非简并定态微扰理论5.1

1、 引言引言 n一、问题的提出：一、问题的提出： n前几章，利用薛定谔方程求解了一些简单的能量前几章，利用薛定谔方程求解了一些简单的能量 本征问题：本征问题： )()( xexh nnn nenh n 或或 例如：例如：一、二、三维谐振子一、二、三维谐振子 方势阱问题（无限深、有限深）；方势阱问题（无限深、有限深）； 氢原子问题；氢原子问题； 精确求解精确求解 球方势阱（书上球方势阱（书上3.10题）题） n与经典力学一样，在量子力学中能用方程严格求解的问题与经典力学一样，在量子力学中能用方程严格求解的问题 极为有限，绝大多数问题中极为有限，绝大多数问题中,系统的哈密顿算符比较复杂，系统的哈密顿

2、算符比较复杂， n 薛定谔方程：薛定谔方程： ) t , x(h ) t , x( t i n nmn m ) t (ah dt ) t (da i,.2 , 1n n 因此，量子力学中的近似方法就显得非常重要。因此，量子力学中的近似方法就显得非常重要。 n 往往不能严格求解。往往不能严格求解。 求近似解的方法很多，如微扰理论、变分法等，且每一种求近似解的方法很多，如微扰理论、变分法等，且每一种 方法都有它的适用范围。在这些近似方法中，应用最为广方法都有它的适用范围。在这些近似方法中，应用最为广 泛的一种就是微扰理论。泛的一种就是微扰理论。 二、微扰理论的实质二、微扰理论的实质 n微扰理论的实

3、质是把体系的哈密顿写成两项和的形式，即：微扰理论的实质是把体系的哈密顿写成两项和的形式，即： )0( hhh 其中其中 （不显含（不显含t）的解已知或可精确求解，它包括的解已知或可精确求解，它包括 了体系的主要性质；了体系的主要性质； )0( h 对体系的影响很小，可作扰动处理。对体系的影响很小，可作扰动处理。 h 这样，在这样，在 的解的基础上用的解的基础上用 修正修正 的解的解 ，就得，就得 到了复杂体系的到了复杂体系的 的近似解的近似解 )0( h h )0( h h 此类问题分为两种情况：此类问题分为两种情况： (1) 不显含不显含t,即即定态问题定态问题，又分为，又分为非简并非简并和

4、和简并简并两种情况；两种情况； h (2) 显含显含t，可用它的近似解讨论体系状态之间跃迁问题，可用它的近似解讨论体系状态之间跃迁问题 及光的发射和吸收等问题。及光的发射和吸收等问题。 h 5.1 非简并定态微扰理论非简并定态微扰理论 5.2 简并情况下的微扰理论简并情况下的微扰理论 5.3 氢原子的一级斯塔克效应氢原子的一级斯塔克效应 5.4 变分法变分法 5.5 氦原子基态（变分法）氦原子基态（变分法） 5.6 与时间有关的微扰理论与时间有关的微扰理论 5.7 跃迁概率跃迁概率 n一体系的定态方程为：一体系的定态方程为： 一、一般方法（非简并、简并此方法都适用）一、一般方法（非简并、简并此

5、方法都适用） 般是把实际问题抽象成某种理想化模型的体系哈密顿，般是把实际问题抽象成某种理想化模型的体系哈密顿， 它决定了体系的主要性质（如可抽象为无限深势阱、线性谐它决定了体系的主要性质（如可抽象为无限深势阱、线性谐 振子等），故振子等），故 的本征解已知或可以精确求解。的本征解已知或可以精确求解。 )0( h )0( h 其中其中h h h )0( （2） ) t , x(e) t , x(h nnn (1) n本征方程为：本征方程为： )0( n )0( n )0( n )0( eh （3） 其中其中 只构成分立谱。只构成分立谱。 )0( n e 对体系影响小，作为微扰哈密顿。对体系影响小

6、，作为微扰哈密顿。 h nnn )1()0( e)h h ( 由于由于 和和 都与微扰有关，可以把它们看作是表征微都与微扰有关，可以把它们看作是表征微 扰程度的参数扰程度的参数 的函数，将它们展为的函数，将它们展为 的幂级数，即：的幂级数，即： n e n )2( n 2)1( n )0( nn eee)(e （5） )2( n 2)1( n )0( nn )( （6） )2(2)1()0( )( nnnn eeee )2( n 2)1( n )0( nn )( 其中其中 是体系的零级近似解；是体系的零级近似解； 为体为体 系的一级修正项，而系的一级修正项，而 是体系的一是体系的一 级近似解，

