知识讲解_空间向量在立体几何中的应用(提高)

1、空间向量在立体几何中的应用【考纲要求】1. 了解空间向量的概念，了解空间向量的基本左理及其意义，掌握空间向量的正交分解及 其坐标表示.2. 掌握空间向疑的线性运算及英坐标表示.3. 掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向虽的数量积判断向量的共线与垂直.4. 能用向呈语言表述直线与直线、直线与平而、平而与平而的垂直、平行关系.5. 能用向量方法证明有关直线和平而位宜关系的一些左理.6. 能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平而与平面的夹角的计算问题，了解向虽 方法在研究几何问题中的作用.【知识网络】【考点梳理】要点一、空间向量1. 空间向量的概念在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向呈:

2、。要点诠释：（1）空间的一个平移就是一个向量。（2）向量一般用有向线段表示，同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。相等向量只考 虑其泄义要素：方向，大小。空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示。2. 共线向量(1) 定义：如果表示空间向疑的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共 线向量或平行向疑.N平行于亦记作allb .当我们说向量N、5共线(或 ab ab ab bOab ab量的数量积定义：已知向量乔,贝illallblcos叫做乳5的数量积，记作ab,即ii-b =I4I-Ibl cos。(2) 空间向量数量积的性质： ci -e a cos ： 丄 b a-b

3、 = 0 ； 1打=衍.(3) 空间向量数量积运算律： (Aa) b = A(a -b) = a- (Ab): 厅=b a (交换律)：a (b+c) = a b+a-c (分配律)。4. 空间向量基本定理如果三个向疑打f不共面，那么对空间任一向量戸，存在一个唯一的有序实数组x,y,z, 使p = xa + yb + zco若三向SO.c不共而，我们把a,b,c叫做空间的一个基底，a.bc叫 做基向疑，空间任意三个不共而的向量都可以构成空间的一个基底。5. 空间直角坐标系：若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为1,这个基底叫单位正交基底，用7, k) 表亦：(2)在空间选左一点O和一个单

4、位正交基底以点O为原点，分別以7JJ的方 向为正方向建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，它们都叫坐标轴.我们称建立了一个空间直角 坐标系0-与2,点O叫原点，向量都叫坐标向量通过每两个坐标轴的平而叫坐标平 而，分别称为xOy平而，yOz平而，zOx平而;6. 空间直角坐标系中的坐标在空间直角坐标系O-卩送中，对空间任一点A，存在唯一的有序实数组(A； Z),使 OA = xi + yj + zk,有序实数组(x,y,J叫作向量A在空间直角坐标系O JQ2中的坐标，记 作A(x,y,z), x叫横坐标，y叫纵坐标，z叫竖坐标.7. 空间向量的直角坐标运算律：(1)若 4(召，”心)，3(*2,儿皿2

5、)，则 AB = (x2-xy y2 - y, z2 - z,)一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐（2）若之如如他）,/? = （%仇,/?3），贝IJa+b = （al +bya2 +h2.a3 +仇），a-b = （ax 一色 _$皿3 _仇）Aa = （/Zj, Aci2 . Xciy ）（2 e R）,crb = afy +a2b2 +厶，“/bod =Aba2 =肋2，佝=s（兄已尺）a 丄bogb、+a2b2 +佝 = 0 ；I ci 1= y/a-a = Jaj +d, +0 , b= yjb-b = Jb+bj + bj .liibl

6、bl Jq： + a J + “J Jb； + bj + b(3) 两点间的距离公式:若心心),Bgyg，则AB= yjAB = J（“2 召）+ （儿 一 ”）+（石一石） 或 = Jg 一 召）+（） 必）+（% -Z） o要点二、空间向量在立体几何中的应用1.立体几何中有关垂直和平行的一些命题，可通过向量运算来证明.对于垂宜问题，一般是利用方丄ba b = 0进行证明；对于平行问题，一般是利用共线向量和共面向量龙理进行证明.2利用向量求夹角（线线夹角、线面夹角、面而夹角）有时也很方便其一般方法是将所求 的角转化为求两个向量的夹角或其补角，而求两个向量的夹角则可以利用向量的夹角公式 ci-

