为x1、x2的两段绳和绕着绳的盘为研究对象设的两段绳和绕着绳的盘为研究对象设a 为绳的加速度，为绳的加速度，为盘的角加速度，为盘的角加速度，r为盘的半径，为盘的半径， 为绳为绳 的线密度，且在的线密度，且在1、

16、2两点处绳中的张力分别为两点处绳中的张力分别为T1、T2，则，则 = m / l， x2 gT2 = x2 a T1x1 g = x1 a (T1T2 ) r = (M/2 r )r 2 ra s a 21 o x Harbin Engineering University 孙秋华孙秋华 解上述方程，利用解上述方程，利用l = rx1x2，并取，并取x2x1 = S 得得 : lMm Smg a ) 2 1 ( Harbin Engineering University 孙秋华孙秋华 3. 已知：已知：L=0.60m、M =1kg的，水平固定轴的，水平固定轴OO 。 m=1010-3kg，l

17、= 0.36m，v0 =500m/s，v =200m/s。 求求:（1）子弹给木板的冲量；）子弹给木板的冲量； （2）木板获得的角速度。）木板获得的角速度。 （已知：木板绕（已知：木板绕OO轴的转动惯量为轴的转动惯量为J=ML2/3） OO L l v0 v A Harbin Engineering University 孙秋华孙秋华 解解（1）由动量定理，得）由动量定理，得 sNmvmvI3)( 0 （2）由角动量守恒，得）由角动量守恒，得:Jmvllmv 0 3/ 2 MLJ 其中：其中：srad /9解得：解得： OO L l v0 v A Harbin Engineering Univ

18、ersity 孙秋华孙秋华 4. 已知：棒长已知：棒长2L，质量，质量m，以，以v0平动时，与支点平动时，与支点O发生完发生完 全非弹性碰撞。碰撞点为全非弹性碰撞。碰撞点为L/2处，如图所示。求棒在碰撞处，如图所示。求棒在碰撞 后的瞬时绕后的瞬时绕O点转动的角速度点转动的角速度。 v0 v0 O L/2 L/2 L Harbin Engineering University 孙秋华孙秋华 Lmvxvdmxvdm LL 0 2/ 0 0 2/3 0 0 2 1 解解: 碰前碰前 dx L m dm 2 其中其中 )( 21 JJ 2 2 ) 2 ( 223 1LL L m J 碰后碰后 L v

19、JJLmv 7 6 )( 2 1 0 210 v0 v0 O x dx 2 1 ) 2 3 ( 2 3 23 1LL L m J 解得解得: Harbin Engineering University 孙秋华孙秋华 5. 如图所示，已知：如图所示，已知：r，J0，m，G。 求：飞轮的角加速度。如果飞轮转过求：飞轮的角加速度。如果飞轮转过1角后，绳与杆轴脱离，角后，绳与杆轴脱离， 并再转过并再转过2角后，飞轮停止转动，求：飞轮受到的阻力矩角后，飞轮停止转动，求：飞轮受到的阻力矩G 的大小。（设飞轮开始时静止）的大小。（设飞轮开始时静止） G r m Harbin Engineering Univ

20、ersity 孙秋华孙秋华 解解:rmmaTmg 1 ) 1 ( 10 JGTr 2)2( 2 0 2 绳脱前绳脱前 11 2 20 绳脱后绳脱后 22 2 20 2 0 1 mrJ Gmgr G r m T gm Harbin Engineering University 孙秋华孙秋华 所以所以 1 2 1 2 而而 1 2 1 020 JJG 解得解得: 2 2 010 10 )( mrJJ mgrJ G Harbin Engineering University 孙秋华孙秋华 6. 空心圆环可绕空心圆环可绕AC竖直轴自由转动，如图所示。其转动惯竖直轴自由转动，如图所示。其转动惯 量为量为

21、J0，环的半径为，环的半径为R，初始角速度为，初始角速度为0。质量为。质量为m的小球，的小球， 原来静止放在原来静止放在A点，由于微小的干扰，小球向下滑动，设点，由于微小的干扰，小球向下滑动，设 圆环的内壁光滑。圆环的内壁光滑。 求求:小球滑到小球滑到B点时环的点时环的 角速度及小球相对环角速度及小球相对环 的速率。的速率。 A C B O Harbin Engineering University 孙秋华孙秋华 解解: )( 2 000 mRJJ )( 2 1 2 1 2 1 2222 0 2 00B vRmJmgRJ 其中其中: 2222 环对地环对地 vvR B 解得解得: 2 0 22