7、等等。级近似解，等等。 )0( n )0( n e， )1( n )1( n e， )1( n )0( n )1( n )0( n ,ee )(h h ( )2( n 2)1( n )0( n )1()0( 而等式两边而等式两边 的同幂次项的系数应相等，于是可得逐级的同幂次项的系数应相等，于是可得逐级 近似方程：近似方程： 0 ： )0( n )0( n )0( n )0( eh 0)eh ( )0( n )0( n )0( (8) (8) 1 : : )0( n )1( n )1( n )0( n )0( n )1()1( n )0( eeh h 2 ： )0( n )2( n )1( n

8、)1( n )2( n )0( n )1( n )1()2( n )0( eeeh h 又由于又由于 )2( n 2)1( n )0( nn )(应是归一化的，即：应是归一化的，即： 于是于是: :1d)()( )2( n 2 )1( n )0( n *)2( n 2)1( n )0( n 解为零级近似解为零级近似 )0()0( , nn e 可得一级修正可得一级修正 )1()1( , nn e 可得二级修正可得二级修正 )2()2( , nn e 而等式两边而等式两边同幂次项的系数应相等，则有：同幂次项的系数应相等，则有： 0 ：1d )0( n * )0( n (11) 1 ：0d)( )

9、0( n * )1( n )1( n * )0( n (12) 2 ： 0d)( )0( n * )2( n )1( n * )1( n )2( n * )0( n (13) 因为因为 是的是的 本征函数系，具有完全性，故本征函数系，具有完全性，故 可按可按 其展开，即有：其展开，即有： )0( n )0( h )1 ( n )0()1()1( n a（14） 其中其中 da )1( n * )0()1( )0()1()1( a n （14） )12(0)( )0( * )1()1( * )0( d nnnn 将展开式（将展开式（14）式代入（）式代入（12）式得：）式得： 1 )0( * )

10、0( * )1()0()1( * )0( daa nn 即：即： 0aa n )1( n )1( 于是：于是：0aa * )1( n )1( n )(h h ( )2( n 2)1( n )0( n )1()0( )(eee( )2( n 2)1( n )0( n )2( n 2)1( n )0( n )2()1()0( nnnn eeee )2()1()0( nnnn 二、非简并情况下的微扰理论二、非简并情况下的微扰理论 1.1.一级修正项一级修正项 )1( n e和和 )1( n a.a.能量的一级修正：能量的一级修正： d)eh (d)eh ( )0( n )1( n * )0( n )

11、1( n )0( n )0( * )0( n 而左边而左边0d)eh ( )1( n *)0( n )0( n )0( 右边右边 dh e )0( n * )0( n )1( n )9() () ( )0()1()1()0()0( nnnn eheh d)eh (d)eh ( )0( n )1 ( n )*0( m )1 ( n )0( n )0()*0( m mn )1 ( nmn )1 ( n *)0( m )0( n )0( ehd)eh ( 则：则： mn )1( nmn )0()1()*0( m )0( n )0( m ehda )ee( )n( mn )1( nmnm )1()0(

12、 n )0( m eha )ee( )n( 即：即： mn )1( nmn )1( m )0( n )0( m eha )ee( )m( 可见可见nm ，即：，即：nm ) 9 () () ( )0() 1 () 1 ()0()0( nnnn eheh 于是：于是： mn )1( m )0( n )0( m ha )ee( )nm( 故得：故得： mm )0( m )0( m )0( n mn)0( m )1( m )1( n ee h a （ “”除“”除nm 项）项） 所以能量和波函数的一级近似值为：所以能量和波函数的一级近似值为： nn )0( n )1( n )0( nn heeee

13、(17) (17) m )0( m )0( m )0( n mn)0( n )1( n )0( nn ee h (18) (18) )0()1 ()1 ( n a ded)eh (d)eh ( )0( n )2( n )*0( n )1 ( n )1 ( n )*0( n )2( n )0( n )0()*0( n 而左边而左边 0d)eh ( )2( n *)0( n )0( n )0( 右边右边0eda )eh ( )2( n )0()1()1( n )*0( n 则有：则有： dedh a e )0()*0( n )1( n )0()*0( n )1()2( n )eh(a n )1(