7、bcos 0 = a-b要点诠释：平面的法向量的求法：设n二（x,y,z）,利用n与平面内的两个不共线的向b垂直，其数量积为零，列出两个三元一次方程，联立后取其一组解，即得到平而a的一个法向量（如图）。线线角的求法：a-b设直线AB. CD对应的方向向量分别为补b则直线AB与CD所成的角为arccos-LtL（注意:线线角的范 0, 90）线面角的求法:设n是平而&的法向量，A3是直线/的方向向量，则直线/与平而a所成的角为二面角的求法:是二而角的平而角或其补角的大小（如图）设n是平而&的法向量，AB是平而a的一条斜线，则点B到平面a的距离为川（如 图）。要点诠释：（1）点A到平而a的距离：A

8、Bnd =，其中B wa、亓是平而a的法向量。n直线与平而a之间的距离：ABiid =，其中Aea.Bea,巨是平而a的法向量。 I n I 两平行平而70之间的距离:ABhd =，其中A已a、B已卩，亓是平而a的法向量。 I H I【典型例题】类型一、空间向量的运算【例1】已知AB= （2, 2, 1）, AC= （4, 5, 3）,求平而ABC的单位法向量。【答案】单位法向輒嶋二4【解析】设而ABC的法向量方=(兀,” Z),则斤丄砸且亓丄盘，即7心0 ,解得4.x+5y + 3 乙=0nAB = Qy = 一乙、一，町方AC = 0令x = l,则万=(1,2,2)单位法向輒=侖二(,

9、_|, I).【总结升华】一般情况下求法向量用待迫系数法。由于法向量没规沱长度，仅规左了方向, 所以有一个自由度，可把方的某个坐标设为1,再求另两个坐标。平而法向量是垂直于平而的 向量，故法向量的相反向量也是法向呈:，所以本题的单位法向量应有两解。举一反三:【变式】若：=（1,5, 1）, &=（一2,3,5）（1）若（爲+可（方-3可，求实数&的值；（2）若（爲+可丄（方3可，求实数的值：（3）若a + b取得最小值，求实数&的值。【答案】（1）.（滋 + 歩）（4-3）/.设ka + b = A,（a-,即（k-2,5k + 3,-k + 5） = （7兄,7几，一 16兄）-2 = 72

10、 由5 + 3 = -4/1 ,解得k = -x”3-+5 = -162（2）（ka + b）丄（一3可，（也 +歩）（。一3乙）=0（k 2,5k + 3, k + 5） （7, 4,16） = 0 ,即3比一106 = 0,解得k=x3（3）ka + b = J伙 一 2尸 + （5k + 3尸 + （- + 5尸=丁27疋 +16R + 388 一一当=时，k（l + b取得最小值。27类型二：向量法证明平行或垂直【例2如图，在四棱锥O ABCD中，底而ABCD四边长为1的菱形，ZABC = -,4Q4丄底WiABCD, OA = 29 M为OA的中点，N为BC的中点BN C（I ）证明

11、：直线A/N 平面OCD :（II）求异而直线AB与MD所成角的大小;（IH）求点B到平而OCD的距离。【解析】作AP丄CD于点P,如图,分别以AB, AP,AO所在直线为圮” z轴建立坐标系2 2 2 0),0(00,2),M(0(M),N(1 顾=（将呼T丽=4 一2）庾=（_拿孚_2）设平而OCD的法向虽:为/: = (x, y, z),则nOP = 0, n- OD = 0y-2z = 0一返卄返”2乙=02 2 -取 z = V2，解得 /； = (0,4,/2)顾J=(l， T -1)-(0,4,a/2) = 044:.MN 平面OCD(2)设A/T与M所成的角为&, AB = (

12、l,0,0),A/)=,-1)2 2ABMDABMD： cos 0 =加与加所成角的大小为彳设点B到平而OCD的距离为d ,则为西在向量齐=(0,4,/2)上的投影的绝对值,OB/?2n3由 05 = (1,0,-2),得=2 所以点B到平而OCD的距离为一3【总结升华】1.用向量证明线而平行的方法有:(1)证明该直线的方向向量与平而的某一法向量垂直;(2)证明该直线的方向向量与平而内某直线的方向向量平行:(3) 证明该直线的方向向量可以用平而内的两个不共线的向量线性表示.2.用向量法证垂直问题:(1) 证明线线垂直，只需证明两直线的方向向虽:数量积为0：(2) 证明线而垂直，只需证明直线的方

