数列求和的基本方法归纳,推荐文档

1、数列求和的基本方法归纳 、利用常用求和公式求和 利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法 等差数列求和公式：S宁 na1 n(n 1) (q 1) 等比数列求和公式：Sn 4(1 qn) a1 anq 1 q (q 1) n Snk k 1 h(n 1) 2 n 2 1 z Snk n(n k 16 1)(2n 1) n Snk3 k 1 1 2 叩(n 1) 例1 已知log 3 x log 2 3 1，求X 的前n项和. 解：由log 3 x log 2 3 log3X log a2 由等比数列求 X2 X3 （利用常用公式） =x(1xn) = J(1 1 x 例2设Sn

2、=1+2+3+ +n , n N*,求 f (n) (n 解: 由等差数列求和公式得Sn丄n（n 1 1)，Sn2(n 1)(n 2) （利 Sn 用常用公式） f(n)n =2n (n 32)Sn 1 n 34n 64 1 _ 64 二 34(. n n 二当Jn缶，即n _ 8时， )2 50 50 f (n) max 1 50 二、错位相减法求和 这种方法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法主要 用于求数列an bn的前n项和，其中 an 、 bn分别是等差数列和等比数 列.（如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成 的，那么这个数列的前n项和即可

3、用此法来求.） 在写出“ Sn ”与“qSn ”的表达式时应特别注意将两式“ 错项对齐”以便下一步准确写出“ Sn qSn ”的表达式. 例 3求和：Sn 1 3x 5x2 7x3（2n 1）xn 1 解：由题可知，（2n 1）xn1的通项是等差数列2n 1的通项与等比数列xn1 的通项之积 设 xSn 1x 3x2 5x3 7x4 (2n1)xn （设制错位） 一得(1 x)Sn 1 2x 2x2 2x3 2x4 2xn 1(2n1)xn （错位 相减） 再利用等比数列的求和公式得: (1 X)Sn 2x 1 xn1 (2n1)xn Sn (2n 1)xn1 (2n 1)xn (1 x) (

4、1 x)2 例4求数列I,詔，寻，前n项的和. 解：由题可知，誥的通项是等差数列2n的通项与等比数列右的通项之 1 Sn 2 （设制错位） 2n . 2n 2 2n nn 1 2 2 （错位相减） Sn 2n 尹 2 三、倒序相加法求和 n项和公式时所用的方法, 就是将一个数列倒过来 an）.（如果一个数列an， 这是推导等差数列的前 排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n个 首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一常数，那么求这个数列的前 ） 5C； 项和即可用倒序相加法 例5求证：C0 3C1 (2n 1)C： (n 1)2n 证明：设Sn C 3d 5C(2n 1)C； . （

5、反序） 相加） 把式右边倒转过来得 Sn (2n 又由Cnm Sn (2n 1)C1(2n 1)C； 1 C：m可得 1)C0(2n1)C： +得 2Sn (2n 2)(c cn Sn (n 1) 2n 3C： C0 3d 1 cn1 . C；)2(n1) 2n （反序 例 6求sin21 sin22 sin23 sin2 88 sin2 89的值 解军：设 Ssin21 sin2 2 sin2 3sin2 88 sin2 89 将式右边反序得 S sin2 89 sin288sin23sin22 sin21 . (反序) 又因为 sin x cos(90 x), sin2x cos2 x 1

6、 + 得 (反序相加) 2S (sin21 cos21 ) (sin2 2cos2 2 ) (sin 289cos2 89 ) = 89 S = 44.5 四、分组法求和 有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开, 可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.(若 个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求 和时可用分组转化法，分别求和而后相加减.) 分组求和常见类型及方法 (1) an = kn + b，利用等差数列前n项和公式直接求解； (2) an = a qn 1，利用等比数列前n项和公式直接求解; 1 7, , n

7、r3n2， a 1 (- a (3) an = bn 士 cn，数列bn, cn是等比数列或等差数列， 例7求数列的前n项和：1 1,- 4,厶 a a 3n 2) 解：设 Sn (1 1)(丄 4) (47) aa 将其每一项拆开再重新组合得 1 Sn(1 1) (1 3n 2) (分组) (3n1)n （分组求和） IZ 当a 1时，Sn 1丄 a_ 1 1 a (3n 1)n _ a 2 (3n 1)n 例 8求数列n(n+1)(2n+1) 的前n 项和. 解解设 akk(k 1)(2k 1) 2k3 3k2 k n (2k3 3k2 k 1 k) n Sn k(k 1)(2k1) _

