1、与直线和圆有关的最值问题-理(解析版)

1、圆锥曲线专题突破一：与直线和圆有关的最值问题 典例剖祈 题型一 有关定直线、定圆的最值问题 2 2 例1 已知x, y满足x + 2y 5 = 0，则(x 1) + (y 1)的最小值为 . 破题切入点 直接用几何意义一一距离的平方来解决，另外还可以将x+ 2y5= 0改写成x= 5 2y,利用二次函数法来解决. 解析 方法一 (x 1)2+ (y 1)2表示点P(x, y)到点Q1,1)的距离的平方. 由已知可知点 P在直线I : x + 2y 5 = 0上，所以PQ的最小值为点 Q到直线I的距离， 即d=2 6 = ，所以(x 1)2+ (y 1) 2的最小值为 d=：. 寸 1 + 22

2、5 方法二 由x+ 2y 5= 0,得x = 5 2y，代入(x 1)2+ (y 1)2并整理可得 222229 2 44 (5 2y 1) + (y 1) = 4(y 2) + (y 1) = 5y 18y+ 17 = 5(y-) +，所以可得最小值为 -. 555 题型二 有关动点、动直线、动圆的最值问题 例2直线I过点F(1,4)，分别交x轴的正方向和y轴的正方向于 A、B两点.当OAF 0B最小时，0为坐标原点，求I 的方程. 破题切入点 设出直线方程，将 0A+0B表示出来，利用基本不等式求最值. 解 依题意，l的斜率存在，且斜率为负，设直线l的斜率为k，则y4 = k(x 1)(

3、k0). 4 令 y=0,可得 A(1 k，0)；令 x = 0，可得耳0,4 k). (k+ r) = 5+ ( k + k)5+ 4= 9. 4 44 OA OB= (1 匚)+ (4 k) = 5 4 所以，当且仅当一k=L且k0)与圆x2 +y2 = 4交于不同的两点A,B,O是坐标原点，且有|6AbOB有AB|，那么 3 k的取值范围是. 破题切入点结合图形分类讨论. 解析 当|O* OB = *1馬 时，Q A B三点为等腰三角形的三个顶点，其中0阳OB / AOB= 120,从而圆心 0到 直线x+ y k= 0（k0）的距离为1,此时k = ,：2；当k 2时，|6* SBiA

4、B，又直线与圆x2 + y = 4存在两交点， 故k2 .2 综上,k的取值范围是:2, 2. 【总结提高】（1）主要类型： 圆外一点与圆上任一点间距离的最值. 直线与圆相离，圆上的点到直线的距离的最值. 过圆内一定点的直线被圆截得的弦长的最值. 直线与圆相离，过直线上一点作圆的切线，切线段长的最小值问题. 两圆相离，两圆上点的距离的最值. 已知圆上的动点 Qx，y），求与点Q的坐标有关的式子的最值，如求ax + by，：；等的最值，转化为直线与圆的 /亠护方 位置关糸. 解题思路： 数形结合法：一般结合待求距离或式子的几何意义，数形结合转化为直线与直线或直线与圆的位置关系求解. 函数法：引入

5、变量构建函数，转化为函数的最值求解. （3）注意事项： 准确理解待求量的几何意义，准确转化为直线与直线或直线与圆的相应的位置关系; 涉及切线段长的最值时，要注意切线，圆心与切点的连线及圆心与切线段另一端点的连线组成一个直角三角形. 精题狂练 1. 若动点A,B分别在直线I仁x + y 7= 0和l2：x + y 5 = 0上移动，则AB的中点M到原点的距离的最小值为 解析 依题意知，AB的中点M的集合是与直线l 1： x+ y 7= 0和h：x + y 5= 0距离都相等的直线， 则M到原点的距 离的最小值为原点到该直线的距离.设点 |7| M所在直线的方程为l : x + y+ m= 0，根

