材料力学习题及答案

1、材料力学 - 学习指导及习题答案第 一 章绪论1-1 图示圆截面杆，两端承受一对方向相反、力偶矩矢量沿轴线且大小均为m 的力偶作用。试问在杆件的任一横截面m-m 上存在何种内力分量，并确定其大小。解：从横截面m-m 将杆切开，横截面上存在沿轴线的内力偶矩分量m x，即扭矩，其大小等于m。1-2 如图所示，在杆件的斜截面m-m 上，任一点a 处的应力p=120 mpa，其方位角 =20，试求该点处的正应力 与切应力 。解：应力p 与斜截面m-m 的法线的夹角 =10 ，故 pcos=120 cos10 =118.2mpa psin =120 sin10 =20.8mpa1-3 图示矩形截面杆，

2、横截面上的正应力沿截面高度线性分布，截面顶边各点处的正应力均为max=100 mpa ，底边各点处的正应力均为零。试问杆件横截面上存在何种内力分量，并确定其大小。 图中之 c 点为截面形心。1解：将横截面上的正应力向截面形心c 简化，得一合力和一合力偶，其力即为轴力60.04 0.1/2=200 103n =200 knf n=100 10其力偶即为弯矩mz=200 (50-33.33) 10-3 =3.33 kn m1-4 板件的变形如图中虚线所示。试求棱边ab 与 ad 的平均正应变及a 点处直角bad 的切应变。解：第 二 章轴向拉压应力2-1 试计算图示各杆的轴力，并指出其最大值。2解

3、： (a) fnab=f,fn bc=0,fn ，max =f(b) fn ab=f,f nbc =f,fn ，max =f(c) fn ab= 2 kn,f n2bc=1 kn,f ncd =3 kn,f n， max =3 kn(d) fn ab=1 kn,f nbc = 1 kn,f n， max=1 kn2-2 图示阶梯形截面杆ac，承受轴向载荷f 1=200 kn 与 f 2=100 kn ， ab 段的直径d1=40 mm 。如欲使bc 与ab 段的正应力相同，试求bc 段的直径。解：因 bc 与 ab 段的正应力相同，故2-3 图示轴向受拉等截面杆，横截面面积a=500 mm 2

4、，载荷 f=50 kn 。试求图示斜截面m-m 上的正应力与切3应力，以及杆内的最大正应力与最大切应力。解：2 4（2-11） 图示桁架，由圆截面杆1 与杆 2 组成，并在节点a 承受载荷 f=80kn 作用。杆 1、杆 2 的直径分别为 d1=30mm 和 d2=20mm ，两杆的材料相同，屈服极限s=320mpa ，安全因数ns=2.0。试校核桁架的强度。解：由 a 点的平衡方程可求得 1、 2 两杆的轴力分别为由此可见，桁架满足强度条件。2 5（ 2-14） 图示桁架，承受载荷f 作用。试计算该载荷的许用值f。设各杆的4横截面面积均为a，许用应力均为 。解：由 c 点的平衡条件由 b 点

5、的平衡条件1 杆 轴 力 为 最 大 ， 由 其 强 度 条 件2 6（ 2-17） 图示圆截面杆件,承受轴向拉力f 作用。设拉杆的直径为d，端部墩头的直径为d，高度为h，试从强度方面考虑，建立三者间的合理比值。已知许用应力 =120mpa ，许用切应力 =90mpa ，许用挤压应力 bs=240mpa 。解：由正应力强度条件由切应力强度条件由挤压强度条件式 (1) ： 式 (3) 得式 (1) ： 式 (2) 得故d ：h： d=1.225： 0.333： 152 7（2-18） 图示摇臂，承受载荷 f1 与 f2 作用。试确定轴销b 的直径 d。已知载荷 f1 =50kn ， f 2=35

6、.4kn ，许用切应力 =100mpa ，许用挤压应力 bs=240mpa 。解：摇臂abc 受 f1、 f 2 及 b 点支座反力fb 三力作用，根据三力平衡汇交定理知fb 的方向如图（b）所示。由平衡条件由切应力强度条件由挤压强度条件故轴销 b 的直径6第 三 章 轴向拉压变形3-1 图示硬铝试样，厚度=2mm ，试验段板宽b=20mm ，标距 l =70mm 。在轴向拉f=6kn 的作用下，测得试验段伸长l=0.15mm ，板宽缩短b=0.014mm 。试计算硬铝的弹性模量e 与泊松比 。解：由胡克定律3-2(3-5) 图示桁架，在节点 a 处承受载荷f 作用。从试验中测得杆1 与杆 2

