圆周运动习题计算题

1、圆周运动习题 1如图所示，位于竖直平面上的1/4 圆弧光滑轨道，半径为 R，OB沿竖直方向，上端 A 距地面高度 为 H，质量为 m的小球从 A 点由静止释放，最后落在水平地面上C点处，不计空气阻力，求： ( 1) 小球运动到轨道上的 B点时，对轨道的压力多大 ?(2)小球落地点 C与 B点水平距离 s是多少 ? 2如图所示，有一长为 L 的细线，细线的一端固定在 O 点，另一端拴一质量为 m的小球，现使小球 恰好能在竖直面内做完整的圆周运动。已知水平地面上的 C 点位于 O点正下方，且到 O点的距离 为 1.9L 。不计空气阻力。 (1) 求小球通过最高点 A时的速度 vA;(2) 若小球通

2、过最低点 B 时，细线 对小球的拉力 T 恰好为小球重力的 点的距离。 6 倍，且小球经过 B 点的瞬间让细线断裂，求小球落地点到 3如图所示，被长 L 的轻杆连接的球 如杆受到的拉力等于小球所受重力的 A 能绕固定点 O在竖直平面内作圆周运动， O 点竖直高度为 h， 5 倍时，就会断裂，则当小球运动的角速度为多大时，杆恰 好断裂 ?小球飞出后，落地点与 O 点的水平距离是多少 ? 4如图所示，位于竖直平面内的光滑轨道，由一段斜的直轨道与之相切的圆形轨道连接而成，圆形 轨道的半径为 R。一质量为 m的小物块从斜轨道上某处由静止开始下滑，然后沿圆形轨道运动。 5mg（g 为重力加速度） 。 要

3、求物块能通过圆形轨道最高点， 且在该最高点与轨道间的压力不能超过 求物块初始位置相对于圆形轨道底部的高度h 的取值范围。 AB、 EF 与半径 R=0.4m 5游乐园“翻滚过山车”的物理原理可以用如图所示的装置演示。斜槽轨道 的竖直圆轨道（圆心为 O）相连， AB、EF分别与圆 O相切于 B、E 点， C为轨道的最低点，斜轨 AB 倾角为 370。质量 m=0.1kg 的小球从 A点由静止释放，先后经 B、C、D、E到 F 点落入小框。（整个 装置的轨道光滑，取 g=10m/s 2, sin37 =0.6, cos37=0.8 ）求： （ 1）小球在光滑斜轨 AB上运动 的过程中加速度的大小；

4、 （2）要使小球在运动的全过程中不脱离轨道，A 点距离最低点的竖直高 度 h 至少多高？（ 3）在 C点，球对轨道的压力。 （1.5N ） 6游乐场的过山车可以底朝上在圆轨道上运行，游客却不会掉下来如左图所示，我们把这种情况抽 象为右图的模型；弧形轨道的下端与竖直圆轨道相接，使小球从弧形轨道上端滑下，小球进入圆 轨道下端后沿原轨道运动， 实验发现，只要 h 大于一定值， 小球就可以顺利通过圆轨道的最高点 如 果已知圆轨道的半径为 R，h 至少要等于多大？不考虑摩擦等阻力 7 如图所示，半径为 R，内径很小的光滑半圆管竖直放置，两个质量均为m的小球 A、 B 以不同速 率进入管内， A通过最高点

5、 C时，对管壁上部的压力为 3mg，B 通过最高点 C时，对管壁下部的 压力为 075mg求 A、B 两球落地点间的距离 8如图所示，半径 R 0.4m的光滑半圆轨道与粗糙的水平面相切于A点，质量为 m1kg 的小物体（可 视为质点） 在水平拉 F的作用下， 从 C点运动到 A点，物体从 A点进入半圆轨道的同时撤去外力F， 物体沿半圆轨道通过最高点 B后作平抛运动，正好落在 C点，已知 AC2m，F15N，g取 10m/s2， 试求：（1）物体在 B 点时的速度以及此时半圆轨道对物体的弹力。 （2）物体从 C到 A 的过程中，摩 擦力做的功 9如图所示， LMPQ是光滑轨道， LM为水平，长为

6、 5.0 米， MPQ是一个半径 R=1.6 米的半圆 QOM在 同一竖直线上，在恒力 F 作用下质量 m=1kg的物体 A 由静止开始运动，当到达 M点时立即撤去 F。 求：（1）欲使物体 A能通过 Q点，则拉力 F 最小为多少？（ 2）若拉力 F=10牛，则物体 A通过 Q 点时对轨道的压力为多少？ 10如图所示，滑块在恒定外力作用下从水平轨道上的 面内的光滑半圆形轨道运动，且恰好通过轨道最高点 发点 A，试求滑块在 AB 段运动过程中的加速度 A 点由静止出发到 B 点时撤去外力，又沿竖直 C，滑块脱离半圆形轨道后又刚好落到原出 圆周运动习题 2 1如图所示，位于竖直平面上的 1/4 圆

