大一上学期(第一学期)高数期末考试题

1、大一上学期高数期末考试、单项选择题（本大题有4小题，每小题4分，共16分）1.设f(x) cos x (x sin x ),则在 x 0处有().(A)f (0)2(B) f(0)1 (C) f(0)0(D)f（X）不可导.设(x)1，（x）3 3x，则当 x 1时（)2.1X.(A)(x)与（x）是同阶无穷小，但不是等价无穷小；(B)(x)与(x)是等价无穷小；（C）（X）是比（X）高阶的无穷小；（D）（X）是比（x）高阶的无穷小.X3若F（X）o（2t x）f（t）dt，其中心）在区间上（1,1）二阶可导且f （x）0 ，则（）.（A）函数F（x）必在x 0处取得极大值；（B）函数F（x）

2、必在x 0处取得极小值；（C）函数F（x）在x 0处没有极值，但点（0，F（0）为曲线y F（x）的拐点；（D）函数F（x）在x 0处没有极值，点（0，F（0）也不是曲线y F（x）的拐点。 4 设f （x）是连续函数，且2 2XX（A） 2（ B） 2f (x)12 0 f(t)dt ,则 f (x)(5.1、填空题（本大题有4小题，每小题2lim （13x）sinTx 0（D）x 2.4分，共16分）6.已知c空是f（x）的一个原函数XI rcosx则 f(x) d xx7.limn12(cos2 n ncos3 )n2 . x arcs in x1 dx丄 12二、解答题9. 设函数y求

3、110.8.(本大题有y(x)由方程7X7 dx.x(1 x7)5小题，每小题8分，共40 分） ex y sin（xy） 1 确定，求 y （x）以及 y （0）.11.12.13.设 f (x)xe2x ，设函数f(x)连续, g(x)并讨论g(x)在xg(x)0 x 11f (xt)dt03 f(x)dx.求微分方程xy 2 y，且x0处的连续性.xlnx 满足 y(1)lim0空Ax ，A为常数.求19的解.四、解答题(本大题10分)14.已知上半平面内一曲线 y y(x) (x 0)，过点(01)，且曲线上任一点 M(X0,y0)处切线斜率数值上等于此曲线与 x轴、y轴、直线x X。

4、所围成 面积的2倍与该点纵坐标之和，求此曲线方程.五、解答题(本大题10分)15. 过坐标原点作曲线y ln x的切线，该切线与曲线y ln x及x轴围成平面图形D.(1)求D的面积A ； (2)求D绕直线x = e旋转一周所得旋转体的体积 V.六、证明题(本大题有2小题，每小题4分，共8分)16. 设函数f(x)在0,1上连续且单调递减，证明对任意的q ,1，q1f (x) d x q f (x)dx00f ( x) d x 0 f (x)cos x dx 017. 设函数f(x)在0，上连续，且0证明：在0，内至少存在两个不同的点1，2，使f ( J f ( 2)0. (提xF(x) f(

5、x)dx示：设0解答一、单项选择题(本大题有4小题，每小题4分，共16分)1、D 2、A 3、C 4、C二、填空题(本大题有4小题,1 COSX 25. M . 6. 2 x三、解答题(本大题有5小题， 9.解：方程两边求导ex y(1 y ) cos(xy)(xyycos(xy) x cos(xy) y(0)du17每小题c.7.每小题y) o4分，共16分)2.8.38分，共40分)y(x)ex y010.解：u7 x7x6dx原式1(1u). du7u(1u)1尹|u|2ln |u1 ,.7,2,-ln|x| ln |11|) cx 0, yx7|1031(-u11.解:3 f(x)dx

6、03Xd(xexdx0 2x X2dx12.解:g(x)g(x)xxe1003,1 (x 1)2dx02人cos d (令 x 1 sin )2-2e34(f(0)xtf (xt )dtg(0) 0。xu f (u)du0x(x 0)xf(x)xf (u)du气(x 0)xg() limf(u)duixf(x)10 g(x)0f (x) limx 2xxf (u)du2xA2，g (x)在x 处连续。dy2 -y x2dx y e x (1 xln x31y(1) 9，C13.解：dxIn xIn xdxC)Cx 2四、解答题(本大题14解：由已知且y将此方程关于x求导得特征方程：r2 r 2

7、xy - xln x31分)x2 ydx yy 2y其通解为y C1e代入初始条件y()故所求曲线方程为：五、解答题(本大题1分) 解出特征根:A 1,2.C2e2x，() 12 x y e3，得1e3C12x15解：(1)根据题意，先设切点为(x,ln x)由于切线过原点，解出x1(eyA则平面图形面积e，从而切线方程为:1ey)dy -e 1y，切线方程：1 -x eInx1(x x) x(2)三角形绕直线 曲线y In x与x轴及直线 为V2D绕直线x=e一周所得圆锥体体积记为x = e所围成的图形绕直线x= e一周所得旋转体体积1V2(e ey)2dyVi,则V V1 V2-(5e21

8、2e 3)旋转一周所得旋转体的体积6六、证明题(本大题有2小题，每小题4分，共12分)qiqq1f(x)dx q f (x)dxf(x)dx q( f (x) d x f (x)dx)16.证明：0q(1 q) f(x)dx q f(x)dx0q1 0, q 2 q,1q(1q) f( 1)q(1f( 1) f (2)q)f( 2)0故有：qf (x) d x0f(x)dx证毕。17.证：构造辅助函数:xF(x)0f(t)dt,0 x。其满足在0,上连续，在(0,上可导。F (x) f(x)，且 F(0) F( )00由题设，有f (x) cosxdx cosxdF (x)0 0F (x)cosx Isin x F (x)dx0F (x)sin xdx 0有0