函数的对称性[讲课适用]

1、有些函数有些函数 其图像有着优美的对称性，其图像有着优美的对称性， 同时又有着优美的对称关系式同时又有着优美的对称关系式 1优选课堂 1-3-1-265432 -xx ( 1)(1)FF ( 2)(2)FF ()( )FxF x 78 0 x （偶函数）（偶函数） Y=F(x)图像关于直线图像关于直线x=0对称对称 知识回顾知识回顾 l从从”形形”的角度看，的角度看，l从从”数数”的角度看，的角度看， F(-x)=F(x) X Y 2优选课堂 1-3-1-26543278 2x ( )f x f(x)= f(4-x) f(1)= f(0)= f(-2)= f(310)= f(6) f(4-31

2、0) 0 x4-x Y=f(x)图像关于直线图像关于直线x=2对称对称 f(3) f(4) l从从”形形”的角度看，的角度看，l从从”数数”的角度看，的角度看， x y 3优选课堂 f(1+x)= f(3-x) f(2+x)= f(2-x) f(x)= f(4-x) 对于任意的对于任意的x 你还能得到怎样的等式？你还能得到怎样的等式？ l从从”形形”的角度看，的角度看，l从从”数数”的角度看，的角度看， Y=f(x)图像关于直线图像关于直线x=2对称对称 1-3-1-2654327 2x ( )f x 0 x4-x Y x 4优选课堂 -2-x 1-3-1-26543278 x=-1 f(x)

3、= f(-2-x) x 思考思考?若若y=f(x)图像关于直线图像关于直线x=-1对称对称 Y x 5优选课堂 -1+x-1-x 1-3-1-26543278 x=-1 f(-1+x)= f(-1-x) 思考思考?若若y=f(x)图像关于直线图像关于直线x=-1对称对称 f(x)= f(-2-x) Y x 6优选课堂 猜测：若猜测：若y=f(x)图像关于直线图像关于直线x=a对称对称 f(x)=f(2a-x) xa f(a-x)=f(a+x) 7优选课堂 xa 在在y=f(x)图像上任取一点图像上任取一点P 点点P关于直线关于直线x=a的对称点的对称点P 则有则有P的坐标应满足的坐标应满足y=

4、f(x) 也在也在f(x)图像上图像上 P(x0,f(x0) P P(2a-x0,f(x0) f(x0)=f(2a-x0) 即：即： f(x)=f(2a-x) x02a-x0 y=f(x)图像关于直线图像关于直线x=a对称对称 （代数证明）（代数证明） () 求证求证已知已知 y=f(x)图像关于直线图像关于直线x=a对称对称 f(x)=f(2a-x) 8优选课堂 xa 在在y=f(x)图像上任取一点图像上任取一点P 若点若点P关于直线关于直线x=a的对称点的对称点P 也在也在f(x)图像上图像上 P(x0,f(x0) P P(2a-x0,f(x0) f(x0)=f(2a-x0) f(x)=f

5、(2a-x) x02a-x0 y=f(x)图像关于直线图像关于直线x=a对称对称 （代数证明）（代数证明） () 已知已知求证求证 y=f(x)图像关于直线图像关于直线x=a对称对称 则则y=f(x)图像关于直线图像关于直线x=a对称对称 ? f(x)=f(2a-x) P在在f(x)的图像上的图像上 9优选课堂 ly=f(x)图像关于直线图像关于直线x=a对称对称 f(x)=f(2a-x) f(a-x)=f(a+x) ly=f(x)图像关于直线图像关于直线x=0对称对称 f(x)=f(-x) 特例：特例：a=0 轴对称性轴对称性 思考？思考？ 若若y=f(x)满足满足f(a-x)=f(b+x)

6、, 则函数图像关于则函数图像关于 对称对称 a+b 2 x= 直线直线 xa 10优选课堂 -xx x y o F(-x)+F(x)=0 y=F(x)图像关于图像关于(0,0)中心对称中心对称 中心对称性中心对称性类比探究类比探究 a l从从”形形”的角度看，的角度看，l从从”数数”的角度看，的角度看， 11优选课堂 F(x)+F(2a-x)=0 x y o a y=F(x)图像关于图像关于(a,0)中心对称中心对称 l从从”形形”的角度看，的角度看，l从从”数数”的角度看，的角度看， 中心对称性中心对称性类比探究类比探究 x2a-x 12优选课堂 F(x)+F(2a-x)=0 F(a-x)+

7、F(a+x)=0 x y o a l从从”形形”的角度看，的角度看，l从从”数数”的角度看，的角度看， 中心对称性中心对称性类比探究类比探究 a+x a-x y=F(x)图像关于图像关于(a,0)中心对称中心对称 b 13优选课堂 a F(a+x)+F(a-x)=2b F(x)+F(2a-x)=2b b 中心对称性中心对称性 y=F(x)图像关于图像关于(a,b)中心对称中心对称 类比探究类比探究 x y o 14优选课堂 思考？思考？ (1)若若y=f(x)满足满足f(a-x)+f(b+x)=0, (2)若若y=f(x)满足满足f(a-x)+f(b+x)=2c, 则函数图像关于则函数图像关于

