3.3.2简单线性规划(最终版)

1、2021/2/111 x y o 2021/2/112 复习复习: 1、直线的截距: 注意注意:截距不是距离截距不是距离,有正负有正负 y=x+1 y= -x+3 横截距:直线与X轴交 点横坐标 纵截距:直线与Y轴 交点纵坐标 2021/2/113 复习复习: 2、在同一坐标系上作出下列直线、在同一坐标系上作出下列直线: 2x+y=0;2x+y=1;2x+y=-3;2x+y=4;2x+y=7 .02 )0(2: 平平行行的的直直线线与与 形形如如结结论论 yx ttyx x Y o 观察图像观察图像:形如形如2x+y=t （t0）的直线有什么特）的直线有什么特 点点? 2021/2/114 复

2、习: : 二元一次不等式（组）表示平面区 域的方法: Ox y 1 1 x+y-1=0 x+y-10 x+y-10 （3 3）二元一次不等式组）二元一次不等式组 表示的平面区域是各个不表示的平面区域是各个不 等式表示的平面区域的交等式表示的平面区域的交 集集, ,即各个不等式表示的即各个不等式表示的 平面区域的公共部分。平面区域的公共部分。 （1 1）直线定界）直线定界: :Ax+By+C=0Ax+By+C=0 （注意实线和虚线的区别）（注意实线和虚线的区别）; ; （2 2）特殊点定域）特殊点定域: :一般的一般的, ,选选 取原点（取原点（0,00,0）。）。 2021/2/115 问题问

3、题1:某工厂用A,B两种配件生产甲,乙两种产品,每 生产一件甲种产品使用4个A配件耗时1h,每生产一件乙 种产品使用4个B配件耗时2h,该厂每天最多可从配件厂 获得16个A配件和12个B配件,按每天工作8小时计算, 该厂所有可能的日生产安排是什么? 821所需时间所需时间 1240B种配件种配件 1604A种配件种配件 资源限额资源限额 乙产品乙产品 (1件件) 甲产品甲产品 (1件件) 产品产品 消消 耗耗 量量 资资 源源 分析分析:把问题把问题1的有关数据列表表示如下的有关数据列表表示如下: 设甲设甲, ,乙两种产品分别生产乙两种产品分别生产x,y件件, , 2021/2/116 28

4、416 412 0 0 xy x y x y 将上面不等式组表示成平面上的区域将上面不等式组表示成平面上的区域 设甲设甲, ,乙两种产品分别生产乙两种产品分别生产x,y件件, ,由己知条件可得由己知条件可得: y y 4 48 8 4 4 3 3 o o 区域内所有坐标为整数的点区域内所有坐标为整数的点P(x,y),安排生安排生 产任务产任务x,y都是有意义的都是有意义的. 2021/2/117 思考思考: 若生产若生产1件甲种产品获利件甲种产品获利2万元万元,生产生产1 件乙件乙 种产品获利种产品获利3万元万元,采用哪种生产安排利润最大采用哪种生产安排利润最大? 若设利润为若设利润为z,则则

5、z=2x+3y,这样上述问题转化为这样上述问题转化为: 当当x,y在满足上述约束条件时在满足上述约束条件时,z的最大值为多少的最大值为多少? 分析分析:设设甲甲, ,乙两种产品分别生产乙两种产品分别生产x,y件件, ,则则 利润可以表示为利润可以表示为: :2x+3y 2021/2/118 , 2 3 2 2z z2 2 把把z z= =2 2x x+ +3 3y y变变形形为为y y= =- -x x+ +, ,这这是是斜斜率率为为- - 3 33 33 3 z z 在在y y轴轴上上的的截截距距为为的的一一族族与与y y= =- -x x平平行行直直线线, , 3 3 z z 求求截截距距

6、的的最最值值, ,即即可可得得z z的的最最值值. . 3 3 z=2x+3y表示与表示与2x+3y=0平行的一组直线平行的一组直线 2021/2/119 28 416 412 0 0 xy x y x y 问题问题:求利润求利润z=2x+3y的最大值的最大值. 143224 max Z 转化为转化为求直线求直线 的截距的截距 的的 最大值最大值 2 33 z yx 3 z 0 x y 4 3 4 8 2 3 yx M（4,2） 1 4 2 yx 2021/2/1110 28 416 412 0 0 xy x y x y 象这样关于象这样关于x,yx,y一次不等一次不等 式组的约束条件称为式组