7、弧光滑轨道，半径为 R，OB沿竖直方向，上端 A 距地面高度 为 H，质量为 m的小球从 A 点由静止释放，最后落在水平地面上C点处，不计空气阻力，求： ( 1) 小球运动到轨道上的 B点时，对轨道的压力多大 ?(2)小球落地点 C与 B点水平距离 s是多少 ? 解析： (1) 小球由 AB 过程中，根据机械能守恒定律有： 12 mgR mvB2 2 vB2gR 小球在 B 点时，根据向心力公式有； 2 vB FN mg m N R 2 vB FN mg m 3mg 根据牛顿第三定律，小球对轨道的压力大小等于轨道对小球的支持力，为 3mg (2) 小球由 B C过程， 水平方向有： s=vB

8、t 竖直方向有： 12 H R gt2 2 解得 s 2 (H R)R 2如图所示，有一长为 L 的细线，细线的一端固定在 O 点，另一端拴一质量为 m的小球，现使小球 恰好能在竖直面内做完整的圆周运动。已知水平地面上的 C 点位于 O点正下方，且到 O点的距离 为 1.9L 。不计空气阻力。 (1) 求小球通过最高点 A时的速度 vA;(2) 若小球通过最低点 B 时，细线 对小球的拉力 T恰好为小球重力的 6 倍，且小球经过 B点的瞬间让细线断裂，求小球落地点到 C 点的距离。 【解析】 (1) 小球恰好能做完整的圆周运动，则小球通过 A 点时细线的拉力刚好为零，根据向心力公 式有： m

9、mg= 解得: vAgL。 (2) 小球在 B 点时根据牛顿第二定律有 2 vB T-mg=m L 其中 T=6mg 解得小球在 B 点的速度大小为 vB= 5gL 细线断裂后，小球从 B 点开始做平抛运动，则由平抛运动的规律得 竖直方向上 12gt 1.9L-L= 2 水平方向上 x=vBt 解得 :x=3L 即小球落地点到 C 点的距离为 3L。 （2 分 ） （2 分 ） （2 分 ） 答案 :（1） gL （2）3L 3如图所示，被长 L 的轻杆连接的球 A能绕固定点 O在竖直平面内作圆周运动， O点竖直高度为 h， 如杆受到的拉力等于小球所受重力的 5 倍时，就会断裂，则当小球运动的

10、角速度为多大时，杆恰 好断裂 ?小球飞出后，落地点与 O 点的水平距离是多少 ? 4如图所示，位于竖直平面内的光滑有轨道，由一段斜的直轨道与之相切的圆形轨道连接而成，圆 形轨道的半径为 R。一质量为 m的小物块从斜轨道上某处由静止开始下滑，然后沿圆形轨道运动。 要求物块能通过圆形轨道最高点， 且在该最高点与轨道间的压力不能超过5mg（g 为重力加速度） 解：设物块在圆形轨道最高点的速度为 v，由机械能守恒定律 求物块初始位置相对于圆形轨道底部的高度 h 的取值范围。 得m g h 2 m g1 R 2 物块在最高点受的力为重力 与压力的合力提供向心力，有 2 v m g N m R 物块能通过

11、最高点的条件是 N 0 由式得 v gR 由式得 H 2 5R 按题的需求， N 5mg，由式得 v 6 g R 由式得 h 5R h 的取值范围是 25R h5R 5游乐园“翻滚过山车”的物理原理可以用如图4-4-1 所示的装置演示。斜槽轨道 AB、 EF与半径 R=0.4m的竖直园轨道（圆心为 O）相连， AB、EF分别与园 O相切于 B、E点， C为轨道的最低点， 斜轨 AB倾角为 370。质量 m=0.1kg 的小球从 A 点由静止释放，先后经 B、C、D、E到 F点落入小 框。（整个装置的轨道光滑，取 g=10m/s2, sin37 =0.6, cos37 =0.8 ）求： （ 1）

12、小球在光滑斜 轨 AB上运动的过程中加速度的大小； （2）要使小球在运动的全过程中不脱离轨道，A 点距离最低 点的竖直高度 h 至少多高？ 第二定律得： mg sin 370 ma 只要在 D 点不脱 2 mv mg R 【解析】（ 1）小球在斜槽轨道 AB上受到重力和支持力作用，合力为重力沿斜面向下的合力，由牛顿 02 a g sin 37 6.0m/ s 。 （2）要使小球从 A 点到 F点的全过程不脱离轨道， 离轨道即可，物体在 D 点做圆周运动临界条件是： 2 mg（h 2R） mv 由机械能守恒定律得： 2 解以上两式得 A点距离最低点的竖直高度 h 至少为： 2 h 2R v 2.

