近世代数基础课件

1、1 第一章 绪 论 2 第1讲 绪 论 一 关于代数的观念 二 数学史的发展阶段 三 代数发展的阶段(数学发展史) 四 代数学发展的四个阶段 五 几类与近世代数的应用有关的实际 问题 3 第二章第二章 基本概念基本概念 4 第第1 1讲讲 集合及其之间的关系集合及其之间的关系 集合集合 第第2 2讲讲 集合及其之间的关系集合及其之间的关系 对应关系对应关系( (映射映射)( )(人造关系人造关系) ) 第第3 3讲讲 代数运算适应的规则代数运算适应的规则运算律运算律 第第4 4讲讲 与代数运算发生关系的映射与代数运算发生关系的映射同态映射同态映射 第第5 5讲讲 等价关系与分类等价关系与分类

2、5 第第1 1讲讲 基本概念之集合及其之间的关系基本概念之集合及其之间的关系 集合集合 1 集合与集合元素的定义集合与集合元素的定义 2 2 集合与集合元素的表示符号集合与集合元素的表示符号 3 3 集合与集合元素之间的关系集合与集合元素之间的关系 属于关系属于关系 4 4 集合的分类标准及分类集合的分类标准及分类 5 5 集合的表示方法集合的表示方法 6 6 集合之间的内在关系集合之间的内在关系包含关包含关 系系 7 7 集合运算集合运算 8 8 运算律运算律 9 9 特殊集合的表示符号特殊集合的表示符号 10 10 集合的补充说明集合的补充说明 11 11 包含与排斥原理包含与排斥原理 集

3、合与元素的相关概念 集合的相关概念 集合的运算及运算律 集合的补充及说明 6 第第2讲讲 基本概念之集合及其之间的关系基本概念之集合及其之间的关系 对应关系对应关系(映射映射)(人造关系人造关系) 1 1 映射概念回忆映射概念回忆 2 2 映射及相关定义映射及相关定义 3 3 映射的充要条件映射的充要条件 4 4 映射举例映射举例 5 5 符号说明符号说明 6 6 映射的合成及相关结论映射的合成及相关结论 7 7 映射及其映射相等概念的推广映射及其映射相等概念的推广 8 8 集合及其之间的关系集合及其之间的关系特殊特殊 的映射（代数运算）的映射（代数运算） 9 9 集合及其之间的关系集合及其之

4、间的关系一一一一 映射映射 映射相关概念及举例 映射的运算 映射及其相关概念的推广 特殊映射 7 第第3 3讲讲 基本概念之代数运算适应的规则基本概念之代数运算适应的规则 运算律运算律 1 1 与一种代数运算发生关系的运算律与一种代数运算发生关系的运算律 （1 1）结合律）结合律 （2 2）交换律）交换律 （3 3）消去律）消去律 2 2 与两种代数运算发生关系的运算律与两种代数运算发生关系的运算律 （1 1）第一分配律）第一分配律 （2 2）第二分配律）第二分配律 8 第第4 4讲讲 基本概念之与代数运算发生关系的映射基本概念之与代数运算发生关系的映射 同态映射同态映射 1 1 同态映射同态

5、映射 2 2 同态满射同态满射 3 3 同构映射同构映射 4 4 自同构映射自同构映射 5 5 举例举例 9 第第5讲讲 基本概念之等价关系与集合的分类基本概念之等价关系与集合的分类 商集商集 1 1 商集商集 2 2 等价关系等价关系 3 3 集合的分类集合的分类 4 4 集合集合a a上的等价关系与上的等价关系与 集合集合a a的分类之间的联系的分类之间的联系 10 第三章 群 11 第第1 1讲讲 代数系统代数系统 第第2 2讲讲 半群半群 第第3 3讲讲 群的定义及性质群的定义及性质 第第4 4讲讲 有限群有限群 第第5 5讲讲 子群的定义及性质子群的定义及性质 第第6 6讲讲 元素的

6、阶元素的阶 第第7 7讲讲 循环群循环群 第第8 8讲讲 变换群变换群 第第9 9讲讲 特殊子群特殊子群 第第10 10讲讲 群的同态与同构群的同态与同构 第第11 11讲讲 群与对称的关系群与对称的关系 特殊群 12 2 2 代数系统的举例代数系统的举例 1 代数系统及子代数系统的定义代数系统及子代数系统的定义 13 第2讲 半群 1 半群、子半群、交换半群的定 义及判定定理 2 半群的举例 3 半群中幂的定义及性质 14 1 群的第一定义 2 单位元及逆元的定义 3 群的第二定义 4 群的第三定义 5 群的第四定义 6 群的定义的等价证明 7 群的举例 8 群的重要性质 第3讲 群的定义及

7、性质 15 第4讲 有限群 1 群的分类及群的阶 2 有限群的判定定理 3 由有限集合上代数运算的运算表观 察代数运算的性质 16 1 子群定义 2 子群的判别方法 3 子群的性质 第5讲 子群的定义及性质 17 1 元素阶的定义 2 元素阶的举例 3 元素阶的性质 第6讲 群中元素的阶 18 2 循环群与元素阶的关系 1 循环群的定义及举例 3 循环群的一般形式 5 循环群生成元的确定定理 第7讲 循环群 4 循环群的生成元的个数定理 19 第8讲 变换群 1 变换、满变换、单变换、一一变换 的定义及符号说明 2 特殊集合关于乘法的结论 3 变换群举例 4 特殊的变换群 20 1 循环群子群