22、 00 2 mRJ RJ gRvB A C BO R R B v Harbin Engineering University 孙秋华孙秋华 7.一长为一长为l、质量为、质量为M的均质细棒，可绕水平轴的均质细棒，可绕水平轴O自由转动；自由转动； 另有一质量为另有一质量为m的小球与倔强系数为的小球与倔强系数为k的轻质弹簧相连的轻质弹簧相连(弹弹 簧的另一端固定簧的另一端固定)，静止在倾角为，静止在倾角为 的光滑斜面上，如图的光滑斜面上，如图 所示。若把细杆拉到水平位置后无初速地释放，当棒转到所示。若把细杆拉到水平位置后无初速地释放，当棒转到 偏离铅直位置角度偏离铅直位置角度 = 时，棒端与小球发生

23、完全弹性碰时，棒端与小球发生完全弹性碰 撞。求：撞。求： (1)碰撞后，小球沿斜面上升的最大位置碰撞后，小球沿斜面上升的最大位置xm； (2)碰撞后，棒能转到与铅直方向的最大夹角碰撞后，棒能转到与铅直方向的最大夹角 m。 m l Harbin Engineering University 孙秋华孙秋华 解：（解：（1）设棒与小球碰撞前的角速度为）设棒与小球碰撞前的角速度为 0（逆时针方向（逆时针方向 为正），由系统机械能守恒有为正），由系统机械能守恒有 2 0 2 1 cos 2 J l Mg 其中其中 : 2 3 1 MlJ l g J Mgl 0 cos3cos 设棒与小球碰撞后的角速度为

24、设棒与小球碰撞后的角速度为 1（顺时针方向为正），小球（顺时针方向为正），小球 速度为速度为v0（斜上方向为正），由系统角动量守恒、机械能守（斜上方向为正），由系统角动量守恒、机械能守 恒有恒有 0 mlvJJ 10 2 0 2 1 2 0 2 1 2 1 2 1 mvJJ Harbin Engineering University 孙秋华孙秋华 cos3 3 2 3 2 00 gl mM M l mM M v 由弹簧系统机械能守恒有由弹簧系统机械能守恒有: sin)( 2 1 2 1 2 1 2 0 2 0 2 0mm xmgxxkkxmv 小球碰撞前受力平衡有小球碰撞前受力平衡有sin 0

25、 mgkx k glm mM M v k m xm cos3 3 2 0 01 3 3 Mm Mm Harbin Engineering University 孙秋华孙秋华 （2）由细杆机械能守恒有）由细杆机械能守恒有 )cos1 ( 2 )cos1 ( 22 1 2 1m l gM l gMJ cos 3 3 coscos 2 2 1 Mm Mm Mgl J m cos )3( 12 arccos 2 Mm Mm m Harbin Engineering University 孙秋华孙秋华 8. 一杂技演员一杂技演员 M 由距水平跷板高为由距水平跷板高为 h 处自由下落到跷板的一处自由下落到

26、跷板的一 端端A,并把跷板另一端的演员并把跷板另一端的演员N 弹了起来弹了起来.设跷板是匀质的设跷板是匀质的,长度长度 为为l,质量为质量为m , 跷板可绕中部支撑点跷板可绕中部支撑点C 在竖直平面内转动在竖直平面内转动,演员演员 的质量均为的质量均为m.假定演员假定演员M落在跷板上落在跷板上,与跷板的碰撞是完全非与跷板的碰撞是完全非 弹性碰撞弹性碰撞.问演员问演员N可弹起多高可弹起多高? l l/2 CA B M N h 解解: 碰撞前碰撞前 M 落在落在 A点点 的速度的速度 21 M )2( ghv 碰撞后的瞬间碰撞后的瞬间, M、N 具有相同的线速度具有相同的线速度 2 l u Harbin Engineering University 孙秋华孙秋华 把把M、N和跷板作为一和跷板作为一 个系统个系统, 角动量守恒角动量守恒 21 M )(2gh v 2 l u 22 M 2 1 12 1 2 2 2 mllm l muJ l mv lmm ghm mllm lm )6( )2(6 212 2 21 22 M v 解得解得: 演员演员 N 以以 u 起跳起跳, 达到的高度达到的高度 h mm m g l g u h 2 222 ) 6 3 ( 82 l l/2 C