天体力学二体问题的解

1、天体力学二体问题的解内容提要本文简单介绍了天体力学次级学科内容，发展简史，及其在人类文明发展的历史地位。 天体力学认为二体问题已经解决， 这是一个认识误区。 文章详细地叙述了二体问题的传统解 法，按照伯力克物理教程第一卷力学第九章中高级课题所讲述的方法，导出二体问 题与时间有关的解。探讨了二体问题方程式。天体力学二体问题传统解，致使许多自然现象困惑难解。走出天体力学认识的误区， 一大批物理批疑难问题豁然开朗。附件用 10 个专题文章尝试解解释有关物理疑难问题 目录1 天体力学简介1.1 天体力学次级学科内容1.2 天体力学发展简史1.3 天体力学历史地位2 天体力学传统观念2.1 牛顿绝对时空

2、观念2.2 二体问题常规解2.3 天体力学认识中的误区3 二体问题与时间相关的解3.1 天体引力场的时空结构3.2 二体问题与时间相关的解3.3 二体问题与时间有关的解附件1 哈勃定律的理论解释2 太阳系天体距离和周期的规律性3 水星近日点的进动4 月球长期加速运动5 古生物化石的年轮和月轮6 河外天体光谱红移7 天体形态与微观结构的联系8 太阳常数理论计算9 物理黑洞10 地球能量、温度和辐射1 天体力学简介1.1 天体力学次级学科天体力学是研究天体的运动和形状的学科。天体力学可分为六个次级学科： 多体问题， 又称做 N 体问题 ，或称摄动理论。 研究 N个质点在万有引力作用下的动力学 问题

3、 ，其中只有二体问题已彻底解决。 数值方法。采用数值计算的方法来求解天体的运动方程并讨论解的收敛性、稳定性及计 算方法的改进等问题。 定性方法。探讨天体运动轨道的宏观图像、运动区域和轨道特征。 天文动力学。又称为星际航行动力学，主要是研究各种人造天体的运动规律。 历书天文学。根据天体运动理论和轨道要素编制各种天体的历表和计算各种天象。 天体的形状和自转理论。主要研究各种物态组成的天体的自转平衡形态、稳定性及自转 轴的变化规律。历史渊源1.2 天体力学发展简史丹麦天文学家第谷（ B. Tycho ，15461601）在 16世纪对行星绕日运行作了长期的观 测，记录了大量准确可靠的天文数据资料。德

4、国天文学家 ，数学家开普勒 （Kepler ， Johannes,1571 1630） 根据第谷多年的行星 观测资料于 1609 年 1619 年先后提出了行星运动三大定律，还提出了著名的开普勒方程， 对行星轨道要素下了定义。 从此可以预报行星 （以及月球） 更准确的位置， 形成理论天文学， 揭开了天体力学的序幕；英国著名的物理学家牛顿（ I.Newton ，1643 1727），英国科学家胡克（ R. Hook ）和荷 兰物理学家惠更斯 （C. Huygens）都曾根据开普勒定律推测行星和太阳间存在和距离二次方 成反比的引力，为此胡克和牛顿还通过信，因此，对定律的首创权有过争 议。 1687

5、 年 7 月 Newton 名著 自然哲学的数学原理 问世，提出绝对时空观念，牛顿 动力学三定律和万有引力定律，建立经典力学理论基础。瑞士数学家欧拉 （Euler ，Lonhard，1707 1783）是第一个较完整的月球运动理论的创 立者，法国数学家达朗贝尔（ dAlembert ， Jean le Rond，17171783）的 动力学 是力学 方面的一部奠基性著作， 书中包括后来以他的名字命名的达朗贝尔原理， 根据这个原理建立 起把动力学问题化为静力学问题来处理的一般方法 。他运用这个方法研究了天体力学中的 三体问题，并把它推广到流体动力学中法国数学家拉格朗日（ Lagrange，Jos

