复习小结-机械系统动力学讲解

1、机械系统动力学复习小结 第一章 绪论 1. 机械系统动力学课程的脉络（主要内容、研究对象、研究方法） 主要分为两部分：刚体动力学和机械振动学 单自由度刚体动力学：等效力学模型； 刚体动力学 二自由度刚体动力学：拉格朗日方程、龙格库塔法； 单自由度系统振动：单自由度无阻尼（有阻尼）自由振动（强迫振动） 、固 有频率计算、 Duhamel 积分； 两自由度系统振动：固有频率及主振型求解、动力减振器； 机械振动学 多自由度系统振动：影响系数法、模态分析法、矩阵迭代法； 弹性体振动： 杆的纵向振动、 轴的扭转振动、 梁的横向自由振动 （受迫振动） 、 几种边界条件下的频率方程； 2. 机械系统的一些基

2、本概念 系统、机械系统、离散系统、连续系统以及激励的确定性、随机性、模糊性。 3. 机械振动的概念及其分类 简谐振动： x Asin t 复数形式 x Aei t 4. 谐波分析法：把一个周期函数展开成一个傅立叶级数形式。 Fourier 级数： a0 F t 0an cos nt bn sin nt 2 n 1 5. 机械系统动力学的研究意义、研究任务、发展趋势 第二章 单自由度刚体系统动力学 1 驱动力工作阻力的分类 机械特性的概念 三相异步电动机的机械特性分析； 输出力矩与角速度之间的关系： M a b c 2 。 2等效力学模型 原则：转化前后，等效构件与原系统的动能相等，等效力与外力

3、所作的功相等。 通常取做定轴转动或直线平动的构件为等效构件。 m Fk k1 vk cos k nj M j j j1 m FeFk k1 vk cos k v n M j1 Jemj j1 Jj n me j1 mj Jj 与传动速比有关，与机构的运动速度无关。 运动方程用动能定理确定。 1 2 1 2 2 E W2Je2 22 2Je1 122M ed 2 ddEt PJe ddt2 12ddJe ddtM 等效构件运动方程的基本形式 如 p22 例题 1、 p23 例题 2 及课后思考题 3 等效转动惯量等效转动惯量导数的计算 1) 假设等效构件做匀速转动，即令 1, 0 ； 2) 3)

4、 Jem j j1 vsjJ j j ， dJe ，d n 2mjvsj j1 j sj dvsj Jj j d j j sj d J j j d 4运动方程的求解方法 1）等效力矩是等效构件转角的函数时运动方程的求解，即 M e Me ： WM e 2） 等效转动惯量是常数，等效力矩是等效构件角速度函数时运动方程的求解 数值积分方法（梯形法） ，即 Je const， M e M e： 分离变量法 dt M e d 3）等效力矩是等效构件转角角速度的函数时运动方程的求解，即 M e Me , ， Je Je ： 欧拉法、龙格库塔法 ddf 对机构进行运动分析，求出各构件对应的角速度和角加速度

5、以及各构件质心的速度和 加速度 求出相应的传动速比及其导数； 利用公式计算等效转动惯量等效转动惯量导数： 4）等效力矩是等效构件转角、角速度和时间的函数时运动方程的求解，即 M e M e , ,t ： d 四阶龙格库塔法 dt ddt f t, , 5飞轮转动惯量的计算 机械运转不均匀数： max min 2 maxmin m maxmin 通常用具有较大转动惯量的飞轮以减小机械运转时的周期性速度波动； 为什么飞轮具有储能作用？（飞轮调节作用的原理分析） 第三章 两自由度刚体系统动力学 1. 自由度、广义坐标、虚位移的定义 2. 虚位移原理 在理想约束条件下，质点系平衡的充分必要条件是所有主

6、动力在虚位移上所作的元功之和 WFFk rk 0 k 3. 广义力的计算 1） 利用公式直接计算： QiFk k kqi 2）利用求虚功的方法计算： 令 qi 0 ，其他（ n 1）个广义虚位移均等于零，则系统中所有主动力在相应虚位移上所 作的虚功之和 WF Qi qi 对两自由度系统， WF Q1 q1 Q2 q2 或 P Q1q1 Q2q2 如 p41 例题 1 3）利用虚功率的方法计算 4. 拉格朗日方程 由达朗贝尔原理Fk mkrk rk 0Qi d E E dt qiqi 5. 用拉格朗日方程建立运动微分方程的步骤 1）选取广义坐标，判断系统的自由度数； 2） 计算系统的动能 E 3