13、5R 1.0m 2g 。 【答案】（ 1） 6.0m/s2;（2）1.0m 。 【点拨】本题侧重考察圆周运动临界条件的应用。物体运动从一种物理过程转变到另一物理过程，常 出现一种特殊的转变状态，即临界状态。通过对物理过程的分析，找出临界状态，确定临界条件，往 往是解决问题的关键。 6游乐场的过山车可以底朝上在圆轨道上运行，游客却不会掉下来如图4-4-3 ，我们把这种情况抽 象为图 4-4-4 的模型；弧形轨道的下端与竖直圆轨道相接，使小球从弧形轨道上端滑下，小球进 入圆轨道下端后沿原轨道运动，实验发现，只要h 大于一定值，小球就可以顺利通过圆轨道的最 高点如果已知圆轨道的半径为 R，h 至少要

14、等于多大？不考虑摩擦等阻力 图 4-4-3 【解析】小球在最高点时不掉下来的条件是：圆轨 道对小球的弹力 FN0，此时有 2 v mg FN m R（ 1） 而在整个运动过程中，由机械能守恒定律有 12 mgh mg2R mv 由以上各式联列可解得 h2.5R, 即 h 至少要等于 2.5R 2（ 2） 答案】 2.5R. 7 如图所示，半径为 R，内径很小的光滑半圆管竖直放置，两个质量均为 m的小球 A、 B 以不同速 2 vB 对 B 球： mg 0 75mg=mR sB=vBt=vB g =R（ 2 分） sA sB=3R 率进入管内， A通过最高点 C时，对管壁上部的压力为 3mg，B

15、 通过最高点 C时，对管壁下部的 压力为 075mg求 A、B 两球落地点间的距离 解析 两个小球在最高点时，受重力和管壁的作用力，这两个力的合力作为向心力，离开轨道后两球 均做平抛运动， A、B 两球落地点间的距离等于它们平抛运动的水平位移之差 2 vA 对 A 球： 3mg+mg=mR vA= 4gR sA=vAt=vA 4R 8如图所示，半径 R = 0.4m 的光滑半圆轨道与粗糙的水平面相切于A 点，质量为 m = 1kg 的小 物体（可视为质点）在水平拉力 F 的作用下，从 C点运动到 A点，物体从 A 点进入半圆轨道的同时 撤去 外力 F，物体沿半圆轨道通过最高点 B 后作平抛运动

16、， 正好落在 C点，已知 AC = 2m，F = 15N， g 取 10m/s2，试求： （ 1）物体在 B 点时的速度以及此时半圆轨道对物体的弹力 （ 2）物体从 C到 A 的过程中，摩擦力做的功 8、 5m/s； 52.5N （方向竖直向下） ； -9.5J 9如图所示， LMPQ是光滑轨道， LM为水平，长为 5.0 米， MPQ是一个半径 R=1.6 米的半圆 QOM在同一竖直线上，在 恒力 F作用下质量 m=1kg的物体 A 由静止开始运动， 当到达 M点时立即撤去 F 求：（1）欲使物体 A 能通过 Q点，则拉力 F最小为多少？ 2）若拉力 F=10 牛，则物体 A通过 Q点时对轨

17、道的压力为多少？ 分析：本题（ 1）的关键是明确物体刚好能到达Q 点时应满足 2 mg mvQ 的条件，然后再根据动能定理列出表达式即可求解最 R 拉力 （ 2）根据动能定理和物体在 Q点时的牛顿第二定律表达式并结合 顿第三定律即可求解 2 vQ 解答：解：（ 1）物体若刚好能到达 Q点应满足 mg m Q R 设物体从 A 到 Q最小拉力为 F，由动能定理可得： 12 FL mg 2RmvQ2 其中 L 为水平轨道 LM的长度 2 联立解得 F=8N 故欲使物体 A能通过 Q点，则拉力 F 最小为 8N 1 （2）对物体从 A 到 Q点由动能定理可得 FL mg 2RmvQ2， 2 其中 L 为水平轨道 LM的长度在 Q点时应满足 2 mg FN =m vQ R 联立解得FN =12.5N =12.5N 由牛顿第三定律可知物体对轨道的压力为12.5N 故物体通过 Q点时对轨道的压力为 12.5N 点评：有关竖直面内圆周运动的问题， 注意物体能