8、的一些结论 2 循环群概念的推广 3 特殊子群的几何意义探讨 4 子群的陪集 5 正规子群与商群 第9讲 特殊子群 21 1 群的同态的定义及举例 2 同态的性质及结论 3 同构的性质及结论 4 循环群的构造及循环群之间的同态 5 同态基本定理与同构定理 第10讲 群的同态与同构 22 第11讲 群与对称的关系 1 序言 2 几何对称 3 代数对称 23 第四章 环论 24 第1讲 环的定义及基本性质 第2讲 特殊元素及性质 第3讲 环的分类及特殊环的性质 第4讲 环的特征 第5讲 子环、理想(主理想)及素理想和极大理想 第6讲 环的同态与同构 第7讲 特殊环 第8讲 商域 第9讲 有限域 2

9、5 第1讲 环的定义及基本性质 1 环的定义 2 环的举例 3 环的初步性质 26 第2讲 特殊元素及性质 1 特殊元素之一零元、负 元及单位元、逆元、零因子 2 零因子的性质 3 求环中的特殊元素举例 27 第3讲 环的分类及特殊环的性质 1 特殊环的定义 2 除环的性质 3 有限环的几个相关结论 4 域中元素的计算方法 5 循环环的性质 28 第4讲 环的特征 1 环的特征的定义 2 特殊环的特征(数)及相关结论 3 举例 29 第5讲 子环、理想(主理想)及素理想和极大理想 1 子环 2 理想(主理想) 3 素理想和极大理想 30 第6讲 环的同态与同构 1 环的同态及同构的定义 2 环

10、的同态的举例 3 环的同态基本性质 4 商环及环的同态基本定理 5 环的同构基本定理 31 第7讲 特殊环 1 矩阵环 2 多项式环 3 剩余类环 32 第8讲 商域 1 构造域的方法 2 挖补定理 3 扩域定理 4 扩域的形式 5 商域的定义及结论 6 举例 33 第9讲 有限域 34 第五章 整环里的因子分解 35 第1讲 不可约元、素元、最大公因子 第2讲 唯一分解环 第3讲 特殊的唯一分解环 36 1 整环的单位定义及性质 2 整除的定义及性质 3 相伴关系的性质 4 不可约元 5 最大公因子 6 最大公因子、互素的概念推广到多元的 情形 第1讲 不可约元、素元、最大公因子 37 第2

11、讲 唯一分解环 1 唯一分解元、唯一分解元的标准分 解式、唯一分解环、非唯一分解环 举例 2 最大公因子的存在性定理、不可约 元与素元的关系定理 3 唯一分解环的判定定理 38 第3讲 特殊的唯一分解环 1 主理想环 2 欧氏环 3 唯一分解环上的一元多项式环 4 因子分解与多项式的根 39 第六章 群论补充 40 第1 1讲 共轭元与共轭子群 第2讲 群的直积 第3讲 群在集合上的作用 第4讲 西罗定理 41 研究群内一些特殊类型的元素和子群 1 中心和中心化子 2 共轭元和共轭子群 3 共轭子群与正规化子 第1讲 共轭元与共轭子群 42 一 群的外直积 1 群的外直积的定义 2 群的外直积

12、的基本性质 3 群的外直积定义的推广 4 群的外直积举例 二 群的内直积 1 群的内直积定义 2 群的内直积的充要条件 3 群的内直积定义的推广 三 群的内外直积 第2讲 群的直积 43 一 群在集合上的作用的定义 二 群在集合上的作用举例 1 置换群在集合上的作用 2 群在自身集合上的作用 3 群的共轭变换定义了群在它自身上的作用 4 群在自身的全体子群的集合上的作用 三 x中的元素x在g下的轨道 1 x中的元素x在g下的轨道定义 2 x中的元素x在g下的轨道举例 四 轨道的相关结论 第3讲 群在集合上的作用 44 第4讲 西罗定理 45 第一章 绪 论 46 绪 论 第一讲 47 第一章第

13、一章 绪论绪论 一一 关于代关于代 数的观念数的观念 二二 数学史数学史 的发展阶段的发展阶段 三三 代数发展代数发展 的阶段（数的阶段（数 学发展史）学发展史） 1 用字母用字母 的代数的代数 2 解方程解方程 3 各种代数各种代数 结构的理论结构的理论 1 萌芽阶段萌芽阶段 2 初等数学阶段初等数学阶段 3 高等数学阶段高等数学阶段 4 近代数学阶段近代数学阶段 5 现代数学阶段现代数学阶段 1 初等数学时初等数学时 期期(初等数学初等数学) 2 变量数学时变量数学时 期期(高等代数高等代数) 3 现代数学时现代数学时 期期(近世代数近世代数) 四四 代数学发代数学发 展的四个阶段展的四个

14、阶段 1 最初的文最初的文 字叙述阶段字叙述阶段 2 代数的简代数的简 化文字阶段化文字阶段 3 符号代数阶段符号代数阶段 4 结构代数阶段结构代数阶段 五五 几类与近世几类与近世 代数的应用有代数的应用有 关的实际问题关的实际问题 1 项链问题项链问题 3 正多面体正多面体 的着色问题的着色问题 2 分子结构分子结构 的计数问题的计数问题 5 开关线路的构开关线路的构 造与计数问题造与计数问题 4 图的构造图的构造 与计数问题与计数问题 8 代数方程根代数方程根 式式 的求解问题的求解问题7 几何作图问题几何作图问题 6 数字通信数字通信 的可靠性问题的可靠性问题 48 一 关于代数的观念