7、 的纵向正应变分别为 =4.0 10-4与 =2.0 10-4。试确12定载荷 f 及其方位角 之值。已知杆1 与杆 2 的横截面面积 a1=a2=200mm2 ，弹性模量 e1 =e2=200gpa。解：杆 1 与杆 2 的轴力（拉力）分别为由 a 点的平衡条件(1)2+(2) 2 并开根，便得7式 (1)：式 (2)得3-3(3-6) 图示变宽度平板，承受轴向载荷f 作用。试计算板的轴向变形。已知板的厚度为 ，长为 l，左、右端的宽度分别为b1 与 b2，弹性模量为e。解：3-4(3-11)图示刚性横梁ab ，由钢丝绳并经无摩擦滑轮所支持。设钢丝绳的轴向刚度（即产生单位轴向变形所需之力）为

8、k，试求当载荷f 作用时端点b 的铅垂位移。解：设钢丝绳的拉力为t，则由横梁ab 的平衡条件8钢丝绳伸长量由图（ b）可以看出， c 点铅垂位移为l/3，d 点铅垂位移为2l/3，则 b 点铅垂位移为l ，即3-5(3-12) 试计算图示桁架节点a 的水平与铅垂位移。设各杆各截面的拉压刚度均为ea。解： (a) 各杆轴力及伸长（缩短量）分别为因为 3杆 不 变 形 ， 故a点 水 平 位 移 为 零 ， 铅 垂 位 移 等 于b点 铅 垂 位 移 加2杆 的 伸 长 量 ， 即(b) 各杆轴力及伸长分别为a 点的水平与铅垂位移分别为(注意 ac 杆轴力虽然为零，但对a 位移有约束 )n= 表示

9、（图 b），其中和3-6(3-14) 图 a 所示桁架，材料的应力 -应变关系可用方程 nbb为由实验测定的已知常数。试求节点c 的铅垂位移。设各杆的横截面面积均为 a。9(a)(b)解： 2 根杆的轴力都为2 根杆的伸长量都为则节点 c的铅垂位移3-7(3-16) 图示结构，梁bd 为刚体，杆1、杆 2 与杆 3 的横截面面积与材料均相同。在梁的中点c 承受集中载荷 f 作用。试计算该点的水平与铅垂位移。已知载荷f=20kn ，各杆的横截面面积均为a=100mm 2，弹性模量 e=200gpa，梁长 l=1000mm 。10解：各杆轴力及变形分别为梁 bd 作刚体平动，其上b、 c、 d 三

10、点位移相等3-8(3-17) 图示桁架，在节点b 和 c 作用一对大小相等、方向相反的载荷f。设各杆各截面的拉压刚度均为ea，试计算节点b 和 c 间的相对位移b/c。解：根据能量守恒定律，有3-9(3-21)由铝镁合金杆与钢质套管组成一复合杆，杆、管各载面的刚度分别为e1a1 与 e2a2。复合杆承受轴向载荷 f 作用，试计算铝镁合金杆与钢管横载面上的正应力以及杆的轴向变形。解：设杆、管承受的压力分别为fn1 、f n2 ，则fn1 +f n2 =f(1)变 形 协 调 条 件 为 杆 、 管 伸 长 量 相 同 ， 即联 立 求 解 方 程 (1) 、 (2) ，11得杆 、 管 横 截

11、面 上 的 正 应 力分 别 为杆的轴向变形3-10(3-23) 图示结构，杆1 与杆 2 的弹性模量均为e，横截面面积均为 a，梁 bc 为刚体，载荷f=20kn ，许用拉应力 t=160mpa ，许用压应力 c=110mpa 。试确定各杆的横截面面积。解：设杆1 所受压力为fn1 ，杆 2 所受拉力为fn2 ，则由梁 bc 的平衡条件得变形协调条件为杆1 缩短量等于杆2 伸长量，即联立求解方程(1) 、(2)得因为杆 1、杆 2 的轴力相等， 而许用压应力小于许用拉应力，故由杆 1 的压应力强度条件得123-11(3-25) 图示桁架， 杆 1、杆 2 与杆 3 分别用铸铁、 铜和钢制成，