13、向向量与平而的法向虽共线，或利用线而垂直的判左立理转化为证明线线垂直；(3) 证明而而垂直，只需证明两平而的法向量的数量积为0,或利用面而垂直的判左立理转 化为证明线面垂直.举一反三:【变式】如图，已知直三棱柱ABCAbG中，遊为等腰直角三角形，ZBAC=90 ,且AB=AA D、E、尸分别为屈小CC 證的中点.求证：A(1) DE平而 ABC：(2) B：F丄平而AEF【解析】如图建立空间直角坐标系A-xyz,令AB=AA. = 4,则 A(0, 0, 0), E(0, 4, 2), F(2, 2, 0), B(4, 0, 0), B：(4,0, 4)取 AB 中点为 N,则 N(2, 0,

14、 0), C(0, 4, 0), D(2, 0,2),ADE=(-2, 4, 0), NC=(2, 4, 0), *DE=NC. .-.DE/7NC,又NC在平面ABC内，DE不在平而ABC内，故DE平而ABC.(2)B,F=( 2, 2, -4), EF=(2, -2, 一2),AF=(2, 2, 0),BtF EF= (-2) X2+2X (-2) + (-4) X (-2) =0,则BN丄EF, ABxF丄EF,* VBXF AF= (-2) X2+2X2+ (-4) X0=0.ABiF丄AF,即 BM丄AF,又AFCFE=F, .-.B：F丄平而 AEF类型三：异面直线所成的角【例3】

15、正方体ABCD-EFGH的棱长为a,点P在AC , Q在BG上，且AP=BQ二a,求直线PQ与AD所成的角，【答案】90【解析】建立空间直角坐标系如图，则A(/O,O), D(aQ)(2(0, 6/), P(a-a,a,0) 2 2 2 2QP = (a_ci、0、_a), AD = (0,a,0),2 2：.QPAD = QQP与AD所成的角为90 。【总结升华】建立坐标系后，求出西冠及颐阳，可躺求举一反三:【变式】如图，在直四棱柱ABCQ-A3GD中，底而是边长为1的菱形，侧棱长为2(1) 坊卩与4D能否垂直请证明你的判断；(2) 当AABC在兰,勻上变化时，求异而直线AC】与所成角的取值

16、范围。3 2【答案】菱形人皿口中，AG丄于q,设ACQBD = Of分别以Qd,OC,op所在直线为X、y,Z轴，建立空间直角坐标系，设妨(a,0,0), q (04,0)3+沪=1),则 ), (-U, 0,0), A, (0, -b,0), D(-a, 0,2)(1) .$=(加,0,0),4Q = (-ab,2),：.DlB AiD = -2cf工0 ,B,D,与珂D不能垂直。(2) V Z.RC. eA-l , V A(0,-Z?,2)3 23 a AC； = (0,2/?,-2), A& = ab,O),AC；AB； = 2h2,1 AC】1= 2b +1,1 ?l1Bl 1= ya

17、2 +b2 = 1, cos AC DT cr +b2 = 1, 设 a = cos a,/? = sin a , It:.cos = =_yj + b2Jl + sin asin2 a1 _ 111 yjcsc4 a + csc2 asin a sin a直线AC】与所成角的取值范国是【T 2esc2 a 4, :. cos e类型四：直线与平面所成的角【例4】如图，在棱长为1的正方体ABCD-AC中，P是侧棱Cq上的一点,CP = mo试确定加，使直线4P与平而BDDb所成角的正切值为3血：【解析】建立如图所示的空间直角坐标系,/I 5. /则 A(1,O, O),B(1, 1,O),P(