15、二 数学史的发展阶段 三 代数发展的阶段(数学发展史) 四 代数学发展的四个阶段 五 几类与近世代数的应用有关的实际 问题 49 一 关于代数的观念 从人们的观念上来看从人们的观念上来看,人们关于人们关于 代数的观念大致有三种：代数的观念大致有三种： 1 用字母的代数用字母的代数 2 解方程解方程 3 各种代数结构的理论各种代数结构的理论 50 现代代数学的研究对象不再是以解 方程为中心,而重点是研究各样的代数结 构的代数性质以及它们之间的联系.当然, 所谓代数结构实际上就是带有运算的集 合.一般说来,这些运算还适合某些所希 望的若干条件. 初等代数、高等代数、线性代数都称为 经典代数.它的研

16、究对象主要是代数方程 和线性方程组.而现代代数学也即近世代数 (又称为抽象代数),其主要内容是研究 51 各种代数系统(代数结构),而对于代数结 构,其基本成分则是集合和集合上的映射. 而近世代数就像古典代数那样,是关 于运算的学说,是计算规则的学说,但它 不把自己局限在研究数的运算的性质上, 而是企图研究更具一般性的元素上运算 的性质,这种趋向是现实中的要求所提示 的.近世代数已广泛应用于近代物理学、 近代科学、计算机科学、数字通讯、系 统工程等领域. 52 二 数学史的发展阶段 1 萌芽阶段萌芽阶段 2 初等数学阶段初等数学阶段 3 高等数学阶段高等数学阶段 4 近代数学阶段近代数学阶段

17、5 现代数学阶段现代数学阶段 53 三 代数发展的阶段(数学发展史) 代数发展代数发展 的阶段的阶段 初等数学时期初等数学时期 （初等数学）（初等数学） 变量数学时期变量数学时期 或高等数学时期或高等数学时期 （高等代数）（高等代数） 现代数学时期现代数学时期 （抽象代数（抽象代数 （近世代数）（近世代数） 计算的对象：计算的对象： 数数 计算的方法：计算的方法： 加、减、加、减、 乘、除乘、除 计算的对象：计算的对象： 若干不是数若干不是数 的事物（向的事物（向 量、矩阵、量、矩阵、 线性变换）线性变换） 计算的方法：计算的方法： 类似于加、类似于加、 减、乘、除减、乘、除 的运算的运算 计

18、算的对象：计算的对象： 集合集合 计算的方法：计算的方法： 运算（映射）运算（映射） 54 四 代数学发展的四个阶段 代数学经历了漫长的发展过程,抽象代 数(近世代数)是19世纪最后20年直到20世 纪前30年才发展起来的现代数学分支. 1 最初的文字叙述阶段 2 代数的简化文字阶段 3 符号代数阶段 4 结构代数阶段 55 1 最初的文字叙述阶段 古希腊之前直到丢番图(diophantine,公元250年)时 代,代数学处于最初的文字叙述阶段,这一阶段除古希腊 数学之外还包括古巴比伦、古埃及与古代中国的数学. 此时算术或代数尚未形成任何简化的符号表达法,代数 运算则都采用通常的语言叙述方式表

19、达,因而代数推理 也都采用直观的方法.在中国古代则有著名的筹算法,而 在古希腊则借助于几何图形的变换方法.最典型的代表 是毕达哥拉斯(pythagoras,公元前585-497)几何数论方 法.例如通过图形的组合可以得到 不要认为简单的几何变换只能产生简单的代数结论, 恰当地利用几何图形的变换有时也会产生重要的代数结 论(如勾股定理与勾股数. 2 1 3 5 7(21)n n 56 2 简化文字阶段 缺乏符号运算的代数当然是相当原始的代数学.直到古希腊数 学后期,数学家丢番图才开始把通常的语言叙述作简化,利用简化 的文字符号代替一些相对固定的代数表达式.这一时期称为代数 的简化文字阶段,这一时

20、期大致延续到欧洲文艺复兴时代. 丢番图对代数学的发展做出了突出的贡献,算术一书是丢 番图留下来的著作,该著作研究了一系列不定方程的求解问题.例 如把一个平方数表为两个平方数之和的问题.后来欧拉发现了正 整数能够表为两个整数平方和的充分必要条件.把一个给定的整 数表为四个数的和再加上这四个数的平方和.求两个有理数使它 们的和等于它们的立方和,例如七分之五与七分之八等等.正是在 丢番图关于整数诸如此类表法研究的基础上,17世纪伟大的法国 数学家费马(pierre de fermat,1601-1665)提出了不定方程 xn+yn=zn在n3时不可解问题.19世纪费马问题的研究也是导致近 世代数理想

21、论产生的重要契机. 57 3 符号代数阶段 这一阶段是经过欧洲文艺复兴之后的好几位 数学家的努力而达到(它大致在17世纪完成).它的 标志是用字母表示数,这一过程使代数学达到了 现在我们看到的这种符号演算形式.较早的代表 著作是德国数学家m.stiefel(1486-1567)1553年 的著述综合算术.其利用10进制小数表示实 数.对代数学的符号体系做出了重要贡献的另一 位代表人物是法国数学家韦达(f.viete,1540- 1603).韦达是第一个系统使用字母表示数的人,在 代数、三角学等许多方面都做出了杰出的贡献. 58 4 结构代数阶段 这一阶段代数学的研究对象不再是个别的数字运算,而