12、 许用应力分别为 1=40mpa ， 2=60mpa ， 3=120mpa ，弹性模量分别为e1=160gpa，e2=100gpa，e3=200gpa。若载荷 f=160kn ， a1=a2=2a3，试确定各杆的横截面面积。解 ： 设 杆1 、 杆2 、 杆3的 轴 力 分 别 为f n1 ( 压 ) 、 f n2( 拉 ) 、 f n3 ( 拉 ) ， 则 由c点 的 平 衡 条 件杆 1、杆 2 的变形图如图 (b)所示，变形协调条件为c 点的垂直位移等于杆3的伸长，即联立求解式 (1)、 (2)、(3)得由三杆的强度条件13注意到条件a1=a2=2a3，取 a1=a2=2 a3=2448

13、mm 2。3-12(3-30) 图示组合杆，由直径为30mm 的钢杆套以外径为50mm、内径为30mm 的铜管组成，二者由两个直径为 10mm 的铆钉连接在一起。铆接后，温度升高40，试计算铆钉剪切面上的切应力。钢与铜的弹性模量分别为es=200gpa 与 ec=100gpa，线膨胀系数分别为 l s=12.5 10 与 l c=16 10 。解：钢杆受拉、铜管受压，其轴力相等，设为f n，变形协调条件为钢杆和铜管的伸长量相等，即铆钉剪切面上的切应力3-13(3-32) 图示桁架，三杆的横截面面积、弹性模量与许用应力均相同，并分别为a、e 与 ，试确定该桁架的许用载荷f。为了提高许用载荷之值，

14、现将杆 3 的设计长度 l 变为l+。试问当为何值时许用载荷最大，其值 fmax 为何。解：静力平衡条件为变形协调条件14为联立求解式(1)、(2)、(3)得杆 3 的轴力比杆1、杆 2 大，由杆3 的强度条件若将杆 3 的设计长度l 变为 l+，要使许用载荷最大，只有三杆 的 应 力 都 达 到 ， 此 时变 形 协 调 条 件 为1516第 四 章扭转4-1(4-3)图示空心圆截面轴，外径d=40mm ，内径 d=20mm ，扭矩 t=1kn ?m。试计算横截面上的最大、最小扭转切应力，以及a 点处（ a=15mm ）的扭转切应力。17解：因为 与 成正比，所以4-2(4-10) 实心圆轴

15、与空心圆轴通过牙嵌离合器连接。已知轴的转速n=100 r/min ，传递功率p=10 kw ，许用切应力 =80mpa ， d1/d2=0.6。试确定实心轴的直径d，空心轴的内、外径d1 和 d2。解：扭矩由实心轴的切应力强度条件由空心轴的切应力强度条件4-3(4-12)某传动轴，转速 n=300 r/min ，轮 1 为主动轮，输入功率p1 =50kw ，轮 2、轮 3 与轮4 为从动轮，输出功率分别为p2=10kw ， p 3=p4=20kw 。18(1) 试求轴内的最大扭矩；(2) 若将轮 1 与轮 3 的位置对调，试分析对轴的受力是否有利。解： (1)轮1 、 2 、 3 、 4作用在

16、轴上扭力矩分别为轴内的最大扭矩若将 轮1与 轮3的 位置对 调 ，则最 大扭矩变 为最大扭矩变小，当然对轴的受力有利。4-4(4-21) 图示两端固定的圆截面轴，承受扭力矩作用。试求支反力偶矩。设扭转刚度为已知常数。解： (a) 由对称性可看出，ma=m b，再由平衡可看出ma=mb =m19(b)显然 ma=mb，变形协调条件为解得(c)(d) 由静力平衡方程得变形协调条件为联立求解式 (1)、 (2)得4-5(4-25) 图示组合轴， 由套管与芯轴并借两端刚性平板牢固地连接在一起。设作用在刚性平板上的扭力矩为m=2kn m，套管与芯轴的切变模量分别为g1=40gpa 与 g2=80gpa。