18、O, 1, m), C(0, 1,0), D (0,0,0) ,6x(1,1,1), Dx (0, 0,1).所以丽=(1,一1,0),阪= (0,0,1),丽 =(-1皿花 =(-1丄0).又由疋BD = O,AC 丽严0知走为平面BBDD的一个法向量.设AP与面BDD B所成的角为则 sin 0 = cos(彳-&)=I丽X?IAP-AC依题意有L :_r =解得=-j2 + r 1 + (3 V2 )23故当m =丄时.直线AP与平而BDD. B.所成的角的止切值为3庞o3举一反三:【变式】如图，三棱锥P-ABC中，ZABC二90, PA二1, AB二柘，AC二2, PA丄而ABC.求直

19、线AB和直线PC所成角的余弦值:求PC和而ABC所成角的正弦值；【答案】(1)以A为坐标原点，分别以AB、AP所在直线为y轴、z轴，以过A点且平行于BC直线为在直角 ABC 中，TAB二、行，AC二2, ABC=1A(0, 0,0), B(0, V3,0) C(l, VLo), P(0, 0,1)AB = (0, a/3,0), PC=(1, a/3, -1), ABPC0 + 3 + 0V15cos二 二_=I ABMPCI J0 + 3 + 0 Jl + 3 + 15直线AB与直线PC所成的角余弦为少.(2)取平面ABC的一个法向MAP = (0, 0, 1),设PC和而ABC所成的角为9

20、,则sin|cosPC,环竺迺一 匕0丁 仝.IPCI-I API Jl + 3 + 1 Jo + o + l 5.-.PC和面ABC所成的角的正弦值为音.类型五：二面角【例5】如图，在三棱柱ABCAbC.4 H是正方形AAbB的中心曲尸2迈，G丄平而AAAB, 且GH=y（1）求异面直线EC与出3所成角的余弦值：（2）求二面角A-A-.G-R的正弦值：设”为棱3G的中点，点在平而AA-.B-.B内，且胚V丄平而求线段方孑的长.【解析】如图所示，建立空间直角坐标系，点B为坐标原点，依题意得A（2电，0, 0）, B（0, 0, 0）, C（谑，-2, 5）,免（2住，2卩 0）, BJ0, 2

21、2, 0）, G（,血仗）.易得AC=（妬 一 a/5）, Ab=（2妬 0, 0）,于是 cos n（3）由N为棱BC的中点，得N（平，零誓）设 b, 0),因为MN丄平面AiBxCi,设平而AAC的一个法向量m=（x, y, z）,则m AAi = O.n 扎G=0,墾二爲+屆=0,不妨令击,可得尸（逅0,妙设平而AiBiCi的一个法向量n= （x, y z）,则n AiBi=O.-年-回+伍=0,不妨令=审,可得严,审,佝 1一2侮=0.从而 sinm，所以二面角A-AX-B：的正弦值为羊.由知平面A,BC的一个法向量为n= （0, y/5,住），所以MNn,V22 半- -a b解.故

22、M（爭，乎，0）.因此BM=（爭，乎，0）,所以线段BM的长刚|=乎.【总结升华】求两异而直线所成的角，用向量法就是求两宜线上的两方向向量的夹角，但需注 意二者范伟1的区别.同样地，利用向量法求二面角的大小，就是求两个半平而的法向疑的夹角（或 夹角的补角），在具体求解中应适当选取或求解直线的方向向量及平而的法向量.在空间直角坐 标系中，常采用待立系数法求平而的法向量.举一反三： 【变式】如图，矩形和梯形册C所在平而互相垂直,BE/ CF. ZBCF=ZCEF90 , AD =(I )求证：血平而DCF；(II )当初的长为何值时，二而角AEFC的大小为60【解析】如图，以点C为坐标原点，以CB

23、, CF和CD分别作为x轴，y轴和z轴，建立空间直角坐标系C-xyz,设 AB =(b BE = b, CF = c,则 C(O,O,O), A(折 0, a). 3(扬 0,0), E(応 kO), F(0, c,0).(I )证明：AE = (0,CB = (/3,0,0), BE = (0,几 0),所以 CBCE = 0, CBBE = 09 从而 CB 丄 AE 9 CB 丄 BE,所以CB丄平而ABE.因为CB丄平而DCF,所以平而ABE 平而DCF.故AE/平面DCF(II)解：因为 EF = (-73, c-b,0), CE = (yf39 h, 0),则nAE = 0(M，坞