8、k 1 将其每一项拆开再重新组合得 （分组） （分组求和） Sn n 2 k33 k k 1k 1 _ 2(13 23 n3) 3(12 22 n2) (1 n) n2(n 1)2 2 n(n 1)(2 n 1) n(n 1) 2 n(n 1)2(n 2) 五、裂项法求和 裂项法的实质是将数列中 这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用 的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目 的.通项分解（裂项）如: (1 ) an f (n 1) f(n) (2) si n1 cos n cos(n 1) tan(n 1) tan n (3) an 1 n(n 1) (4) a

9、n 2 _(2n 1 丄( (2n 1)(2n 1)2(2 n 1 2n 1 (5) an n(n 1)( n 2) 1 1 1 2E (6) an n 21 n(n 1) 2n 2(n1) n 1 n(n 1)2n (n 1 n 1)2 ，则Sn (n 1)2 例9求数列112,21, 的前n项和. 解： 设 1 -J n 4 n. / n n f ll1X 1 I .n n 1 （裂项） 则 1 1 S 1 1、2 .2 、3, n i n 1 （裂项求和） =(.2 1) (.3 2) =.n 11 例10在数列an中，an 1 2 n 1 n 1 n项的和. 解：T an - 1 2

10、n 1 n 1 （裂项） 数列bn的前 n项和 1 1 1 1 Sn 8(1) （C J (C 2 2 33 项求和） =8(1 1 、 8n ) n 1 n 1 例11 求证：1 cosO COS1 1 cos1 cos2 (、n 1n) 0，又 bn- n 1a 2 n an 1 求数列bn的前 nn n 12 h 2 1 Q/ 1 nJ bn n 8( n 1n 2 2 1 1 1 、 ) ( ) 4n n 1 （裂 1 cos1 cos88 cos89 sin 1 cos0 cos1 cos1 cos2 cos88 cos89 cos n si n1 cos(n 1) -tan(n 1

11、) ta nn （裂项） 二 S 1 1 1 （裂 cos0 cos1 cos1 cos2 cos88 ( cos89 项求和） 1 (tan 1 tan 0 ) (tan 2 tan1 ) (tan 3 tan 2 ) tan 89 tan 88 si n1 1 1 cos1 (tan 89 tan 0 ) _ cot1 _ 2 si n1 sin 1 sin 1 解：设S 1 1 1 原等式成立 六、合并法求和 针对一些特殊的数列，将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质，因此， 在求数列的和时，可将这些项放在一起先求和，然后再求Sn. 例 12 求 cosl + cos2 + cos3 +

12、 + cos178 + cos179 的值. 解：设 Sn _ cos1 + cos2 + cos3 + + cos178 + cos179 cos n cos(180 （找特殊性质项） Sn _ (cos1 + cos179 ) +( cos2 + cos178 )+ (cos3 + cos177 ) + + ( cos89 + cos91 ) + cos90 （合并求和） _ 0 例13数列an: a11,a2 3, a32, an 2 an 1 an, 求 S2002 . 解牛设 S2002 =玄1a? a3a2002 a41, a5 3, a6 2, a71, a83, a9 2, a

13、10 1, a11 3, a12 2, a6k 11, a6k 2 3, a6k 3 2, a6k 4 1, a6k 5 3, a6k 62 a6k 1 a6k 2 a6k 3 a6k 4 a6k 5 a6k 6 找特 殊性质项） S2002 a1 a2 a3 a2002 合并求和） (a1a2 a3 a6) (a7 a8 a12 ) (a6k 1 a6k 2 ( a1993 a1994 a1998 ) = a1999 a2000 a2001 a2002 = a6k 1 a6k 2 a6k 3 a6k 4 a1999 a2000 a6k 6) a2001 a2002 例 14 在各项均为正数的

14、等比数列中， 若a5a6 9,求 log3 a1 log3 a2 log 3 a10 的值. 解：设 S n log 3 a1 log 3 a2 log 3 a10 由等比数 的性质 n apaq 找特殊性质项） 和对数的运算性质 logaM loga N logaM N 得 Sn(log 3 a1 log3 a10) (log3 a2log3 a9)(log3 a5log3a6) 合并求 和） =(log3 ai aio)(log 3 a2 a?) (log 3a5 a6) =log 3 9 log 3 9 log 3 9 =10 七、利用数列的通项求和 先根据数列的结构及特征进行分析，找出数列的通项及其特征，然后再利用 数列的通项揭示的规律来求数列的前 n项和，是一个重要的方法. 例 15求 111111111 1 之和. n个1 11 解：由于 11119999(10k 1) k个 19k个 19 通项及特征) 1 111111111 n个1 111 1 =-(101 1) (102 1) (103 1) -(10n 1) 9999 （找 （分 组求和） 1123 =1(10 10 10 1 10n) (1 1 1 1) 9n个1 1 10(10n 1) n 910