17、试求套管与芯轴的扭矩及最大扭转切应力。解：设套管与芯轴的扭矩分别为t1、t2，则t1+t2 =m =2kn m(1)变形协调条件为套管与芯轴的扭转角相等，即联立求解式 (1)、 (2)，得套管与芯轴的最大扭转切应力分别为204-6(4-28) 将截面尺寸分别为 100mm 90mm 与 90mm 80mm 的两钢管相套合，并在内管两端施加扭力矩 m0=2kn m 后，将其两端与外管相焊接。试问在去掉扭力矩m 0后，内、外管横截面上的最大扭转切应力。解：去掉扭力矩m 0 后，两钢管相互扭，其扭矩相等，设为t，设施加 m 0 后内管扭转角为0 。去掉 m0 后，内管带动外管回退扭转角1（此即外管扭

18、转角） ，剩下的扭转角( 0- 1)即为内管扭转角，变形协调条件为内、外管横截面上的最大扭转切应力分别为4-7(4-29)图示二轴，用突缘与螺栓相连接，各螺栓的材料、直径相同，并均匀地排列在直径为d=100mm的圆周上，突缘的厚度为 =10mm ，轴所承受的扭力矩为m =5.0 kn m，螺栓的许用切应力 =100mpa ，许用挤压应力 bs =300mpa 。试确定螺栓的直径d。21解 ： 设 每 个 螺 栓 承 受 的 剪 力 为f s ， 则由 切 应 力 强 度 条件由挤压强度条件故螺栓的直径2223第 五 章弯曲应力1(5 1)、平衡微分方程中的正负号由哪些因素所确定?简支梁受力及o

19、x 坐标取向如图所示。试分析下列平衡微分方程中哪一个是正确的。24解： b 正确。平衡微分方程中的正负号由该梁ox 坐标取向及分布载荷q( x)的方向决定。截面弯矩和剪力的方向是不随坐标变化的，我们在处理这类问题时都按正方向画出。但是剪力和弯矩的增量面和坐标轴的取向有关，这样在对梁的微段列平衡方程式时就有所不同，参考下图。当ox 坐标取向相反，向右时，相应(b)， a 是正确的。但无论 a 、 b 弯矩的二阶导数在q 向上时，均为正，反之，为负。2(5 2)、对于承受均布载荷q 的简支梁，其弯矩图凸凹性与哪些因素相关?试判断下列四种答案中哪一种是错误的。解：a 是错误的。 梁截面上的弯矩的正负

20、号，与梁的坐标系无关，该梁上的弯矩为正，因此 a 是错误的。弯矩曲线和一般曲线的凸凹相同，和y 轴的方向有关，弯矩二阶导数为正时，曲线开口向着y 轴的正向。 q(x)向下时，无论 x 轴的方向如何， 弯矩二阶导数均为负，曲线开口向着y 轴的负向， 因此 b 、c、d 都是正确的。253(5 3)、应用平衡微分方程画出下列各梁的剪力图和弯矩图，并确定|f q |max 和 |m|max。（本题和下题内力图中，内力大小只标注相应的系数。）解：264(5 4)、试作下列刚架的弯矩图，并确定|m |max。解：5(55) 、静定梁承受平面载荷，但无集中力偶作用，其剪力图如图所示。若已知a 端弯矩m(0

21、)=0 ，试确定梁上的载荷(包括支座反力 ) 及梁的弯矩图。解：276(56) 、已知静定梁的剪力图和弯矩图，试确定梁上的载荷(包括支座反力)。解：7(5 7)、静定梁承受平面载荷，但无集中力偶作用，其剪力图如图所示。若已知e 端弯矩为零。请：（ 1）在 ox 坐标中写出弯矩的表达式；（ 2）试确定梁上的载荷及梁的弯矩图。28解：8(5-10) 在图示梁上，作用有集度为m=m(x)的分布力偶。试建立力偶矩集度、剪力及弯矩间的微分关系。解 ： 用 坐 标 分 别 为x与x+dx的 横 截 面 ， 从 梁 中 切 取 一 微 段 ， 如 图 (b) 。 平 衡 方 程 为9(5-11)对于图示杆件