7、的约束条件称为 线性约束线性约束条件条件 Z=2x+3yZ=2x+3y称为目标函数称为目标函数,( ,(因这里因这里 目标函数为关于目标函数为关于x,yx,y的一次式的一次式, ,又又 称为称为线性目标函数线性目标函数 在线性约束下求线性目标函数的最值问题在线性约束下求线性目标函数的最值问题, ,统统 称为称为线性规划线性规划. . 2021/2/1111 满足线性约束的解满足线性约束的解(x,y)(x,y)叫做叫做可行解可行解, , 所有可行解组成的集合叫做所有可行解组成的集合叫做可行域可行域 使目标函数使目标函数取得最值取得最值的可行解叫做这个的可行解叫做这个 问题的问题的最优解最优解 变

8、式变式:若生产一件甲产品获利若生产一件甲产品获利1万元万元, 生产一件乙产品获利生产一件乙产品获利3万元万元,采用哪种采用哪种 生产安排利润最大生产安排利润最大? 2021/2/1112 28 416 412 0 0 xy x y x y 0 x y 4 3 4 8 1 33 z yx N N（2 2, ,3 3） 1 4 2 yx 变式变式:求利润求利润z=x+3y的最大值的最大值. max 23 311z 2021/2/1113 解线性规划问题的步骤解线性规划问题的步骤: : （2 2）移）移: :在线性目标函数所表示的一组平行线在线性目标函数所表示的一组平行线 中中, ,利用平移的方法找

9、出与可行域利用平移的方法找出与可行域 有公共点且纵截距最大或最小的直线有公共点且纵截距最大或最小的直线 （3 3）求）求: :通过解方程组求出最优解通过解方程组求出最优解; ; （4 4）答）答: :作出答案。作出答案。 （1 1）画）画: :画出线性约束条件所表示的可行域画出线性约束条件所表示的可行域; ; 2021/2/1114 练习练习解下列线性规划问题解下列线性规划问题: 1、求、求z=2x+y的最值，使式中的的最值，使式中的x、y满足约束条件：满足约束条件： 1 1 y yx xy 2021/2/1115 x O y A BC y= x x+y=1 y=-1 2x+y=0 1 1 y

10、 yx xy B:(-1,-1) C:(2,-1) Zmin=-3 Zmax=3 目标函数：目标函数： Z=2x+y 2021/2/1116 线性规划线性规划 问题问题: 设设z=2x+3y,式中变量满足式中变量满足 下列条件下列条件: 求求z的最大值与最小值。的最大值与最小值。 目标函数目标函数 （线性目标函数）（线性目标函数） 线性约线性约 束条件束条件 任何一个满足 不等式组的 （x,yx,y） 可行解可行解 可行域可行域 所有的所有的 最优解最优解 线性规线性规 划问题划问题 28 416 412 0 0 xy x y x y 2021/2/1117 解决线性规划问题的步骤解决线性规划

11、问题的步骤: : 画画画出线性约束条件所表示的可行域画出线性约束条件所表示的可行域 答答做出答案做出答案 求求根据观察的结论根据观察的结论, ,先求交点的坐标先求交点的坐标, ,再求再求 出最优解出最优解 移移在目标函数所表示的一组平行线（与目标函在目标函数所表示的一组平行线（与目标函 数中数中z=0z=0平行）中平行）中, ,利用平移的方法找出与可行域有利用平移的方法找出与可行域有 公共点且纵截距最大或最小的直线公共点且纵截距最大或最小的直线 小结小结 2021/2/1118 小小 结结 本节主要学习了线性约束下如何求目本节主要学习了线性约束下如何求目 标函数的标函数的最值问题最值问题 正确

