不定积分的概念及其性质

1、第一节不定积分的概念及其性质教学目的：使学生掌握原函数与不定积分的概念及性质基本积分公式.教学重点：基本积分公式的推导及应用 .教学过程：一、原函数与不定积分的概念定义1如果在区间I上可导函数F(x)的导函数为f(x) 即对任一 xT 都有F (x) =f(x)或 dF(x) =f(x)dx那么函数F(x)就称为f(x)(或f(x)dx)在区间I上的原函数例如 因为(sin x)比os x 所以sin x是cos x的原函数原函数存在定理如果函数f(x)在区间I丄连续那么在区间I上存在可导函数又如当x (1:)时因为(“叮X提问：所以x是2；x的原函数cos x 和21x还有其它原函数吗?F(

2、x) 使对任一 x T都有F (x) =f(x)简单地说就是连续函数一定有原函数两点说明第_如果函数f(x)在区间I上有原函数F(x) 那么f(x)就有无限多个原函数F(x) C都是f(x)的原函数其中C是任意常数第二f(x)的任意两个原函數之间只羞一个常数 即如果(X)和F(x)都是f(x) 的原函数则G(x)_F(x) (C为某个常数)定义2在区间I上 函数f(x)的带有任意常数项的原函数称为f(x)(或f(x)dx ) 在区间I上的不定积分 记作f(x)dx其中记号称为积分号f(x)称为被积函数f(x)dx称为披积表达式x称为积分变量根据定义 如果F(x)是f(x)在区间I上的个原函数

3、那么F(x) C就是f(x) 的不定积分即f (x)dx = F(x) C因而不定积分f(x)dx可以表示f(x)的任意一个原函数因为sin x是cos x的原函数 所以因为是2.1x的駆数所以例2.求函数f(x)二丄的不定积分Xdx =lnx C (x0)X当 x0 时 ln( X) =(-i)=-XX-dx =ln(丄)C (x0)X合并上面两式 得到Idx =ln |x| C (x10)x例3设曲线通过点(12)且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍求此曲线的方程解 设所求的曲线方程为y斗(x) 按题设曲线上任一点(xy)处的切线斜率为 y f (x) =2x,J即f(x)是2x的

4、个原函数因为 2xd xx2 C故必有某个常数C使f(x)伙2 C 即曲线方程为y=x 2 C因所求曲线通过点(12) 故2=1 C C=1于是所求曲线方程为yx2积分曲线 函数f(x)的原函数的图形称为f(x)的积分曲线从不定积分的定义即可知下述关系乎f(x)dx=f(x)dx或d f (x)dx二 f (x)dx又由于F(x)是F (x)的原函数 所以F (x)dx=F(x) C或记作 dF(x) =F(x) C由此可见微分运算(以记号d表示与求不定积分的运算(简称积分运算以记号表示)是互逆的当记号与d连在一丘时或者抵消或者抵消后差个常数、基本积分表(1) kdx 二kx C(k 是常数)

5、(3) -dx =ln |x| Cax(5) axdx - CJ In a(7) sinxdx 二-cosx C(2) “dx=土X)1 C(4) exdx=ex C(6) cosxdx =sin x Cdx =arcta nx 亠C(8) dx 二 sec2 xdx 二 tan x C ，cos2x(9) dx = csc2 xdx = -cot x C sin 2x(11) J dx =arcsinx +C(12) secxtanxdx 二secx C(13) cscxcotdx - -cscx C例 三十- .占dx= x：dx 二才xxd：xdx 二宁 C =-3x C 二 _3 三、

6、不定积分的性质 C-右 C=-2 x3、x C57xSxdx= x2dxx空 C = x2 C5 41性质1函数的和的不定积分等各个函数的不定积分的和即33x C2这是因为,f (x)dx 亠 ig(x)dx = f(x)dx g(x)dx =f(x) g (x).性质2 求不定积分时被积函数中不为零的常数因子可以提到积分号外面来即kf(x)dx =k f (x)dx(k 是常数 k 10)5 丄例 7.! ：,;：x(x2 -5)dx 二(x至-5x)dx522=x2dx 5xdx = xdx-5 xdx73Zx2 -5 ?x2 C73例8冒dx=&_3丄4皿x2x2x x2=xdx-3 dx 3 dx一- dxx23x 31 n|x| 1 Cx x 2x例 9(ex3cosx)dx = exdx3 cosxdx =ex _3sinx C例 102xexdx = (2e)xdx 二CCln (2e)1 l n2例 11Tdxn .x,1(宀x(1 +x )x(1 +x )1 +xx11dxdx=arctanx in|x| C .1 x2x例 12 羊 dx=Tldx = jS/dx1+x21+x21+x2= .(x2-1 七)dx= x2dx- dx +dx=丄疋-x a r c t a nC3例 13tan 2xdx = (sec2 x-1)