22、是抽象的运算系统 (如群、环、域等)的代数结构.它起因于年轻的法国数学家evariste galois(1811-1832)对代数方程式解的研究. galois引入了群与扩域的工具,解决了高次方程的求根问题.这个问题是 在16世纪中叶,两位意大利数学家g.cardano(1506)与l.ferrari(1545)发现了 三、四次方程的求根公式之后一直困扰数学家达三百年之久的代数学难题. galois摆脱了前人关于根的计算方法的研究途径,发现根的对称性群的结构能 够决定根的可解性. galois的研究不但确立了群论在数学中的地位,同时也开 创了结构代数这个新型的代数学研究方向. 在数学家们致力于

23、解决高次方程的求根问题的同时,carl gauss(1777- 1855)为了解决fermat问题,开始一般性的研究代数数域.他的学生 e.kummer(1810-1893)在gauss方法的基础上引入理想数,使fermat问题的 研究推进了一步.直到19世纪末已建立了群、环、域的系统理论. 59 1834年爱尔兰数学家william r.hamiton(1805-1865)在 gauss把复数解释为二元数这一思想的启发下创建了一种奇 特的不交换的数系,后来称之为hamiton四元数. 三大进展奠定了近世代数学的重要基础.1931年荷兰数 学家b.l.van.der.waerden出版了两卷本

24、,1955 年该书第四版更名为.这一著作标志着群、环、域等 抽象结构理论已经成为现代代数学的主要研究对象,该著作同 时也成为现代结构主义数学的起点.1951年美国数学家 n.jacobson又出版了新的代数学著作,书名为(共三卷).因此近世代数也被称为抽象代数. 60 五五 几类与近世代数的应用有几类与近世代数的应用有 关的实际问题关的实际问题 1 项链问题项链问题 2 分子结构的计数问题分子结构的计数问题 3 正多面体的着色问题正多面体的着色问题 4 图的构造与计数问题图的构造与计数问题 5 开关线路的构造与计数问题开关线路的构造与计数问题 6 数字通信的可靠性问题数字通信的可靠性问题 7

25、几何作图问题几何作图问题 8 代数方程根式的求解问题代数方程根式的求解问题 61 1)基本问题: 用黑白两种颜色的珠子做成有五颗珠子的 项链,问可以做成多少种不同的项链？ 2)问题解决思路:枚举法 3)问题推广:用n种颜色的珠子做成m颗珠子的项链,问 可做成多少种不同类型的项链？ 62 数 学 表 述 把m颗珠子做成一个项链用一个正m边形来代 替,其中每个顶点代表一颗珠子.从任意正m边形一 个顶点开始,沿逆时针方向,依次给每个顶点标以 码:1,2,3, ,m.这样的一个项链称之为有标号的项 链.由于每一颗珠子的颜色有n种选择,因此由乘法 原理,这些有标号的项链共有 种.但是其中有一些 项链可通

26、过旋转一个角度或反转180度使它们完 全重合.对于这些项链称它们为本质上是相同的.对 那些无论怎样旋转或反转都不能使它们重合的项 链,称之为本质上不相同的项链,即为问题所提的不 同类型的项链.当n与m较小时,不难用枚举法求得 问题的解答.但随着n与m的增加,用枚举法越来越 难,因而必须寻找更为有效的可解决一般正整数n 与m的方法.采用群论可解决此问题,且至今尚未发 现其它更为简单和有效的方法. m n 63 2 分子结构的计数问题 c h 1)背景:在化学中研究有某几种元素可合成多 少种不同物质的问题,可以知道人们在大自 然中寻找或人工合成这些物质. 2)问题:在一个苯环上结合 原子或 原子

27、团,问可以形成多少种不同的化合物？ 3)转化:如果假定苯环上相邻 原子之间的键 都是互相等价的,则此问题就是两种颜色六 颗珠子的项链问题. ch3 64 其中:下图中外圈球右边两个每个代表一个 ,其 余四个每个代表一个 ;内圈每个代表一个 . c 3 ch h 65 3 正多面体的着色问题 1) 问题:用n种颜色对正六面体的面着色,问有多少种不同的着 色方法？ 2) 数学模型:为了将问题中的概念量化:设n种颜色的集合 为 ,正六面体的面集合为 ,则每一 种着色法对应一个映射: ,反之,每一个映射 对应 一种着色法. 由于每一面的颜色有n种选择,所以全部着色法的总数 为 ,但这样的着色与面的编号

28、有关,其中有些着色可适当旋 转正六面体使它们完全重合,对这些着色法,称它们为本质上 是相同的.因而我们的问题转化为求本质上不同的着色法的 数目. 当n很小时,不难用枚举法求得结果,如当n取2时,本质上 不同的着色数为10,对于一般的情况则必须用群论方法才能 解决. 12 , , n a a aa 123456 , , , , , b b b b b b b :fba:fba 6 n 66 4 图的构造与计数问题图的构造与计数问题 1) 图的概念： 设 称为顶点集合,是由 的一些二元子集 构成的集合,称为边集,则有序对 称为一个图. 2) 图的画法: 每一个顶点用圆圈表示,对边集 中的每一对元素

29、 用一条直线或曲线连接顶点 与 .顶点的位置及边的长短、 形状均无关紧要. ）（ev, v , i j(),e j i 21vvv v n ， 67 一个图可以代表一个电路、水网络、 通讯网络、交通网络、地图等有形的结 构,也可以代表一些抽象关系.例如:可用 一个图代表一群人之间的关系,其中点代 表单个人,凡有边相连的的两个点表示他 们之间互相认识,否则表示不认识,则这个 图就表示出这群人之间的关系. 图论中自然会涉及到某类图有多少 个的问题. 68 3)问题:画出所有点数为3的图. 解决办法:首先画出3个顶点:1,2,3,在每两个 点之间有“无边”和“有边”两种情况,因 而全部有8种情况,每