6、据平行线间的距离公式得= V2 |5| ? |7| = |m+ 5| ? m= 6, 2 即1 : x+ y 6= 0,根据点到直线的距离公式， 得M到原点的距离的最小值为= 3（2. 2. 已知点M是直线3x + 4y 2 = 0上的动点，点 N为圆（x+ 1）2 + （y+ 1）2= 1上的动点，贝U MN勺最小值是 . | 3 4 2|9 解析 圆心（一1， 1）到点M的距离的最小值为点（一1， 1）到直线的距离d=5= 5,故点N到点M的距离 4 的最小值为d 1 =. 5 3. 已知P是直线l : 3x 4y + 11 = 0上的动点，PA PB是圆x2+寸一2x 2y + 1= 0

7、的两条切线，C是圆心，那么四边 形PACBT积的最小值是答案护 解析 如图所示，圆的标准方程为 (x 1)2+ (y 1)2= 1,圆心为C(1,1)，半径为r = 1. 根据对称性可知四边形PACBM积等于2Sap= 2x 2pa- r = PA 故PA最小时，四边形 PACB勺面积最小，由于 PA= .PC 1, 故PC最小时，PA最小，此时，直线 CP垂直于直线I : 3x 4y + 11 = 0, 故PC的最小值为圆心 C到直线I : 3x 4y + 11 = 0 13 一 4+ 11|10 ,32 + 42 的距离d=-2丄=5 = 2，所以PA= PC = 落一1 = ；3.故四边

8、形PACBT积的 最小值为.3. 4. (2013 江西改编)过点(2 , 0)引直线I与曲线y= ,1 X2相交于A B两点，0为坐标原点，当 AOB勺面积取最 大值时，直线I的斜率为.答案 專 丄L11 .1 解牛析 Saob- OA- OB- sin / AOB= gsin / AO咅乞 n2 当/AOB=时，Saob面积最大此时 O到AB的距离d = -. 设 AB方程为 y= k(x ,;2)( k 0, 6已知 Q = x, y2 y w 寸 4 x ，直线y= mx 2m和曲线y= ：4 x有两个不同的交点，它们围成的平面区 域为M向区域Q上随机投一点A, n 2 点A落在区域M

9、内的概率为P(M，若RM c, 1 ,则实数m的取值范围是 2 n .答案0,1 解析画出图形，不难发现直线恒过定点(一2,0)，圆是上半圆, 直线过(一2,0) , (0,2)时，向区域 Q上随机投一点 A, 此时P( M = n 2 2n 点A落在区域M内的概率为RM , 当直线与x轴重合时，P(M = 1 , 故直线的斜率范围是0,1. 7.在平面直角坐标系 xOy中，圆C的方程为x2 + y2 8x + 15 = 0,若直线y =kx 2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆 C有公共点，贝U k的最大值是 答案4 解析可转化为圆C的圆心到直线y = kx 2的距离不大于2

10、. 圆C的标准方程为(x 4)答案(x 1)2+ (y + 1)2 = 2 解析易知所求圆C的圆心在直线y = x 上,故设其坐标为C(c, c),又其直径为圆 A的圆心A 1,1)到直线x y 4=0的距离减去圆A的半径，即 2r = 2 = 2 2? r = 2, 即圆心C到直线x y 4= 0的距离等于.2, 故有*血= c= 3或c= 1, 结合图形当c= 3时圆C在直线x y 4= 0下方，不符合题意，故所求圆的方程为(x 1)2 + (y + 1)2= 2. 2 2 11. 已知点F(x, y)是圆(x + 2) + y = 1上任意一点. 求点P到直线3x + 4y+ 12= 0的距离的最大值和最小值; y 2 求匕的最大值和最小值. x I + y2= 1圆心为(4,0). 由题意知(4,0)到kx y 2 = 0的距离应不大于2, 即 2 21 2. k2+ 1 24 整理，得3k 4k 0,解得0W k-. 3 4 故k的最大值是 2 r，解得 r：2. 所以圆O的方程为x2+ y2 2. 不妨设 E(m,0) , F( n,0)，且 nn. 故 E( 2, 0) , F( 2, 0). 设D(x, y)，由DE DO DF成等比数列， 得 DEx DF= DO, 即,x + ,2 2+ y2xx , 2 2+ y2 x