平面力系的平衡方程及应用

1、顺设计基础之平面力系的平衡平面力系的平衡LOGO 11平面力系的平衡力系一平O内作用在物体上力的总称（力的集合）.1言1111111根据力的作用线是否共面可分为：盂韶条汇交力系 根据力的作用线是否汇交可分为：平行力系任意力系平衡力系一作用在物体上使物体保持平衡的力系4平面力系的平衡平1:1汇交力系F平面力偶系平面力系的平衡Q6m平甬平面汇交力系级目录平面力偶系平面汇交力系平面汇交力系平面汇交力系1、力在直角坐标轴上的投影；2、合力投影定理；3、平面汇交力系合成的解析法平面汇交力系1:1汇交力系:各力的作用线都在 同一平面内且汇交于 一点的力系。研究方法：几何法.解析法.力在直角坐标轴上的投影F

2、x=Fcosa ;Fy=Fsra = F cos0说明：(1) 力在坐标轴上的投影为代数量；(2) 力的指向与坐标轴的正向一致反 值，否则为负。合力投影定理由图可看出，各分力在X 影的和分别为：Frx二耳+心+尸3厂/合力投影定理：合力在任一轴上的投影，等于各分力在同一轴上投影平面汇交力系合成的解析法平面汇交力系平衡的必要与充分条件是该力系的合力为鸟 5=0J泾 + 税=。工几，=0两个独立方XFyi = 0J可求解两彳平面汇交力系平衡的必要和充分条件是：各力在两个任: 标轴上投影的代数和等于零。几点说明：(1) 投影轴常选择与 最好使每个方程中只7(2) 未知力的方向可 果求出负值，说明与彳

3、 于二力构件，一般先勺 求出负值，说明物体Q平面汇交力系合成的解析法解析法解题步骤：(1) 选取研究对象;(2) 画出研究对象的受力图;(3) 合理选取坐标系.列平 衡方程求解;；(4) 对结果进行必要的分析 和讨论.平面汇交力系合成的解析法例题1已知：P, a ,求：A. 处约束反力. 解：(1)取刚架为研究对象(2) 画受力图(3) 建立坐标系.列方程求解2Fx = 0, P -Fa cosa = 0ZFV =0, Fb -Fa sina = 0 解上述方程.得Q平面汇交力系合成的解析法例题2已知P=2kN 求Scd , Ra解：研究力8杆 画出受力图 列平衡方程工X=0凡CO 矽一 Sg

4、 co S =0工eo-P-Rsin（p+Sa）-sin45 =00平面汇交力系合成的解析法R“CO 卸-ScdCOSS=0一 P- Ra -sin(j94- SCD si n45=0 解平衡方程由 EB=BC=0.4m,* EB 0.41tg?=AB=r2=3解得： = sin450-X450.tgy=4-24kNRa=ScdE 4=3.16kNcos cp平面汇交力系平面力系的平平面力偶系平面力偶系!、力矩的概念；2、合力矩定理；人力偶和力偶矩；4、平面力偶系的合成与平衡平面力偶系力对物体可以产生移动效应一取决于力的大小、方I 转动效应一取决于力矩的大小、：力矩：平面力偶系是度量力对刚体转

5、动效应的物理量。Q力对点之矩说明： 平面内力对点之矩是代数量 大小有关，且与矩心位置有关。 力对点之矩不因力的作用线 当戶0或h=Q时, 互成平衡的两个力对同一点 为零。合力矩定理定理：平面汇交力系的合力对平面内任一点的矩,有各分力对同一点的矩的代数和。即：r)=i )i=l4 FiB%(/?) = %(件)+ 合力矩定理例题3已知：如图F、Q、1,求：Mo(F)和M0(Q) 解：用力对点的矩法Mo(F) = Fd=F-sin aM(Q) = -Ql应用合力矩定理MO(F) = FX Z + Fv Z cotaAfo(F) = F -sina-/ + F -cosa-Z 一 Flsin aMO

6、(Q) = -Q IQ合力矩定理例题4已知：如图F、R、求:Ma(F).解：应用合力矩定理Ma(戸)=Ma(Fx) + MA(Fy)一 (_GMA(F) = -Fx-(R-rcosa) + Fy -r-sina x. ”Ma (F) = -F cosa(7? -rcosa) + Fsina-r Ma(F) = -F cosodR + Fr例题5已知：如图q、I,求：合力的大小和作用线位量解：/MAQ) = -Qxc=-qdx x0I _ql2qg _合力矩定理例题6已知：如图q、/,求：合力的大小和作用线位了解：Q = jqfdx =j-xdx o 0 IMA(Q) = -Qxc=-qdxx0

7、注h三角; 小等于该三 作用线通刘力偶与力偶矩等、力组成的刀黏两力之间的垂直距离.力偶臂一力0力偶与力偶矩力偶矩 _ 度量力偶对物体的转动效应= F(x+d)-Fk = Fd力偶矩与力矩具有相同的性质.力偶的三要素：力偶矩的大小；力偶的转向；力偶的力偶与力偶矩平面力偶的性质性质“力偶中两个力在任意方向上的投 影等于零，故力偶对物体不产生移动效应性质2：力偶不能合成为一个力（没有合 力），也不能用一个力来平衡，力偶只能 与力偶来平衡。力和力偶是两个基本力素。Q力偶与力偶矩性质3：力偶对其所在平面内任一点的矩恒等于力偶:平面力偶的性质的位置无关，因此力偶对刚体的效应用力偶: （戸）+加。（F）=F

