专题5第3讲圆锥曲线的热点问题

1、第3讲 圓锥曲线的热点问题 Uu 弓虽化训练提升解瑚技能对接高考 （建议用时：60分钟） 一、选择题 ? 2 1. （2014-金华模拟）若双曲线令一缶=1（0,方0）与直线y=y3x无交点,则离心 率e的取值范围是（）. A. （1,2）B. （1,2 C. （1,诉）D. （1,侗 解析 因为双曲线的渐近线为y = A ,要使直线y = y3x与双曲线无交点， 则直线厂収应在两渐近线之间，所以有号W羽，即，所以屏W3/ , c2 -,即 c咤4r, , /W4 ,所以 lveW2. 答案B 2. 直线4kx4yk=0与抛物线尸二兀交于A, B两点,若IABI=4f则弦AB的 中点到直线x+

2、|=0的距离等于（）. 7 - 4 A. 2 B. 9 C. JD. 4 解析 直线4总4yk = 0，即y =），即直线4d4yk = 0过抛物线 y2 =x 的焦点（J； , 0）.设 A（xi , |） , B（X2 , 2）,则L4BI = xi + X2 + = 4 ,故 xi + 7717 AZ =彳，则弦佔的中点横坐标是彳，弦佔的中点到直线天+护0的距离是f + _9 2 = 4- 答案C 3已知抛物线y2=4x,圆F： (x-l)2+y2=l,过点F作直线人自上而下顺次 与上述两曲线交于点水B, C, (如图所示)，贝ijL4BIICDI的值正确的是 () A.等于1 C.等于

3、4 解析 设直线/:x = +l ,代入抛物线方程， 得 - 4/- 4 = 0. 设 A(xi , yi) , D(X2 , J2), 根据抛物线定义L4FI=xi + 1 , ID/q = x2+l , 故L4BI=xi , ICDI=X2 , 所以 ABVCD = xix2 =气泸 而yyi = 4 ,代入上式, 得IABMCDI= 1 故选 A. 答案A 77 4. 已知椭圆亍+荒=l(0vb0)的焦点F且倾斜角为60。的直线/与抛物线分别交于A, AJ7 B两点，则器的值等于(). A 5B. 4 C. 3D 2 P -r/B 3 XX2 =才，可侍 XI 二尹，V2 = 解析 设A

4、(q ,)订),B(x2 ,*2),且xix2 ,易知直线AB的方程为y = 3x誓 p，代入抛物线方程y1 = 2px ,可得xi + x? = 丄2龙丄E 6，|貯厂 /7/7 /7 X2 + 2 6 + 2 答案C 6. 已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，左、右焦点分别为鬥、F2,且 两条曲线在第一象限的交点为P, APFiFz是以PF为底边的等腰三角形， 若IPFil=10，椭圆与双曲线的离心率分别为ei, ,则4的取值范圉是 () A. (0, +)B.(壬，+ CG，+8)D G，+8) 解析 设椭圆与双曲线的半焦距为e, PFx = r , PF2 = r2. 由题意知n=

5、 10 , r2 = 2c , 且 nr22r2r , .2c10 , 5 运vcv5= 1 2g双 r - n 10 - 2c 5 c 2“ 椭门 + 门 10 + 2c 5 + c .C-C2 = 答案B 7. (2014-湖北卷)已知鬥，鬥是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共 点，且ZRPF2=，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为 () A疵B疵 C. 3D 2 解析 设IPFil*i , IPF2I = n(nr2),IFiF2I = 2c，椭圆长半轴长为，双曲线 实半轴长为az，椭圆，双曲线的离心率分别为e , /z?max 3 ，- c /max 3 ， 即丄+丄的

6、最大值为纠】 e ei3 答案A 二、填空题 ? 2 8. 抛物线宀2）30）的焦点为F，其准线与双曲线冷气=1相交于A, B两点, 若AABF为等边三角形,则“=. 解析 由题意知彳常，身，代入方程得p = 6. 答案6 9. （2014武昌区调研测试）已知抛物线方程为y2=4x,直线/的方程为x-y+4 =0,在抛物线上有一动点P到y轴的距离为山，P到直线/的距离为2, 则di+2的最小值为. 解析 过点P作抛物线的准线的垂线，垂足为A ,交），轴于B ,由抛物线方 程为y2 = 4x得焦点F的坐标为（1,0）,准线为1 ,则由抛物线的定义可 ddi = PA-AB-di = PF 1+必

7、， PF + di大于或等于焦点F到直线/的距离， _ 11 即PF + ch的最小值为一 0 + 41 52 V2-= 2 所以山+2的最小值为羊1. 答案 10. (2013-安徽卷)已知直线交抛物线y=x2于水B两点.若该抛物线上存 在点G使得ZACB为直角，则。的取值范圉为 解析以A3为直径的圆的方程为%2 + (ya)2 = a. n 由得 y2 + (1 - 2a)y + a2 - a = 0 , v2 + (y - )2=a , 0 , 即- a)y(al) = 0.由已知解得心1 a1$0, 答案1, +8) 27 11. (2014-镇江模拟)已知点F是双曲线缶一召=10,

8、b0)的左焦点，点E 是该双曲线的右顶点，过点F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A, B两点， 若ZVIBE是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是. 解析 由题意知，aABE为等腰三角形.若aABE是锐角三角形，则只需要上 AEB为锐角.根据对称性，只要山丘尸岭即可.直线AB的方程为c , 代入双曲线方程得产卩，取点彳c , -J ,则肋二匚，lEFlw + c ,只要 AFEF就能使zAEF ,即牛Vq + c ,即 b2a2 + ac，即 c2 - 2a20 ,即 e2 - e 20),设点M(ml)g)0)在抛物线C上，且 它到抛物线C的准线的距离为廟 (1) 求抛物线C的方程；

9、(2) 过点M作倾斜角互补的两条直线分别交抛物线C于A(Xi,川)，3(X2, y2) 两点(M, A, B三点互不相同)，求当ZMAB为钝角时，点A的纵坐标)，i的 取值范围. 解 由定义得1+纟=专，解得P=*， 抛物线C的方程为/=，. (2)由知点M的坐标为(1,1),因此设直线AM的方程为)=心一1)+1, 则直线BM的方程为y=k(x 1)+1, y=k(x1)+1, 联立方程组仁得疋一也+1=0, 1为方程的根,A伙一 1,伙一1)2), VJ1=伙一2)20,MH2. 同理 B(-k-l, (一1)2),./2=伙+2)20,:k壬 _2, 令屮=伙一 1尸，vAbaa/o,

10、:.AB-AM=2k(k 2)+4k(2kk2)= 一 4疋 + 10疋一4斤0, 解得42或00时, 综上所述，当/= 一丰，即斤=一扌时, Q IMM取到最小值九 15. 已知抛物线M：尸=2/川0)上一个横坐标为3的点到其焦点的距离为4过 点F(2,0)且与x轴垂直的直线人与抛物线M相交于A, B两点，过点F且与 x轴不垂直的直线b与抛物线M相交于C, D两点,直线BC于D4相交于 点E. (1) 求抛物线旳的方程； (2) 请判断点E的横坐标是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理 llj (1)山题意可知3+号 :抛物线M的方程为y2=4x. 可求得点A(2,2迈)，B(2, 一2返)，设/，(学 M，E点横坐标 为XE、 设直线CD的方程为x=y+2(,H0). x=fv+2, 联立方程仁；Wr-4rv-8=0, 3=4心 从而 vi+y2=4r, .yi