前n项及应用1

1、前n项和应用 知识点： 1. 等差数列前n项和公式： 迭代求和法得Sn = na, n（n卫d,nN”； 2 变形：sn =n an） ,n N 2 2. 等比数列前n项和公式： 工印（1-qn） 1q 错位求和法得Sn二1-q ,nN naiq =1 3.公式：(1) 12 . n = n(n 2 n ：= N ； 2 (2)13 5 -. (2n-1) = n2,n N “; (3)2 4 6 . 2n = n2 n, n N ； (4) 1222 nn(n 1)(2n rv N ； (5) 小33 n(n 1V.2kl 12. n= ,n N ； 2 归纳求和方法：1.公式法；2.倒序求

2、和；3.分组求和；4.裂项求和; 4.数列通项公式an与前n项和的关系： ；s，n =1 an ： n -恥,.n_2,n N 说明：上述公式对任何数列都成立； 例1.设an为等差数列，前n项和为Sn，求证：S3n = 3（务- Sn）； 例2.设an为等差数列，前n项和为Sn （1）若 Sn =Sm，m = n。求：Sm m ； 前n项和第7页共6页 (2) 若 Sn =n,5 =n,m = n。求：Sm .n ； 解：(1 ) Sm n = 0 ； (2) Sm n - -(m n); 方法1:定义法； 方法2: 二次函数图像的应用； 例3.已知数列an满足条件：a-i - 2a2 -.-

3、nan = n(n - 1)(n 2), n N ”。求数列an的 通项公式； 解：设 Sn =耳-2a2 -.-nan 当 n=1 时，ar=S=6 当 n 一2 时，Sn二2a2 .(n -1)anJL 作差 an = S - Sn=3n 3 是以6为首项，3为公差的等差数列； 例4.( 1)求数列1,1 2,1 2 3.V 2 3 4,的前n项和; (2) 求数列1,1, 的前n项和； 1+2 1+2+3 (3) 求数列 a,2a2,3a3,., nan (n N )的前 n 项和； (4) 求数列6,9,14,21,30,的前n项和； (5) 求数列 5,55,555,.,555.5的

4、前 n项和; n个 (6) 设数列an的通项公式为an二 ,n N，其前n项和为10,求项数n ； 解：(1) n(n 1) n(n 1)(n2). 7 (2)an 2111 2n n(n 1) = 2( (4)an - an 丄 4-1= an= 5= Snn 1(2n 5n ; 方法：迭代求和; 55 (5) an=555.5 =5 111.1999.9(10n-1) 99 50(10n -1)5 -9n ； 81 (6)裂项求和：an 方法：迭代求和; -n 1 - i, n = S = . n T -1 = 10= n = 120 例5.若1 22 2 32 . n (n 1)2二乜

5、耳(an2 bn c)对n N恒成立，求实数 12 a,b,c的值; 解：裂项公式法求n (n 1)n3 2n2 n， 比较系数法：a =3,b =11,c =10 ； 例6.设等比数列an的前n项和为Sn，若 例12.两个等比数列的前n项和之比为 竺卫,nN”，试求这两个数列的第9项之比; 2n 1 例13.设数列an的前n项和为Sn，且满足a, =1,2& =(n 1)an (1) 求an的通项公式； (2) 设 Wn 二二12J，求 W,； a2 T a3 Tan 卅 T 例14.设数列an通项公式为an = 2n -7, n N，试求数列| % |的前n项和& ； 例15.设n2个正数排成n行n列，其中每一行的数成等差数列，每一列的数成等比数列, 并且所有的公比都相等 一 -1- 3 a24 - 1,a42, a43 - 8 16 （1）求 a