6、eph-Louis， 17361813）在分析力学一书中， 运用变分原理和分析的方法， 建立起完整和谐的力学体系， 使力学分析化了， 拉格朗日是大 行星运动理论的创始人。法国数学家 ，天文学家拉普拉斯 （Laplace ， Pierre-Simon ，17491827）是天体力学集大 成者。他的五卷十六册巨著天体力学成为经典天体力学的代表作。在这部著作中，他对 大行星和月球的运动都提出了较完整的理论， 而且对周期彗星和木星的卫星也提出了相应的 运动理论。同时，他还对天体形状的理论基础流体自转时的平衡形状理论作了详细论述。法国数学家勒让德（ Legendre，Adrien-Marie ， 175

7、2 1833）在天文学的研究中，引进 了著名的 “勒让德多项式 ”，发现了它的许多性质 。德国数学家，天文学家，物理学家高斯（ Gauss， Carl Friedrich ， 1777 1855）创立三 次观测决定小行星轨道的计算方法，1809 年发表其计算方法。此后 ，几乎都用这个方法推算小行星轨道。在星历表计算中，他引进一组辅助量（又称为高斯常数） ，使求日心赤道直 角坐标计算大大简化。法国数学家泊松 （ Poisson ，Simon-Denis ，1781 1840）对积分理论 、行星运动理论、 热物理、弹性理论、电磁理论、位势理论和概率论都有重要贡献。 “泊松方程”是经典引力 理论的分

8、析形式。德国数学家雅可比 （Jacobi ，Carl Gustav Jacob ， 1804 1851） 和英国数学家、物理学 家哈密顿（ Hamilton ， William Rowan 1805 1865）对分析力学的建立做出了重要贡献。1846 年，根据法国天文学家勒威耶（ Le Verrier ，Urbain Jean Joseph，1811 1877）和英 国天文学家亚当斯 （Adams，John Couch， 1819 1892）的计算，发现了海王星。这是经典天 体力学的伟大成果， 也是自然科学理论预见性的重要验证。 此后， 大行星和月球运动理论益 臻完善。成为编算天文年历中各天体

9、历表的根据。法国数学家庞加莱（ Poincar ，Jules-Henri ，1854 1912），又译彭加勒庞加莱，庞 加莱在 18921899 年出版的三卷本天体力学新方法是这个时期的代表作。数值方法最早可追溯到高斯的工作方法。十九世纪末形成的科威耳方法和亚当斯方法， 至今仍为天体力学的基本数值方法（见天体力学数值方法） ，但在电子计算机出现以前应用 不广。二十世纪五十年代以后，由于人造天体的出现和电子计算机的广泛应用，天体力学进 入一个新时期。 研究又增加了各种类型的人造天体， 以及成员不多的恒星系统。 在研究方法 中，数值方法有迅速的发展， 不仅用于解决实际问题， 而且物理学 同定性方法

10、和分析方法 也有相应发展，以适应观测精度日益提高的要求。1.3 天体力学历史地位 天体力学是人类文明史上伟大的丰碑，也是人类历史上第一个走出地球的科学理论，以 足够精确的计算结果预言了天体前后几百年、 几千年甚至几万年的运动， 经受了无数的新的 观测考验。天体力学对人类社会的进步起了巨大的推动作用。2 天体力学传统观念2.1 牛顿绝对时空观念Newton 时空观念一般称为经典时空观念，又称为绝对时空观念， Newton 曾经对这个时 空观念详细描述：1、 绝对的、真正的和数学的时间自身在流逝着，而且由于其本性而在均匀地、与任何 其他外界事物无关地流逝着，它又可以名之为延续性 ；相对的、表观的和

11、通常 的的时间是延续性的一种可感觉的、外部的（无论是精确的或是不相等的）通过运 动来进行的量度我们通常就用诸如小时、 日、月、年等这种量度以代替真正的时间。2、 绝对的空间，就其本性而言，是与任何外界事物无关而永远是相同的和不动的。相 对空间是绝对空间的可动部分或者量度。 我们的感官通过绝对空间对其他物体的位 置而确定了它，弁且通常把它当作不动的空间看待。如相对地球而言的地下，大气 或天体等空间就是这样确定的。绝对空间和相对空间，在形状上和大小上都相同， 但在数字上并不总是保持一样。因为，例如当地球运动时，一个相对地球总是保持 不变的大气空间， 将一个时间是大气流入的绝对空间的一个部分，而在另