7、) 计算广义力 Qi ； 4) 将最后求的 E ， E ， qiqi dE dt qi ，Qi 代入拉格朗日方程中，进行简化计算， 最终 得到运动微分方程组。 6. 二自由度刚体系统动力学方程的建立 以平面运动的机构为典型构件进行分析。 1) 确定系统的动能 a. 位移分析 通过几何位置关系的分析，将各个构件的角位移 j 以及各构件上相关的点 k 的坐 标用广义坐标 q1、 q2 表示。 b. 速度分析 xk、 将 j 、 xk、 yk分别对时间求导数，可得到各个构件的角速度 j 及有关点 k 的速度 2) a. 投影 xk、 yk c. 求出系统的动能 d. 求等效转动惯量 确定广义力 Q1

8、、 Q2 令 q2 Q1 b. 令 q1 各构件质心的速度。 xsjxsj q1q2 q1q2 1 2 1 2 J11q1 J12q1q2 2J 2 22q2 J11、 J12、 J22 0 ，求系统在虚位移 q1下所有主动力所做的虚功总和 W1 q1 W1 0， 求系统在虚位移 q2 下所有主动力所做的虚功总和 W2 Q2 W2 q2 3) 根据拉格朗日方程写出系统的运动微分方程 E ， E ， d E ， E ， E ， d E q1 q1 dt q1 q2 q2 dt q2 写出拉格朗日方程： 先求出 4 J12 12 Jq22 q22 Q1 2 q1 2 1 q2 1 J22 2 q2

9、 q1 Q2 4) 求解运动微分方程 根据给定的初始条件，用四阶龙格 - 库塔法的递推公式，求出各构件的相应位置及 角速度。 如 p51 例题 3 7. 二自由度机械手动力学的求解(类似双摆) 第四章 单自由度系统振动 1 单自由度无阻尼自由振动 1) 动力学模型 2) mx kx 0 x Asin nt 其中， A 振动特性分析 x02 x0 x arctg n x0 x0 振动圆频率： n 振动频率： f n 3) 固有频率的计算方法 a. 系数法： meq x eq keqx g m b. 静变形法： n c. 能量法： ddt T U0或Tmax Umax d. Rayleigh 法：

10、 meq m ms Tmax U max 如 p70 例题 2、p71 例题 3、p74 例题 5 4）等效质量和等效刚度 a. 分布质量简化为一个等效质量 n meqmi i1 ui ue n Jj j1 ue b. 等效刚度 串联（“共力”）： 11 并联（“共位移” 2 单自由度有阻尼自由振动 1）动力学模型 keq ）： eq 1 k1 k2 k3 k1 k2 k3 mx cx kx 0 x 2 x n2 x 0 令 2 k ， 2 c n mm x e t C1e 2 n2t C2e 2 n2t 弱阻尼状态： x Ae t sin dt，其中 d 强阻尼状态：非周期性蠕动； 临界阻尼

11、状态：逐渐回到平衡位置的非周期振动； 2）振动特性 阻尼比： 振幅比：Aie TdlnTd Ai 1d 频率比： n 已知振幅比求阻尼系数： TdTdd c 2 mk 3 单自由度系统的强迫振动 1) 简谐强迫振动 mx cx kx P0 sin t 通解：自由振动 +稳态振动，即 x Ae t sin dtBsin t 2) 位移干扰引起的强迫振动 mx cx kx kxs cxs 复数法求解：令 xs a ei t ， x B ei t 3) 周期激振力引起的强迫振动 a. 非简谐周期激振力引起 b. 非简谐周期性支承运动引起 谐波分析法： Pt a0 a j cosj t bj sin

12、j t j1 n xsa j cosj t bj sin j t j1 4) 任意激振力引起的强迫振动 Duhamel 积分法 任意激振力的响应： md t 0tPe n t sin d t d 若忽略阻尼， x 1 mn t 0 P sin n t d 如 p94 例题 9、P95 例题 10 5) 强迫振动理论的应用振动的隔离 按振源的不同，分为两类 a. 主动隔振：设备本身是振源； 隔振系数： PT P0 b. 被动隔振：支承的垂直振动 xs U ei t 为振源； 第五章 两自由度系统的振动 1 两自由度系统的自由振动 1) 动力学模型 m1x1 k1 k2 x1 k2 x2 0 m2