14、nn )1( )10() () ( )0()2()1()1()2()0()0( nnnnnn eeheh )0()1()1( n a 则：则： )2( n e n )1 ( ha 而而n 而而 )0( m )0( n mn)1( m ee h a )nm(，即，即 )0()0( n n)1( ee h a )n( 于是：于是： )2( n e n )0()0( n n h ee h 因为更高级修正对体系影响很小，一般来说，对能量只因为更高级修正对体系影响很小，一般来说，对能量只 考虑到二级修正，对波函数只考虑到一级修正。考虑到二级修正，对波函数只考虑到一级修正。 三、结果讨论三、结果讨论 1.

15、1.微扰论的适用条件微扰论的适用条件 简单的说就是要保证级数简单的说就是要保证级数(20)(20)、(21)(21)收敛的很快，即要求：收敛的很快，即要求： 这就是开始提到的这就是开始提到的h 很小的明确表示式。具体的说可分两方面：很小的明确表示式。具体的说可分两方面： b. .另一方面能级间距要足够大，即另一方面能级间距要足够大，即 )0( m )0( n ee要不太小，所有要不太小，所有 )0( m e要足够远离被修正的能级要足够远离被修正的能级 )0( n e。 注：以上公式只适用于能量本征值非简并且分立的情况。注：以上公式只适用于能量本征值非简并且分立的情况。 2 2. .h 在在 )

16、0( h 表表象象中中的的矩矩阵阵形形式式： h h h )0( 在在 )0( h 表象中，表象中， 0e0 00e h )0( n )0( n )0( . .hh .hh . .e0 .0e h 22 21 12 11 )0( 2 )0( 1 可见：在可见：在 )0( h 表象中，表象中，h 的对角元素就是各能级的一级修正，的对角元素就是各能级的一级修正， h矩阵的对角元素为一级近似值，二级修正与非对角元素有关。矩阵的对角元素为一级近似值，二级修正与非对角元素有关。 四、例题四、例题 解：体系的哈密顿算符是：解：体系的哈密顿算符是：xex 2 1 dx d 2 h 22 2 22 最后一项是

17、带电谐振子与电场的相互作用能，即：最后一项是带电谐振子与电场的相互作用能，即： xexxede 0 而而 是弱电场，即是弱电场，即h 很小很小 所以可令：所以可令： 22 2 22 )0( x 2 1 dx d 2 h ；xeeh 由由2.72.7 知：知：) 2 1 n(e )0( n , 2 , 1 , 0n )x(hen n x 2 1 n )0( n 22 ， !n2 n n n 1.1.求能量求能量 n e 能量的一级修正为：能量的一级修正为： dx)x(xedx)x(h )x(he )0( n )*0( n )0( n )*0( nnn )1( n 而而 0 xdxx )0( n

18、)*0( n所以：所以： 0e )1( n dxxedxh h )0( n )*0( m )0( n )*0( mmn 于是能量的二级修正为：于是能量的二级修正为： m )0( m )0( n 2 mn)2( n ee h e )ee( 1nn 2 e )0( m )0( n 2 1n ,m1n ,m22 m ee 1n ee n 2 e )0( 1n )0( n )0( 1n )0( n 22 1nn 2 e 22 2 2222 2 e ) 1 ( 2 e 可可见见： )2( n e与与n无无关关（即即与与谐谐振振子子的的状状态态无无关关） ，所所有有能能级级移移动动 相相同同的的距距离离。 2 22 )2( n )1( n )0( nn 2 e ) 2 1 n(eeee 1 2 1,1, 2/1 nmnmmn nneh 2.2.求波函数求波函数 n 波函数的一级修正为：波函数的一级修正为： m )0( m )0( m )0( n mn )1 ( n ee h m )0( m )0( m )0( n 1n ,m1n ,m 2/1 ee 1nn 2 e 1nn 2 e )0( 1n )0( 1n 2/1 n1n 2 1 e )0( 1n )0( 1n 2/1 3 注意：上式只对注意：上式只对1n 时成立，若对基态时成立，若对基