30、种情况对应一个图. 2 1 3 1 3 2 1 2 3 32 1 3 2 1 32 1 3 2 1 3 2 1 69 4)推广:当点数为 时,共可形成 个二 元子集,每个二元子集可以对应图中的 边或不对应边两种情况,故可形成 个图.我们观察上图中的8个图,可以发现 有些图是完全相同的,如不考虑它们的 顶点号,这些图可完全重合,这样的图称 它们是同构的,可以看出:上图中有4个互 不同构的图.那么,对于一般的情况,也即 顶点数为 的图中互不同构的图有多少 个呢?这个问题也不能用初等方法解决. ncn 2 2 2 cn n 70 1)问题:一个有两种状态的电子元 件称为一个开关,例如普通的电灯 开关

31、、二极管等.由一些开关组成 的二端网络称为开关线路.一个开 关线路的两端也只有两种状态:通 与不通.我们的问题是:用n个开关 可以构造多少种不同的开关线路？ 5 开关 线路 的构 造与 计数 问题 71 2)模型： 我们用 个变量 代表 个开关,每个变量的取值为0 或1且代表开关的两种状态.开关线路的状态也用一个变量 来表示, 它的取值也是 0或1代表开关线路的两种状态.是 的函数, 称为开关函数,记为 ,其中每一个函数 对应一个开关 线路. 3)数学计算： 由于每一个函数 对应一个开关线路,因而开关线路的数目就是 开关函数的数目.又由于 的定义域的点数目为 ,在定 义域的每一个点上的取值有两

32、种可能.所以全部开关函数的数目 为 ,这就是 个开关的开关线路的数目. 4)总结 上面考虑的开关线路中的开关是有标号的,有一些开关线路结构 完全相同,只是标号不同,我们称这些开关线路本质上是相同的.要进 一步解决本质上的开关线路的数目问题,必须用群论方法. nxxxn ， 21 n 1010，： n f xxxn ， 21 n 210 10 n n n ， ， f 22n f f f 72 6 数字通信的可靠性问题 现代通信中用数字代表信息,用电子设备 进行发送、传递和接收,并用计算机加以处理. 由于信息量大,在通信过程中难免出现错误.为 了减少错误,除了改进设备外,还可以从信息的 表示方法上

33、想办法.由数字表示信息的方法称 为编码.编码学就是一门研究高效编码方法的 科学.以下通过两个简单的例子说明检错码与 纠错码的概念. 73 简单检错码的编码方法:奇偶性检错码 设用六位二进制码来表示26个英文字母,其中前五 位顺序表示字母,第六位作检错用,当前五位的数码中1 的个数为奇数时,第六位取1,否则第六位取0.这样编出 来的码中1的个数始终是偶数个.例如:a:000011; b:000101; c:000110; d:001001 用这种码传递 信息时可检查错误.当接收一方收到的码中含有奇数个 1时,则可断定该信息是错误的,可要求发送者重发.因而, 同样的设备,用这种编码方法可提高通信的

34、准确度.但是, 人们并不满足仅仅发现错误,能否不通过重发的办法,仅 从信息本身来纠正其错误呢?这在一定程度上也可用编 码方法解决. 74 简单纠错码的编码方法:重复码 设用3位二进制重复码表示a,b两个字母如 下:a:000;b:111则接受的一方对收到的信息码不管 其中是否有错,均可译码如下: 接收信息:000;001;010;011;100;101;110;111 译 码: a ; a ; a ; b ; a ; b ; b ; b 这就意味着对其中的信息做了纠正. 利用近世代数方法可得到更高效的检错码与 纠错码. 75 古代数学家们曾提出了一个有趣的作图问题:用圆规及没有刻 度和记号的直

35、尺可做出那些图形?为什么会提这样的问题呢?一方 面是由于生产发展的需要,且圆规、直尺(最初的的直尺是无刻度 的)是当时丈量土地的基本工具;另一方面,从几何学观点看,古人认 为直线与圆弧是构成一切平面图形的要素.据说古人还认为只有 使用圆规与直尺作图才能确保其严密性.且整个平面几何学是以 圆规与直尺作为基本的工具. 历史上有几个几何作图问题曾经困扰人们很长时间,它们是: 1 二倍立方体问题二倍立方体问题 作一个立方体使其体积等于已知立方体 体积的二倍. 2 三等分任意角问题三等分任意角问题 给定任意一个角,将其三等分. 3 圆化方问题圆化方问题 给定一个已知圆,作一个正方形使其面积等于 已知圆的

36、面积. 4 n等分一个圆周等分一个圆周 这些问题直到近世代数理论出现以后才得到完全解决. 7 几何作图问题 76 8 代数方程根式求解问题 我们知道,任何一个一元二次代数方程可用根式表示它的两 个解.对于一元三次和四次代数方程,故人们经过长期的努力也 巧妙地做到了这一点.于是人们自然会问:是否任何次的代数方 程的根均可用根式表示?许多努力都失败了,但这些努力促使了 近世代数的产生,并最终解决了这个问题. 19世纪初,法国数学家埃瓦里斯特伽罗华是法国数学家 (varistegalois,1811年10月25日1832年5月31日,与尼尔 斯阿贝尔并称为现代群论的创始人.)在研究五次代数方程的 解