13、 x2 k2x1 k2x2 0 矩阵形式： M x K x 0 2) 固有频率及主振型的求解 x1 A1sin nt a. 假设解为简谐振动： 1 1 n x2 A2 sin nt b. 得到系统的特征矩阵方程： Kn2 M A 0 c. 非零解的充要条件是行列式等于零： det Kn2 M 0 d. 解方程得固有频率： 2 n1,2 b b2 4ac 2a e. 将固有频率带入特征矩阵方程得主振型： A12 A22 3) 系统的动力响应 x1 A11 sin n1t1 A12 sin n2t 2 x21A11 sin n1t 12 A12 sin n2t 2 2 两自由度系统的强迫振动 1)

14、 动力学模型：主系统 +副系统 m1x1 k1x1 k2 x2 m2 x2 k2 x2 x1 0 其通解由两部分组成：自由振动 x1 P0 sin t +稳态振动 x1 A11 sin n1t1 A12 sin n2t 2 自由振动： x21 A11 sin n1t 12A12 sin n2t2 x1 B1 sin t 稳态振动：B1 、 B2 x2 B2 sin t 2) 振动特性 用共振法测定系统的固有频率，根据测出的振型来判定固有频率的阶次 3 动力减振器 原理：用弹性元件(或加阻尼元件)把一个辅助质量联系到振动系统。 m1x1c x2x1k1k2 x k2 x2P0ei t m2 x2

15、c x2x1k2x1k2x2 0 特解： x1 B1 ei t x2 B2 ei t 若无阻尼，B1 st 22 1 2 2 2 2 2 2 B1 无阻尼减振器的实质：使系统的共振频率发生变化，其本身并没有消除共振。 第六章 多自由度系统的振动 1 多自由度系统运动方程的建立方法 1) 拉格朗日法 d T T U D dt qi qiqiqi 用矩阵形式表示的系统运动微分方程 m x cC x k x P 2) 影响系数法 刚度影响系数、阻尼影响系数、惯性影响系数、柔度影响系数 k 1, k1 互为逆矩阵 位移方程： x P m x c x 2 多自由度系统的固有频率和主振型的求解 1) 固有

16、频率 多自由度无阻尼系统自由振动的一般形式： m x k x 0 假设解为： x A e 主振型方程： kn2 m A 0 10 频率方程： det kn2 m 0 n 阶固有频率： 0 n1 n2 nn 2) 主振型 求出固有频率后，将其中一阶固有频率nr 代入主振型方程 第r 阶主振型 A rA1r A2r Anr 计算主振型时，往往规定其中某一阶振幅Ai r 1，再求其它的。 3) 主振型的正交性 几何意义：系统的主振型互相垂直； 物理意义：从能量观点出发，各阶主振型之间能量不能相互转化，彼此独立； 假设对应于固有频率 nr、 ns的两个主振型为 Ar 、 A s ： r s 时 A s

17、 m A r 0 即主振型对质量矩阵的正交性 As T k Ar 0 即主振型对刚度矩阵的正交性 3 模态分析法 概念： 应用由系统的各阶主振型组成的模态矩阵作为变化矩阵， 对原系统运动方程进行 坐标变换，使质量矩阵和刚度矩阵同时对角化(即消除惯性耦合和弹性耦合) ，得 到一组独立的互相耦合的模态方程。即可以用单自由度系统的求解方法分别求解 每一个方程，从而得到多自由度系统的动力响应。 运动方程： m x k x P 求解步骤： 1) 求出系统的各阶固有频率n1 nn以及相应的主振型 A1 A n 模态矩阵：A1 A2 A n 正则模态矩阵： N 2) 用 、 N 对原方程作坐标变换： x q

18、 M q K q Q x N qNqNn2 qNQN 3) 按单自由度系统的求解方法分别求解每一个方程； 得到一组以模态坐标 q (正则坐标 qN )表示的系统的动力响应。 11 4) 利用线性变换，得到原系统运动方程的解； 如 p122 例题 2、P129 例题 3 4 多自由度系统的数值方法 1) Rayleigh 法：最低阶固有频率n1 的上限 2) Dunkerly 法：最低阶固有频率n1 的下限 3) 矩阵迭代法 假设一个振动的振型，经过逐次迭代，使其收敛到某一阶主振型，从而求出系统的 固有频率和主振型 第七章 弹性体的振动 1 杆的纵向自由振动 等截面杆纵向自由振动的运动方程： 2 1 2u a2 t 2 ，其中 a 边界条件为自由端时， 0， u xxl l 杆纵向自由振动的频率方程： sin n 0 a 1 l 两端为自由端，应力为零 2 l 两端固定，位移为零 3 lm 左端位移为零，右端力平衡 4 lk 左端位移为零，右端力平衡 2 梁的横向自由振动 1) Euler-Bernoulli 梁：只考