12、列出变量的不等关系式正确列出变量的不等关系式, ,准确准确作出作出 可行域可行域是解决目标函数最值的关健是解决目标函数最值的关健 线性目标函数的最值一般都是在可行域线性目标函数的最值一般都是在可行域 的的顶点或边界顶点或边界取得取得. . 把目标函数转化为某一直线把目标函数转化为某一直线, ,其斜率与其斜率与 可行域边界所在直线可行域边界所在直线斜率的大小关系斜率的大小关系一定要一定要 弄清楚弄清楚. . 2021/2/1119 体验体验: : 二、二、最优解最优解一般在可行域的一般在可行域的顶点顶点处取得处取得 三、在哪个顶点取得不仅与三、在哪个顶点取得不仅与B B的符号有关的符号有关, ,

13、 而且还与直线而且还与直线 Z=Ax+ByZ=Ax+By的的斜率斜率有关有关 一、一、先定先定可行域和平移方向可行域和平移方向, ,再找最优解。再找最优解。 2021/2/1120 32利润利润( (万元万元) ) 821所需时间所需时间 1240B种配件种配件 1604A种配件种配件 资源限额资源限额 乙产品乙产品 (1件件) 甲产品甲产品 (1件件) 产品产品 消消 耗耗 量量 资资 源源 把问题把问题1的有关数据列表表示如下的有关数据列表表示如下: 设甲设甲, ,乙两种产品分别生产乙两种产品分别生产x,y件件, , 2021/2/1121 0 x y 4 3 4 8 2021/2/112

14、2 y y 4 48 8 4 4 3 3 o o MM 2021/2/1123 0 x y 4 3 4 8 2 33 z yx M（4,2） 1 4 2 yx 2021/2/1124 y y 4 48 8 4 4 3 3 o o MM 2x+3y=0 2021/2/1125 x y o 简单的线性规划问题（二）简单的线性规划问题（二） 2021/2/1126 一一、复习概念、复习概念 y x 48 4 3 o 把求最大值或求最小值的的函数称为目标函数把求最大值或求最小值的的函数称为目标函数, ,因为它因为它 是关于变量是关于变量x x、y y的一次解析式的一次解析式, ,又称线性目标函数。又称

15、线性目标函数。 满足线性约束的解满足线性约束的解 （x x, ,y y）叫做可行解。）叫做可行解。 在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值 问题问题, ,统称为统称为线性规划问题线性规划问题。 一组关于变量一组关于变量x x、y y的一次不等式的一次不等式, ,称为称为线性约束条件线性约束条件 由所有可行解组成由所有可行解组成 的集合叫做可行域。的集合叫做可行域。 使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫做使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫做 这个问题的最优解。这个问题的最优解。 可行域可行域 可行解可行解 最优解最优解 2021/2/1

16、127 二二. .回顾回顾解线性规划问题的步骤解线性规划问题的步骤 （2 2）移）移: :在线性目标函数所表示的一组平行线在线性目标函数所表示的一组平行线 中中, ,利用平移的方法找出与可行域有利用平移的方法找出与可行域有 公共点且纵截距最大或最小的直线公共点且纵截距最大或最小的直线 （3 3）求）求: :通过解方程组求出最优解通过解方程组求出最优解; ; （4 4）答）答: :作出答案。作出答案。 （1 1）画）画: :画出线性约束条件所表示的可行域画出线性约束条件所表示的可行域; ; 2021/2/1128 练习练习解下列线性规划问题解下列线性规划问题: 1、求、求z=2x+y的最大值，使

17、式中的的最大值，使式中的x、y满足约束条件：满足约束条件： 1 1 y yx xy 2021/2/1129 x O y A BC y= x x+y=1 y=-1 2x+y=0 1 1 y yx xy B:(-1,-1) C:(2,-1) Zmin=-3 Zmax=3 目标函数：目标函数： Z=2x+y 2021/2/1130 例例2 2、一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料, ,生产生产1 1车皮车皮 甲种肥料的主要原料是磷酸盐甲种肥料的主要原料是磷酸盐4t4t、硝酸盐、硝酸盐18t18t; ;生产生产1 1车车 皮乙种肥料需要的主要原料是磷酸盐皮乙种肥料需要的主要