12、一时间将 是绝对空间的另一个部分，所以从绝对的意义来了解，它总是在不断变化的。 ” （摘自 H S 塞耶编牛顿自然哲学著作选第十九页至二十页）Newton 时空观念为经典力学的运动参照系建立提供了哲学的、物理的理论依据。按照 Newton 时空观念， 一个无限延伸的三维钢架和一个均匀流逝的运动构成了一个运 动参照系，一个刚性的尺和一个稳频的钟可以分别对空间和时间进行度量。在三维钢架上的空的空间构成三维 Euclid 空间直角坐标系坐标 x （I=1, 2, 3）, 时间 t作为参变量 , x 作为时间 t 的函数 x （ t） 。如果有另一个参照系 K 以速度 v 相对 K 运动， K 中的相

13、应的空间坐标为 x ， t，则 x ，t和 x ， t之间变换由下述的 Galilao 时空变换公式决定：ttx x v t （2.1）(2.2)上式中 v 是v 沿 x 方向的分量，在变换中，位矢 r 的平方 r2 是不变量，即：(2.3)按照惯例，上式重复下标表示求和。2.2 二体问题传统解 二体问题是各类天体真实运动的第一次近似结果， 也是研究天体在有心力场的引力作用 下的运动。 根据牛顿绝对时空观念、 牛顿动力学基本定律和牛顿万有引力定律， 运动方程具 有如下形式dvm F (2.4 )dt上式中， m表示天体质量， v表示天体运动速度， F 表示太阳和天体之间的引力， t表示 时间。

14、在解方程( 2.4 )时，二体问题采用了下述的逻辑推理：第一、 选择质心参照系描述二体运动，以折合质量 Mm 代替天体质量 m ，Mm 折合质量也称约化质量，约化质量既小于 M ，也小于 m ，主要由两者中质量较小者决定； 第二、 引进势函数描述质点与球形物体之间作用力， 势函数对空间坐标的偏导数正比于 质点所受总引力的相应分力。 把中心天体看成是质量密度均匀分布的球体， 以 表示势函数，GF则 等于 ，单位质量体元受的作用力为 ，这样，方程 (2.4) 可以写成 rm如下形式dv(2.5 )dt按照上述逻辑形式，行星对太阳运动，就像是在以太阳为中心的惯性参照系中运动一 样，只是要用约化质量代

15、替行星质量。在太阳系黄道面上选择极坐标系，以太阳的质量中心为极坐标系的原点， r 表示矢径 (描述天体相对太阳的位置) ，r 表示矢径的长度， 表示矢径的角度，则方程( 2.4 )有如 下形式2m(r r ) F (2.6 )mdm(r 2r )(r 2 ) 0 (2.7 )r dt22rr令 r 2 h ，沿径 r 方向和沿 方向的两个方程分别为(2.8 )1 dh r dt(2.9 )上式中 h 为单位质量的角动量，2h 为一个积分常数， mr 2 mh 即天体单位质量的动量矩守恒。物体受有心力作用时，时间 t 可以从微分方程消去，令 u 1 可以得出hu2dr1 duh dud2udu2

16、 dhd2d u 2 2r h 2 h u 2d 2 d 2将r 和 代入(2.8 )式，有h2u2(dd u2 u) G u2(2.10)d 2u2 u G d2h2(2.11其解为Gu h2Acos( 0)(2.12h2(2.13GAh cos(0 )如果将基线转过一个角度，可使 0 0 ，则( 2.13 )式可以写为(2.14 )r p a(1 e2) r1 ecos 1 ecos2.14 )式所描述的是圆锥截线，式中p Gh ，AGh Ap e其中， p 为半正焦弦的长， e为偏心率；此时 应该从焦点至准线所垂线量起，上述圆锥曲线，可依能量E 和偏心率 e 的数值分为三种类型：椭圆：p