8、（兀二Fd 二由于O点是任取的m = 土 F d 力偶与力偶矩在同平面内的两个力偶*如果力偶矩相力偶的等效等，则两力偶彼此等效.推论1:力偶对刚体的作用与力偶在其作 用面内的位置无关；推论2：只要保持力偶矩的大小和力偶的转向不变.可以同时改变力偶中力的大小 和力偶臂的长短，而不改变力偶对刚体的作用.力偶表示方法思考：力偶与力的异同共同点：单位统一、符号规定统一.差异点：1力矩随矩心位置不同而变化; 偶矩对物体作用效果与矩心选取无关.2.力偶矩可以完全描述一个力术 力对点之矩不能完全描述一个力.思考：1 如果某平面力系由多个力偶和一个力组成.该力系一戈2如果某平面力系由多个力和一个力偶组成，该力

9、系一启平面力偶系的合成与平衡平面力偶系的合成M = Fidl = F3J M2 = F&2 = F謳 F=Fg FF：-F；M = FJ=(F4-F3W=M1+M2任意个力偶的情况M =+陋+必a结论：平面力偶系合成结果还是一个力偶, 力偶矩为各力偶矩的代数和.平面力偶系的平衡Q平面力偶系的合成与平衡平面力偶系平衡的充要条件是:所有各力偶矩的, 等于零。n即工=0i=平面力偶系的合成与平衡例题7 简支梁作用一矩为M的力偶，不计梁重，求二 力.（侶d）解：以梁为研究对象.&梁上除作用有力偶A/外，还有反丿/力耳，F,-因为力偶只能与力偶平衡，所以FFb.又= O即 M FAd = O 所以 FA

10、=FB = M/dQ平面力偶系的合成与平衡例题n如图所示的工件上作用有三个力偶.已知三个为：A/1=A/2=10N.m, A/3=2O N.m;固定螺柱 A 和的mm求两个光滑螺柱所受的水平力. 解：选工件为研究对象，因为力偶只能与力偶平衡，所以，力禺与F&构成一力偶，故Fa= Fb.列写平衡方程：M=0, FJ_M -M2 -My =O解得=U+W + S = 2Oon级目录FF平面力偶系平面力系的平衡平面任意力系2mn(平面任意力系1、力系的简化2、平面任宣力系的平衡方程及应用平面任意力系平面任意力系：各力的作用线在同一 平面内，既不汇交为一点又不相互平行 的力系。研究方法:（平面任意力系

11、）未知力系V力系向一点简化V已知力系（平面汇交力系和平面力偶系）平面任意力系平面任意力系的简化力的平移定理定理：可以把作用于刚体上点4的力F平行移到任一丿 同时附加一个力偶，这个附加力偶的矩等于原来的才 点B的矩。力的平移讨论平面任意力系的简化平面任意力系的简化O 简化中心F 2 =F 2 M2=Mo(1F3 =F； M3=Mo(1平面汇交力系 一faf；+f；+f；= F1+F2+F3 平面力偶系 Mo=M+M2+M 尸 Mo(FJ+ M.平面任意力系的简化平面一般力系向平面内一点简化原力系的主矢力系对于简化=结论：平面任意力系向作用面内任一点o简化，可得- 力偶，这个力等于该力系的主矢，作

12、用线通过简化中丿 的矩等于力系对于点O的主矩。Fr = J(Z F.)2 + (z FJ2 Mo =工 Mo(F 2=1平面任意力系的简化平面任意力系的平衡方程及应用平面任意力系平衡的充要条件为:力系的主矢码和主矩都等于零J码=0为力平衡! Mo =0为力偶也平衡IX =0工(斤)平面任意力系的平衡方程及应用I 丨艺耳=0I艺行=0平面任意力系平衡方程休XMo(F) = Q几点说明：(1)三个方程只能求解三个未知量；(2)二个投影坐标轴不一定互相垂直，只要不丄:(3)投影坐标轴尽可能与多个未知力平行或垂J(4)力矩方程中，矩心尽可能选多个未知力的3平面任意力系的平衡方程及应用画警力图例题12已

13、知：q, a, P=qa, M=Pa,求：A、B两点的: 解：选AB梁为研究对象。2a7ra外1列平衡方程，求未知量。 艺Ma(E)=O -P 2aiffZFx=OF“0FH+FAy-r-2qa = /. F4j =平面任意力系的平衡方程及应用例题 13 已知：Q=75kN, P=1.2kN, 1=2.5m, a=2m, a解：(1)选梁为研究对象。求：BC杆拉力和较处的支座反力？(2)画受力图FbcFyA(3)列平衡方程，求未知量。A1/2工吻(E)urAxFrc sina-Z P Qa = 02Fbc=(PM2 + Qa) /Qsin a) = 1 32kN工人=0 Pax - fbc c

14、osa = 0心=Fbc co scIX = 0FAy + F眈 sina_F= 0FAx = P + Q- Frc sin a = 2 .kN&平面任意力系的平衡方程及应用(3)列平衡方程，求未知量。Ay工M) = 0尸A1/2Fbc sina I PQa 02a_Frc =13.2A7V1工也(巧)=0-F4l/4-P- + (Z-a) = ()2仏=:工 E=0AX - FBC COS = 0心=1平面任意力系的平衡方程及应用（3）列平衡方程，求未知量。AFbc sina/ Qa = 0Fbc = 13.2KN叫a-工 M(E)= O工 M) = 0Q平面任意力系的平衡方程及应用基本式（一矩式）二矩式f为0 ZF,=oVYZ1 工（E）=o.工 mM)=o条件:X轴不垂直于条件:AB线任务实施：塔式起重机如图。机架重为W=200KN,作用线d心。最大起重量P=50KN,最大悬臂长为12m,轨道AB的曲 衡荷重Q=30KN,到机中心距离为6m。求：1、空载和满载时，轨道对机轮A、B的法向约束力；2、此起重机在空载和满载时会不会翻倒？6mAiH J解：选起重机为研究对象。(1)要使起重