8、 对称对称 a+b 2 ( ,0 )点点 则函数图像关于则函数图像关于 对称对称 a+b 2 ( ,C )点点 15优选课堂 知识内容：知识内容： 函数图像的对称性函数图像的对称性对称关系式对称关系式 y=F(x)图像关于图像关于x=a轴对称轴对称F(x)=F(2a-x) F(a-x)=F(a+x) y=F(x)图像关于点图像关于点(a,b)中心对称中心对称F(x)+F(2a-x)=2b F(a-x)+F(a+x)=2b 16优选课堂 数学思想方法数学思想方法: 1.数形结合数形结合 2.由特殊到一般由特殊到一般 3.类比思想类比思想 17优选课堂 知识迁移：知识迁移： 已知对任意已知对任意x

9、，有，有f(x+2)=f(-x), 当当x 2,3，y=x 求当求当x -1,0时，时，f(x)的解析式？的解析式？ 18优选课堂 谢谢谢谢! 19优选课堂 奇函数奇函数 F(-x)=-F(x) 即：即：F(-x)+F(x)=0 函数图像关于函数图像关于(0,0)中心对称中心对称 -xx 20优选课堂 F(x)+F(2a-x)=0 F(a-x)+F(a+x)=0 函数图像关于函数图像关于(a,0)中心对称中心对称 -xx 21优选课堂 a 函数图像关于函数图像关于(a,0)中心对称中心对称 F(a+x)+F(a-x)=0 F(x)+F(2a-x)=0 22优选课堂 函数图像关于函数图像关于(a

10、,0)中心对称中心对称 23优选课堂 -x x 函数图像关于直线函数图像关于直线x=0对称对称 F(-x)=F(x) 函数图像关于直线函数图像关于直线x=a对称对称 F(a-x)=F(a+x) x=a F(x)=F(2a-x) 函数图像关于函数图像关于(0,0)中心对称中心对称 函数图像关于函数图像关于(a,0)中心对称中心对称 F(-x)=-F(x) F(a-x)+F(a+x)=0 F(x)+F(2a-x)=0 轴对称轴对称中心对称性中心对称性 a 24优选课堂 ( )f x 函数函数 图像关于图像关于 轴对称轴对称xa ()()f axf axxD 证明：证明： （必要性）（必要性） 25

11、优选课堂 26优选课堂 xxxxxx1 -3-1-265432 27优选课堂 1-3-1-22 -xx 28优选课堂 29优选课堂 1-3-1-265432 -xx ( 1)(1)FF ( 2)(2)FF ()( )FxF x 78 ( )f x 6x (5)(7)ff (4)(8)ff (6)(6)fxfx 6x ( 6)( 6)fxfx 思考？若函数思考？若函数 图像关于图像关于 轴对称，轴对称， ( )f xxa ( )f x 有怎样的对称关系式？有怎样的对称关系式？ 0 x 30优选课堂 xa 函数函数y=f(x)图像关于图像关于x=a轴对称轴对称 证明：证明： （必要性）（必要性）

12、任取任取y=f(x)图像上一点图像上一点P(x0,y0) 若点若点P关于直线关于直线x=a的对称点的对称点P 也在也在f(x)图像上图像上 分析：分析： P(x0,y0)P P(2a-x0,y0)代入代入y=f(x) Y0=f(2a-x0) y=f(x)图像上每图像上每一一点及其关于点及其关于x=a对称点对称点 都在都在y=f(x)图像上图像上 则则y=f(x)图像上图象关于图像上图象关于x=a对称对称 则由则由P的任意性可知的任意性可知 ？ f(x)=f(2a-x) 31优选课堂 函数图像关于直线函数图像关于直线x=0对称对称 F(-x)=F(x) 函数图像关于直线函数图像关于直线x=a对称

13、对称 F(a-x)=F(a+x) x=a F(x)=F(2a-x) 函数图像关于函数图像关于(0,0)中心对称中心对称 函数图像关于函数图像关于(a,0)中心对称中心对称 32优选课堂 ? xa 任取任取y=f(x)图像上一点图像上一点P(x0,y0) 设设P是是P关于直线关于直线x=a的对称点的对称点 由由f(x)图像关于图像关于x=a对称对称 P也在也在y=f(x)图像上图像上 P(x0,y0)P f(2a-x0)=f(x0) 即：即： f(x)=f(2a-x) x02a-x0 P(2a-x0,y0) 猜测：若猜测：若f(x)图像关于直线图像关于直线x=a对称对称 f(x)有怎样的对称关系式？有怎样的对称关系式？ f(x)=f(2a-x) f(a-x)=f(a+x) 证明证明: () y0=f(x0) 33优选课堂 P(x0,f(x0) 若若P也在也在f(x)图像上，图像上， xa (2a-x0, y0) P P(2a-x0, y0)代入代入y=f(x) f(2a-x0) =f(x0) y0 ？ = f(2a-x0