17、 a(1 e2) ， h G a(1 e ) G p ， E 0 ， e 1 ；抛物线：p 2q，h 2G q ， E0，e1；双曲线： p a(e2 1)， h G a(e2 1)， E 0， e 1；根据二体问题传统解修正的开普勒第三定律形式是a3 G2 2 (2.15 ) 4二体运动方程一个积分2 2 1v2 G ( ) (2.16 ) ra称为活力公式或活力积分；G天体能量表达式为 E G (2.17 )2a2.3 天体力学认识中的误区 天体力学取得了巨大的成功，人们通过观测实践和人类的哲学、逻辑学和物理学基本 理论可以发现天体力学尽管有极高的可靠性， 但是天体力学并不是一个完整的理论

18、体系， 更 确切地说牛顿引力理论是一个有待于发展成一个和谐的、 统一的引力理论体系。 天体力学认 为二体问题已经完全解决。 这是一个认识误区。 按照天体力学二体问题传统理论， 二体问题 主要结论是第一 运动天体轨道是一条圆锥截线， ，即 r p 曲线与时间无关；1 ecos2第二 运动天体单位质量的角动量 h r 是运动常数。 二体问题上述结论不符合天文学大量观测数据。例如，许多天文家对水星近日点进动的研究表明，牛顿理论不解释水星近日点的进动偏差43 / 世纪 ，这是牛顿理论一个疵点。走出天体力学认识中的误区，这个疵点就会变成为光彩夺目的亮点。3 二体问题与时间有关的解3.1 天体引力场的时空

19、结构 时间和空间是运动着的物质存在的基本形式， 是物质固有的普遍属性， 时间和空间与运 动着的物质是不可分的。天体力学在解二体问题时采用巧妙的方法消去了时间 t ，得到了 二体问题的传统解，消去了时间 t 也就是消去了天体的历史和将来，二体问题的传统解即 天体运动的圆锥截线，只是 Euclid 几何空间中不随时间变化的圆锥截线，它把天体约束在 这条曲线上面， 我们把这个传统解称为几何解， 几何解不能全面地、 真实地描述天体的实际 运动，根据引电统一理论，在( 2.14 )式和 (2.9) 式中隐藏时间因子，根据引电统一理论，天 体引力场可以近似地看成平面汇源场和虚旋涡场，其速度场强度等于v 2

20、H (3.1)H称 Hubble 系数，太阳系中 H 10 17 s 1。二体问题有关物理量应该加入时间因子，如轨道长半轴 at 等于at a0 exp( Ht) (3.2)天体运动周期 t 等于3t 0 exp( 2Ht)(3.3)二体问题的传统解 (2.14) 式和 (2.9) 式应该修改为rtp01 ecosexp( Ht)(3.4)1 dh r dt1 Hh2r(3.5)1 其中， h ht h0 exp( Ht) t 0 2(3.4) 式和 (3.5) 式正是二体问题与时间有关的解，由 (3.5) 式可以看出天体单位质量角动量 h ht 不是运动常量。3.2 二体问题与时间相关的解

21、为了完整地描述天体真实运动，必须寻求二体问题的与时间有关的解 根据伯力克物理教程第一卷力学 (第 402 页)高级课题介绍，不用解微分方程， 同样可以得出上述结论。具体叙述如下二体问题偏心率 是运动常数， 等于J P rG m2 r(3.6)上式中， r是矢径， J是运动天体角动量， P是运动天体动量， G 是引力常数， 是 系统约化质量， m 是运动天体质量。将 (3.6) 式乘以 r ，得出rrcos J P 2r rG m2J2h2r(1 cos ) J 2 hpr(1 cos ) G m2 Gpr (1 cos )(3.7)上式是圆锥截线数学标准形式。而(2.14) 式与 (3.7) 式分母中偏心率 差一个负号。这是由于两式 选取方向相反。在上面推导过程中， 并没有要求运动天体单位质量的角动量 h r2 等于常量，将(3.5)1式 h ht h0 exp( Ht ) 代入 (3.7) 式2p0 exp( Ht) r(1 cos )(3.8)h