37、法是提出了著名的伽罗华理论,成为近世代数的先驱.但他的 工作在当时未被数学家所认识,且由于且由于其它原因于21岁 过早地去世了.直到19世纪后期,他的理论才有其他的数学家加 以进一步的发展和系统阐述. 77 第一章练习题 1 2 3 4 5 用两种颜色的珠子做成有五颗珠子的项链, 可做成多少种不同的项链? 对正四面体的顶点用两种颜色着色,有多 少本质上不同的着色方法? 有四个顶点的图有多少个?其中互不同构 的有多少个? 如何用圆规和直尺五等分一个圆周? 如何用根式表示三次和四次代数方程的根? 78 第二章 基本概念 79 第二章：第二章： 基本基本 概念概念 集合集合 (第二讲第二讲) 映射映

38、射 (第三讲第三讲) 运算律运算律 (第四讲第四讲) 同态与同态与 同构同构 (第五讲第五讲) 等价关系等价关系 与集合的与集合的 分类分类 (第六讲第六讲) 80 第二讲第二讲 基本概念之基本概念之集合及其集合及其 之间的关系之间的关系集合集合 81 集合的概念是德国数学家康托尔集合的概念是德国数学家康托尔(g.cantor,1845-(g.cantor,1845- 1918)1918)于于18941894年所首先建立的年所首先建立的. .到现在到现在, ,集合论不仅已成集合论不仅已成 为数学的一个专门理论和独立学科为数学的一个专门理论和独立学科, ,而且广泛地应用到而且广泛地应用到 数学的

39、各个分支数学的各个分支. . 在近世代数中在近世代数中, ,不仅每章每节甚至几乎处处离不开不仅每章每节甚至几乎处处离不开 集合集合, ,由此可见集合的重要性由此可见集合的重要性. .但这只是问题的一方面但这只是问题的一方面. . 另一方面我们在这里讲集合主要是为了在近世代数中另一方面我们在这里讲集合主要是为了在近世代数中 讲最基本的概念讲最基本的概念: :群、环、域而作准备群、环、域而作准备, ,并不是要对集并不是要对集 合本身的理论作太多和深入的阐述合本身的理论作太多和深入的阐述. .这是因为这是因为, ,在近世在近世 代数中只用到集合的一些初步概念代数中只用到集合的一些初步概念, ,诸如子

40、集、真子集、诸如子集、真子集、 集合的相等、幂集、交集、并集、差集以及集合的差、集合的相等、幂集、交集、并集、差集以及集合的差、 余集和它们的简单性质余集和它们的简单性质, ,而并不用到集合理论的其它内而并不用到集合理论的其它内 容及知识容及知识. . 82 1 集合与集合元素的定义集合与集合元素的定义 2 2 集合与集合元素的表示符集合与集合元素的表示符 号号 3 3 集合与集合元素之间的关集合与集合元素之间的关 系系属于关系属于关系 4 4 集合的分类标准及分类集合的分类标准及分类 5 5 集合的表示方法集合的表示方法 6 6 集合之间的内在关系集合之间的内在关系 包含关系包含关系 7 7

41、 集合运算集合运算 8 8 运算律运算律 9 9 特殊集合的表示符号特殊集合的表示符号 10 10 集合的补充说明集合的补充说明 11 11 包含与排斥原理包含与排斥原理 集合与元素的相关概念 集合的相关概念 集合的运算及运算律 集合的补充及说明 83 1 1 集合与集合元素的定义集合与集合元素的定义 , , . 在数学中常常不是讨论处于孤立 状态的各个个体 而是将这些个体联合 在一个整体中(一起)来进行讨论 集合正如像几何学中的点、线、集合正如像几何学中的点、线、 面等概念一样面等概念一样, 也是一种也是一种不加定义不加定义而可而可 直接引入直接引入的的最基本的原始最基本的原始概念概念. 8

42、4 1.1 1.1 集合定义集合定义 把随便一些对象(事物)放在 一起做为一个整体进行研究的 话,这个整体就叫做集合(这是 描述性定义);组成集合的对象 或事物叫做这个集合的元素. 85 1)线性方程组ax=b的解向量的集合. 2)多项式f(x)的零点的集合. 3)数域p上所有m行n列的矩阵的集合. 4)延安市全体居民身份证号码的集合. 5)延安大学数学与计算机科学学院2009级数学与应用 数学专业的全体学生的集合. 6)延安大学2011年西安世界园艺会志愿者的集合. 7)大学生技能测试的所有项目的集合. 8)延安大学20112012学年第一学期所有公选课的课 程名称的集合. 1.2 1.2

43、集合举例集合举例 86 集合是不能严格定义的,因为定义是用 已知概念去定义未知概念,然而集合是数 学中的一个最基础及最基本的概念,不能 再用其它数学概念来定义,正如哲学中的 物质概念一样,它只能描述而不能定义.尽 管集合没有定义,但我们都能理解它是什 么意思,可以说具有特定性质的抽象或具 体的事物的全体称为集合. 1.3 1.3 集合定义的注意问题集合定义的注意问题 87 若干个(有限个或无限个)固定事 物的全体称为集合;组成一个集合 的事物称为这个集合的元素(浓度 或元数). 1.4 1.4 集合的等价定义集合的等价定义 88 2 2 集合与集合元素的表示符号集合与集合元素的表示符号 集合:

44、大写字母表示如, , ,a bc 集合的元素:小写字母表示如, , ,a b c 89 3 3 集合与集合元素之间的关系集合与集合元素之间的关系 属于关系属于关系 ,()( ),(), (). aa a aaa aa aa 如果元素 是(或不是)集合 的元素就说读作元素 属于或 不属于集合 记作 或者说集合 包含或不包含元素 90 4.1 4.1 集合的分类标准及分类集合的分类标准及分类 标准1:元素的个数元素的个数 分类分类:有限集合与无限集合 标准2:与自然数集合或其子集进行比较与自然数集合或其子集进行比较 分类分类:可数集合与不可数集合 ,. ,. ab ab 若两个集合 和 之间存在一

45、个双 射 则称 和 等势与自然数集或其子集等势 的集合称为可数集合 否则称为不可数集合 4 集合的分类集合的分类 91 , . a b abab 1)有限集合的判断准则 两个有限集合等势存在 集合 与 之间的双射 4.2 4.2 集合等势的判断准则集合等势的判断准则 ,. . 2)无限集合的判断准则: 对于两个无限集合,即使是真包 含关系 也可以是等势的对于有限集 合之间的等势判断在此不加考虑 92 4.3 4.3 集合等势的判断准则的应用集合等势的判断准则的应用 (0,1) 0,1. 证明实数集合与等势 (0,1) (,) 证明与等势. (0,1) ( , )()ab a b 证 明与 等

46、势 . 93 :(0,1)0,1, . (0,1)0,1, (0,1)0,1). 方法1首先构造映射再证明 是一个双射映射的构造遵循有理数对应有理 数(比中少两个有理数)无理数对应 无理数(与中的无理数个数相同 1 1 11 2:(0,1)=,0,1 2 3 1 11 =0,1,:0,1(0,1) 2 3 1111 (0), (1), ( )(2)( ), 232 (0,1),0,1(0,1) a n a n nxx nn xa 方法 取的子集的 子集命 , 当则 是到的一一映射. 94 : :(,)(0,1) 1 (), 2 f yarctgx 证明思路 映射 构造证明其 是双射即可. 95

47、 j 例3 h(a) g(y) f(b) d(x) c(0) b(1) a : 证明思路 画出直 角三角形,利 用三个相似 三角形来构 造映射. 对于给定的集合a,b,如何构造集合 a到集合b的双射呢?(考虑各种情况) 96 5 5 集合的表示方法集合的表示方法 给出集合的方式,不外乎以下两种 列举法列举法:把集合中的所有元素都描写出来(也 即列出它的全部元素).但须注意列举法不仅可 以表示有限集合,而且还可以表示有些有规律 的无限集合. 描述法描述法:用性质描述出集合(也即给出这个集合 中的元素所具有的特征性质). )(xpx 97 子集:设 是两个集合,如果集合 的 每一个元素都是集合 的

48、元素,那么就 称集合 是集合 的子集,记为: 读作集合 属于集合 (集合 包含集合 或集合 被包含于集合 ). 6.1 6.1 子集定义子集定义 b b baab ba,a 6 集合之间的内在关系集合之间的内在关系包含关系包含关系 a bb a a 98 真子集:设 是两个集合,如果集合 的每 一个元素都是集合 的元素,但集合 中至少 有一个元素不属于集合 ,那么就称集合 是 集合 的真子集,记作 . 6.2 6.2 真子集定义真子集定义 ba,a b a a b ba b 99 集合相等:如果集合 与集合 是由完 全相同的元素组成的,就说集合 与 集合 相等,记作 ab a b .ba 6.

49、3 6.3 集合相等的定义集合相等的定义 100 ()() abababx xaxb ababab （） （） （ （） ()()() () () () a bx x ax by y by a a bx x ax b 性质性质1 1 ()()a babbax xax b a babba （） （） (） （) 6.4 6.4 几个几个定义的逻辑等价式定义的逻辑等价式 101 ;aa1)自反性: 性质性质2( 2(包含关系包含关系) ) ;ab baa b 2)反对称性: .abbcac3)传递性: 6.5 6.5 几个关系的几个关系的自反性、反对称性、对称自反性、反对称性、对称 性及传递性性及

50、传递性 102 aa1)自反性: a bba 2)对称性: a b baa b 3)反对称性: 性质性质3(3(相等关系相等关系) ) a b b ca c 4)传递性: 103 abbcac （） （） 性质性质4( 4(真包含关系真包含关系) ) 真包含关系不具有对称性、 反对称性及自反性. 104 7.1 7.1 集合运算定义集合运算定义 (),u设 是一个集合 以集合作为元素的集合 规定： 1) : ( , )( , ),() (); u uu a ba ba bx x u x ax b ， ： 2) : ( , )( , ),() (); u uu ababa bxx u x ax

51、b ， ： 4) : ( , )( , )( , ),() (); u uu a ba ba bx y x u xayb ， ： 3) : ( , )( , ),()(); uuu a ba babx xuxaxb ， ： 7 集合运算集合运算 105 5) :, :( ) ()(); uu aaauax x uxa 6) : ( , )( , )() (), () () ,() () () (); u uu ababa ba bb a a bb a xx ux ax bx bx a ， ： 7): ( ).ap ac ca集合 的幂集 .n8)并 、 交 与 积 的 运 算 可 推 广 到

52、任 意个 集 合 上 去 106 ): () ()a bx xax b1集合的并 ): () ()a bx xax b2集合的交 ): () ()a bx x ax b 3集合的差 7.2 7.2 集合运算之关于子集之间的运算集合运算之关于子集之间的运算 ):( , ) ()()a bx yxayb4 集合的积 , , , , ua b c au bu cu 设 是一个集合是任意的集合 且 107 5: () () () ()abxxaxbxbxa )集合的对称差 : () ().au ax x ux a 6)集合的补集 : ( ) ap acca7)集合 的幂集 8.n)并、交与积的运算可推