24、.a所以Icosv恳丽1=_ 3压 _ 1 IMA/2+27_2所以EF CE = O, IEFI=2,从而打j3 + (c-b)2 =2,解得 b = 3、c = 4所以 E(Jl3,0), F(0,4,0).设 = (b p z)与平而4F垂直，又因为34丄平而BEFC, BA = (0,0, a),9所以当AB为尹，二而角C的大小为60 .类型六：空间距离【例5】如图，ABCD与、)都是边长为2的正三角形，平而HCD丄平而BCD, AB丄平而BCD, AB=2g求点A到平而MBC的距离.【解析】取CD中点0,连接OB, 0M,则 0B丄CD, 0H丄CD.又平而MCD丄平面BCD,所以M

25、0丄平而BCD.取0为原点，直线OC、BO、OH为X轴、y轴、Z轴，建立空间直角坐标系如图.0B = 0H=5, 则各点坐标分别为 C(b 0, 0), M(0, 0,B(0, 一6 0), A(0, 一品 23).仃)设H = (x, y, Z)是平而MBC的法向量，贝IJOBC=(b 迟 0), BM=(O,书,3). 由方丄BC得7BC=0即x+羽y=0； 由n丄BM得 BM=O即书y+5z=0取n =(V3 一1，1), BA=(O, 0, 2/3),则d=23 2/15故点A到平而MBC的距离为芈.法二：取CD中点0,连OB, 0M, 则 OB=OM=, 0B丄CD, M0丄CD,

26、又平而MCD丄平面BCD,则HO丄平而BCD,所以MOAB,所以M0平而ABC, 故M, 0到平面ABC的距离相等. 作OH丄BC于H,连MH,则MH丄BC.求得 OH=OC sin60设点A到平而MBC的距簡为d,由讥运=E-心得I SMC d=j Saax OH.即扌X*X2X解得d=誓.【总结升华】利用向咼法求点到平而的距离的步骤如下：(1)求出该平而的一个法向量方：(2)找出以该点及平而内的某点为端点的线段对应的向(3)利用公式d=匕工1求距离.Ini举一反三:【变式】如图，四面体ABCD中，0、E分別是BD、BC的中点，CA = CB = CD = BD = 2.AB = AD =忑

27、,求点E到平而ACD的距离。A【答案】以0为原点，如图建立空间直角坐标系，则刃。,。）*2。）, C（皿O）,A（W）,码卓。）丽=(_ 1. o, 1),而=(_ 1, _ VI0)设平而ACD的法向蚩:为n = （x, y, z）5则nAD = (x,2)(一1,0,-1) = 0,x+z = 0,Qy_Z = 0令y = 1,得n =(-屈1,松)n.AC = (x,z)(0,点-1) = 0,是平而ACD的一个法向量。又 EC = （-, ,0）,2 2.-点E到平面ACD的距离h =类型七、利用空间向量解决立体几何中的探索问题【例 6 在四棱锥 P-ABCD 中,AB CD AB丄

28、4D AB = 4,AD = 2y/2,CD = 2 PA丄 ABCDPA = 4 （ I）设平而PABC平而PCD = ni ,求证：CD m BD1. PAC Q PB QC PAC曲 AECDCTABAB u PAB CD PABB(4,0,0) P(0,0,4) D2妊0)CQBD因为CQu平而PCD,平面PABC平面PCD = 八CD m APL ABCD AB LAD A AB.AD.AP x y zC(2,2Q0)所以丽= (-4,2/l0),疋=(2,2血,0),丽=(0,0,4),所以丽花=(-4)x2 + 272x272+0x0 = 0 ,丽丽=(-4)x0 + 271x0 + 0x4 = 0.所以BD丄AC, 3D丄AP.因为 APAC = A. 4Cu平而P4C,PAu 平而 PAC,所以3D丄平而PAC（III）解：设譽=入（其中021）, Q（x,y,z），直线0C与平面PAC所成角为。所以PQ = APB所以(x,”z 4) = /l(4,0,4)x = 42,所以 y=0, 即 2(42,0,-424-4).z = 4/l + 4,所以 Cg = (42-2,-2V?,-42 + 4).由（II）知平而PAC的一个法向量为丽=（一4,2丁工0）所以导-4(42-2)-82來J(4