18、原料是磷酸盐1t1t、硝酸盐、硝酸盐15t15t。 现库存磷酸盐现库存磷酸盐10t10t、硝酸盐、硝酸盐66t66t, ,在此基础上生产这两种在此基础上生产这两种 混合肥料。列出满足生产条件的数学关系式混合肥料。列出满足生产条件的数学关系式, ,并画出相并画出相 应的平面区域。并计算生产甲、乙两种肥料各多少车应的平面区域。并计算生产甲、乙两种肥料各多少车 皮，能够产生最大的利润皮，能够产生最大的利润? ? 解解: :设设x x、y y分别为计划生产甲、乙两种混合分别为计划生产甲、乙两种混合 肥料的车皮数肥料的车皮数, ,于是满足以下条件于是满足以下条件: : x y o 4 4 x x y y

19、 1 1 0 0 1 1 8 8 x x 1 1 5 5 y y 6 6 6 6 x x 0 0 y y 0 0 2021/2/1131 解解: :设生产甲种肥料设生产甲种肥料x x车皮、乙种肥料车皮、乙种肥料y y车皮车皮, , 能够产生利润能够产生利润Z Z万元。目标函数为万元。目标函数为Z Zx x0.5y0.5y, , 可行域如图可行域如图: : 把把Z Zx x0.5y0.5y变形变形为为y y2x2x2z2z, ,它表示斜率它表示斜率 为为2 2, ,在在y y轴上的截距为轴上的截距为2z2z的一组直线系。的一组直线系。 x y o 由图可以看出由图可以看出, ,当直线经过当直线经

20、过可行域上的点可行域上的点MM时时, , 截距截距2z2z最大最大, ,即即z z最大。最大。 答答: :生产甲种、乙种肥料各生产甲种、乙种肥料各 2 2车皮车皮, ,能够产生最大利能够产生最大利 润润, ,最大利润为最大利润为3 3万元。万元。 M 容易求得容易求得MM点的坐标为点的坐标为 （2 2, ,2 2）, ,则则Z Zmax max 3 3 2021/2/1132 3 3、制定投资计划时、制定投资计划时, ,不仅要考虑可能获得的不仅要考虑可能获得的 盈利盈利, ,而且要考虑可能出现的亏损而且要考虑可能出现的亏损. . 某投资人打算投资甲、乙两个项目某投资人打算投资甲、乙两个项目.

21、. 根据根据 预测预测, ,甲、乙项目可能的最大盈利率分别为甲、乙项目可能的最大盈利率分别为 100100和和5050，可能的最大亏损率分别为，可能的最大亏损率分别为3030 和和1010. . 投资人计划投资金额不超过投资人计划投资金额不超过1010万万 元，要求确保可能的资金亏损不超过元，要求确保可能的资金亏损不超过1.81.8万万 元元. . 问投资人对甲、乙两个项目各投资多少问投资人对甲、乙两个项目各投资多少 万元，才能使可能的盈利最大万元，才能使可能的盈利最大? ? 【解题回顾解题回顾】要能从实际问题中要能从实际问题中, ,建构有关线建构有关线 性规划问题的数学模型性规划问题的数学模

22、型. .关键求出关键求出 约束条件和目标函数约束条件和目标函数. . 2021/2/1133 解解: :设投资方对甲、乙两个项目各投资设投资方对甲、乙两个项目各投资x x、y y万元万元 依题意线性约束条件为：依题意线性约束条件为： 0 0 183 10 y x yx yx 目标函数为：目标函数为： yxZ5 . 0 作出可行域作出可行域 可知直线可知直线Z=x+0.5yZ=x+0.5y通过点通过点A A时利润最大时利润最大 由由 6 4 183 10 y x yx yx 6,4A 75 . 064 max Z（万元）（万元） 答答: : 2021/2/1134 练习题 1、某厂拟生产甲、乙两

23、种适销产品某厂拟生产甲、乙两种适销产品, ,每件销售收入分别每件销售收入分别 为为30003000元、元、20002000元元, ,甲、乙产品都需要在甲、乙产品都需要在A A、B B两种设两种设 备上加工备上加工, ,在每台在每台A A、B B上加工上加工1 1件甲所需工时分别为件甲所需工时分别为1h1h、 2h2h，加工，加工1 1件乙所需工时分别为件乙所需工时分别为2h,1h.A2h,1h.A、B B两种设备两种设备 每月有效使用台时数分别为每月有效使用台时数分别为400h400h和和500h500h。如何安排生。如何安排生 产可使收入最大产可使收入最大? ? 解解: : 设每月生产甲产品