53、广到任意 个集合上去 108 7.3.1 文氏图的用法文氏图的用法 文氏图可以用来描述集合之间的关文氏图可以用来描述集合之间的关 系及其运算系及其运算.在文氏图中全集用矩形表示在文氏图中全集用矩形表示, 子集用圆形区域表示子集用圆形区域表示, 阴影区域表示运算阴影区域表示运算 结果的集合结果的集合. 7.3 集合的图形表示集合的图形表示文氏图文氏图 109 7.3.2 文氏图的特点文氏图的特点 文氏图表示法的优点是直观和形象文氏图表示法的优点是直观和形象, 富有启发性富有启发性,帮助我们理解各种概念和定帮助我们理解各种概念和定 理理,所以文氏图可作为思考的出发点所以文氏图可作为思考的出发点.

54、110 7.3.3 文文氏图应氏图应注意的问题注意的问题 但文氏图绝不能用作推理的依据但文氏图绝不能用作推理的依据, 因为直观是不可靠的因为直观是不可靠的,只有逻辑推理才只有逻辑推理才 是可靠的是可靠的. 111 7.3.4文氏图的文氏图的适用范围适用范围 当集合的数目较多时当集合的数目较多时,文氏图将变文氏图将变 得很复杂得很复杂.也即对于集合的数目较少时也即对于集合的数目较少时, 文氏图适用文氏图适用. 112 7.3.5.1 ab 可用下图可用下图阴影部分阴影部分表示表示 b b a (b) a (2) 若若b a 则则 ab = b (3) 若若a = b 则则ab = a = b (

55、1)若若a b 则则ab = a a 7.3.5 文氏图表示举例文氏图表示举例 113 a b ab a与与b相切相切 相交的特例相交的特例 ab (5)a与与b分离分离 ab = (4)a与与b相交相交 ab a ab b ab a ab b ab= 114 7.3.5.2 ab 可用下图可用下图阴影阴影部分表示部分表示 (1)若若a b 则则ab = b ba b a (b) a (2) 若若b a 则则ab = a (3) 若若a = b则则 ab = a = b 115 a b (4)a与与b相交相交 ab a b (5)a与与b相切相切 相并的特例相并的特例 ab (6)a与与b分离

56、分离 ab 116 ,a b a b a 关于等运算的文氏图表示， 同学们在课下完成. 117 cba ab c cba cba cba cba cba cba cba 118 3)() ();xa bxax b 4)( , )()();xa ba baabb 5)() ()() () ;x abx ax bx ax b （） （） 7.4 7.4 元素不属于集合运算结果的判断准则元素不属于集合运算结果的判断准则 6)( ).xp axa 2)()();xabxaxb 1)()();xabxaxb 119 8 8 运算律运算律 :()();aa baa ba5)吸收律 :,;a a a a a

57、 a4)幂等律 :()(),()();a bcab ca bcab c2)结合律 :()() (),()() ();a bca cb ca bca cb c3)分配律 :,;abba abba1)交换律 , , ,uabca u b uc u 设 是 一 个 集 合是 任 意 的 集 合 且， 则 有 :(),();abababab9)对偶律（德 摩根律） :();aa 8)对合律 :,;aau aa 7)补余律 :,;auu aua aa a 6)两极律(零一律) 120 9 9 特殊集合的表示符号及性质特殊集合的表示符号及性质 第一类第一类: :空集 ;全集: 空集的绝对唯一性;全集的相对

58、唯 一性;空集表示形式的多样性. u 121 第二类第二类: :特殊集合特殊集合 :;:;:; :;:; :;:;:;:; :;:;:; :;:;: :;:;:; :;: z zzz n n r rrr o oo e ee qqq cq c 整数集合；正整数集合负整数集合非零整数集合 自然数集合非零正整数集合 实数集合正实数集合负实数集合非零实数集合 奇数集合正奇数集合负奇数集合 偶数集合正偶数集合负偶数集合; 有理数集合正有理数集合负有理数集合 非零有理数集合复数集合；非零复数集合. 设, ( ): ( ): :. n m n f ffn m ffmn m f xf 是一个数域 则 表示数域

59、 上的 阶方阵所组成的集合； 表示数域 上的阶方阵所组成的集合； 数域 上的一元多项式的全体 122 10 10 集合的补充说明集合的补充说明 集合的概念应注意以下几点： 1)元素的确定性； 2)元素的无序性； 3)元素的互异性； 4)集合可以作为元素,但是不能做为它自己的元 素； 5)元素与集合之间的关系是个体与整体的关系, 应严加区分. 123 11.1 11.1 包含与排斥原理的特殊形式包含与排斥原理的特殊形式 , ,uabc u a ba ba b a ba ba b a b ca b ca ba cb ca b c a b ca b ca b ca ba cb c 设 是 一 个 集

60、 合 ,是 的 有 限 子 集则 有 自 己 归 纳 包 含 排 斥 原 理 的 一 般 形 式 . 11 11 包含与排斥原理包含与排斥原理 124 5005,7,9 . 求不大于可被中的某一个数整除 的正整数的个数 1000, 1)5,6,8 2). 求不大于的正整数中 不能被中任何一个整数整除的个数。 既非平方数也非立方数的个数 11.2 11.2 包含与排斥原理举例包含与排斥原理举例 , 1) 2)3,2, 3) am bn ab mnab ab 设求 到 的单射有多少个？ 当时到 的满射有多少个？ 到 的双射有多少个？ 125 :5005 ;5007; 5009; 5005 7 ;5