22、，试建立载荷集度（轴向载荷集度q 或扭力矩集度m）与相应内力（轴力或扭矩）间29的微分关系。解： (a) 用坐标分别为x 与 x+dx 的横截面，从杆中切取一微段，如图(c)。平衡方程为(b) 用坐标分别为 x 与 x+d x 的横截面，从杆中切取一微段，如图(d)。平衡方程为10(5-18)直径为 d 的金属丝，环绕在直径为d 的轮缘上。试求金属丝内的最大正应变与最大正应力。已知材料的弹性模量为e。解：3011(5-23) 图示直径为d 的圆木，现需从中切取一矩形截面梁。试问：(1)如欲使所切矩形梁的弯曲强度最高，h 和 b 应分别为何值；(2)如欲使所切矩形梁的弯曲刚度最高，h 和 b 应

23、分别为何值；解： (1) 欲使梁的弯曲强度最高，只要抗弯截面系数取极大值，为此令(2) 欲使梁的弯曲刚度最高，只要惯性矩取极大值，为此令12(5-24) 图示简支梁， 由 18 工字钢制成， 在外载荷作用下，测得横截面 a 底边的纵向正应变 =3.0 10 -4 ，试计算梁内的最大弯曲正应力。已知钢的弹性模量e=200gpa， a=1m 。31解：梁的剪力图及弯矩图如图所示，从弯矩图可见：13(5-32) 图示槽形截面铸铁梁，f=10kn ， me=70kn m，许用拉应力 t =35mpa ，许用压应力 c=120mpa 。试校核梁的强度。解：先求形心坐标，将图示截面看成一大矩形减去一小矩形

24、惯性矩32弯矩图如图所示，c 截面的左、右截面为危险截面。在 c 左截面，其最大拉、压应力分别为在 c 右截面，其最大拉、压应力分别为故14(5-35) 图示简支梁， 由四块尺寸相同的木板胶接而成，试校核其强度。 已知载荷 f=4kn ，梁跨度 l=400mm ，截面宽度b=50mm ，高度 h=80mm ，木板的许用应力=7mpa ，胶缝的许用切应力 =5mpa 。解：从内力图可见木板的最大正应力由剪应力互等定理知：胶缝的最大切应力等于横截面上的最大切应力可见，该梁满足强度条件。15(5-41) 图示简支梁，承受偏斜的集中载荷f 作用，试计算梁内的最大弯曲正应力。已知f=10kn ， l=1

25、m，33b=90mm ， h=180mm 。解：16(5-42)图示悬臂梁， 承受载荷 f1 与 f2 作用，已知 f1=800n ，f2=1.6kn ，l=1m ，许用应力 =160mpa 。试分别按下列要求确定截面尺寸：(1) 截面为矩形， h=2 b；(2) 截面为圆形。解 ： (1)危 险 截 面 位 于 固 定 端(2)17(5-45)一铸铁梁，其截面如图所示，已知许用压应力为许用拉应力的4 倍，即 c=4 t 。试从强度方面考虑，宽度b 为何值最佳。34解：又因 y1+y2=400 mm ，故 y1 =80 mm ，y2 =320 mm。将截面对形心轴z 取静矩，得18(5-54)

26、 图示直径为d 的圆截面铸铁杆，承受偏心距为e 的载荷 f 作用。试证明：当e d/8 时，横截面上不存在拉应力，即截面核心为r=d/8 的圆形区域。解：19(5-55)图示杆件，同时承受横向力与偏心压力作用，试确定f 的许用值。已知许用拉应力 t=30mpa ，许用压应力 c=90mpa 。35解：故 f 的许用值为4.85kn。3637第 七 章 应力、应变状态分析7-1(7-1b) 已知应力状态如图所示（应力单位为解：与截面的应力分别为：7-2(7-2b) 已知应力状态如图所示（应力单位为解：与截面的应力分别为：；），试用解析法计算图中指定截面的正应力与切应力。；mpa），试用解析法计算图中指定截面的正应力与切应力。；387-3(7-2d) 已知应力状态如图所示（应力单位为），试用图解法计算图中指定截面的正应力与切应力。解：如图，得：指定截面的正应力切应力7-4(7-7) 已