24、设每月生产甲产品x x件件, ,生产乙产品生产乙产品y y件件, ,每月收入为每月收入为Z Z 千元千元, ,目标函数为目标函数为Z Z3x3x2y2y，满足的条件是，满足的条件是 x x 2 2 y y 4 4 0 0 0 0 2 2 x x y y 5 5 0 0 0 0 x x 0 0 y y 0 0 2021/2/1135 Z Z 3x3x2y2y 变形为变形为 它表示斜率为它表示斜率为 的直线系的直线系, ,Z Z与这条直线的截距有关。与这条直线的截距有关。 22 3z xy 2 3 X Y O 400 200 250 50 0 当直线经过点当直线经过点MM时时, ,截距最大截距最大

25、, ,Z Z最大。最大。 M 解方程组解方程组 5002 4002 yx yx 可得可得MM（200200, ,100100） Z Z 的最大值的最大值Zmax Zmax 3x3x2y2y800800（千元）（千元） 故生产甲产品故生产甲产品200200件件, , 乙产品乙产品100100件件, ,收入最大收入最大, , 为为8080万元。万元。 2021/2/1136 小 结: 二元一次不等式二元一次不等式 表示平面区域表示平面区域 直线定界直线定界, 特殊点定域特殊点定域 简单的线性规划简单的线性规划 约束条件约束条件 目标函数目标函数 可行解可行解 可行域可行域 最优解最优解 应用应用

26、求解方法求解方法: :画、画、 移、求、答移、求、答 2021/2/1137 作作 业业: 课本课本 P106 4 2021/2/1138 x y o 简单的线性规划问题（三）简单的线性规划问题（三） 2021/2/1139 复习回顾: 二元一次不等式二元一次不等式 表示平面区域表示平面区域 直线定界直线定界, 特殊点定域特殊点定域 简单的线性规划简单的线性规划 约束条件约束条件 目标函数目标函数 可行解可行解 可行域可行域 最优解最优解 应用应用 求解方法求解方法: :画、画、 移、求、答移、求、答 2021/2/1140 例、例、要将两种大小不同规格的钢板截成要将两种大小不同规格的钢板截成

27、A A、 B B、C C三种规格三种规格, ,每张钢板可同时截得三种规每张钢板可同时截得三种规 格的小钢板的块数如下表所示格的小钢板的块数如下表所示 : : 规格类型规格类型 钢板类型钢板类型 第一种钢板第一种钢板 第二种钢板第二种钢板 A A规格规格B B规格规格C C规格规格 2 2 1 12 2 1 1 3 3 1 1 今需要今需要A,B,CA,B,C三种规格的成品分别为三种规格的成品分别为 1515, ,1818, ,2727块块, ,问各截这两种钢板多少张可得问各截这两种钢板多少张可得 所需三种规格成品，且使所用钢板张数最少。所需三种规格成品，且使所用钢板张数最少。 解解: :设需截

28、第一种钢板设需截第一种钢板x x张、第二种钢板张、第二种钢板y y张张, ,可得可得 2021/2/1141 x 0 y 2x+y=15x+3y=2 7 x+2y=18 x+y =0 2x+y15, x+2y18, x+3y27, x0, xN* y0 yN* 经过可行域内的整点经过可行域内的整点B(3,9)和和C(4,8)且和原点距且和原点距 离最近的直线是离最近的直线是x+y=12,它们是最优解它们是最优解.答答:(略略) 作出一组平行直线作出一组平行直线z= x+y, 目标函数目标函数 z=x+yz=x+y B(3,9) C(4,8) A(18/5,39/5) 打网格线法打网格线法 在可行域内打出网格线在可行域内打出网格线, 当直线经过点当直线经过点A A时时z=x+y=11.4z=x+y=11.4, ,但它不是最优整数解但它不是最优整数解, , 将直线将直线x+y=11.4继续向上平移继续向上平移,