近三年高考全国卷理科立体几何真题

1、新 课 标 卷 咼 考 真 题1、(2016年全国I高考)如图，在以A, B, C, D, E, F为顶点的五面体中，面ABEF为正方形，AF=2FD,AFD90，且二面角D-AF-E 与二面角C-BE-FABCD的对56，点 E,F 分别在 AD,CD 上, AE CF 5 , EF4都是60.(I) 证明：平面 ABEF平面EFDC(II) 求二面角E- BC- A的余弦值.2、(2016年全国II高考)如图，菱形角线AC与BD交于点O , AB 5, AC交BD于点H .将 DEF沿EF折到 DEF位置，OD(I)证明：DH 平面ABCD ;(U)求二面角 B D A C的正弦值.3【2

2、015高考新课标1,理18】如图，四边形ABC助菱形，/ AB(=120, E, F是平面ABCD同一侧的两点，BE!平面ABCD DF丄平面 ABCD BE=2DF, AE EC(I)证明：平面AECL平面AFC(U)求直线AE与直线CF所成角的余弦值4、2014新课标全国卷U 如图1-3，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，FA丄 平面ABCD, E为PD的中点.(1) 证明：PB/平面AEC;(2) 设二面角D-AE-C为60, AP= 1, AD = 3 求三棱锥E-ACD的体积.图1-35、2014新课标全国卷I 如图1-5,三棱柱ABC -A1B1C1中，侧面BB1C1C为菱

3、 形，AB 丄 B1C.图1-5(1) 证明：AC= AB1;(2) 若 AC!AB1,Z CBB1 = 60, AB= BC,求二面角 A -A1B1 - C1 的余弦值.6、(2017?新课标U)如图，四棱锥P-ABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直丄于底面 ABCD AB=BC=AD, / BAD=/ ABC=90 , E 是 PD的中点.(I)证明：直线CE/平面PAB(U)点M在棱PC上，且直线BM与底面ABCD所成角为45，求二面角M-AB-D的余弦值.3 f一7、(2017?新课标川)如图，四面体 ABCD中, ABC是正三角形， ACD是直角 三角形，/ ABD=/ CBD

4、AB=BD(I)证明：平面ACDL平面ABC(U)过AC的平面交BD于点E,若平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两 部分，求二面角 D- AE- C的余弦值.8、(2017?新课标I卷)如图，在四棱锥P- ABCD中，AB/ CD,且/ BAPNCDP=90 . (12 分)证明：平面PABL平面PAD(2)若 PA=PD=AB=DCZ APD=90，求二面角 A- PB- C 的余弦值.1【解析】V ABEF为正方形 AF EF V AFD 90/. AF DF/ DF I EF=F AF 面 EFDCAF 面 ABEF平面ABEF 平面EFDC由知 DFE CEF 60/ AB II

5、 EF AB 平面 EFDCEF 平面 EFDC AB II 平面 ABCD AB 平面ABCD:面 ABCD I 面 EFDC CD AB II CD CD II EFJ四边形EFDC为等腰梯形以E为原点，如图建立坐标系，FD aumruurrEB 0, 2a，0 ， BC?，2a，-? a，AB2 22a，0，0uuu EBuurBC0r uuu n BC =0 r uuir n AB 0.即aX2 22ax22ay2az22X2y2设二面角EBC A的大小为.cos162.1919面角EBC A的余弦值为2【解析】证明：.5AE CF 4，2 1919AE CF AD CD， EF II

6、 AC .四边形 ABCD为菱形， AC BD，二 EFBD， EF DH ， EF/ AC6， AO 3 ;又 AB 5，AO OB， OB 4 OHAFaoOD 1， DH DH3， OD 2 OHDH2， DH OH设面BEC法向量为m x，y，z .2a yi 0a小x1 2ay12设面ABC法向量为n x2，y2宀/ OH I EF H， D H 面 ABCD .建立如图坐标系Hxyz .2B 5, 0, 0 , C 1, 3, 0 ,D 0 , 0, 3 , A 1,3, 0 ,uinuuurAB 4, 3, 0 , ADuuu1,3,3 , AC 0 , 6, 0 ,设面ABD法

7、向量n x , y , z ,in unix由 AB 0得4x 3y 0取田 in uuju得,取 yq AD 0 x 3y 3z 01zurn同理可得面ADC的法向量n23 , 0, 1 ,9 55 21025，2 95253，【答案】(I)见解析(U)【解析】试题分析 (I )连接耳A设占丁上GG连接三G, WG玄巧在奏形2中.不妨设&31易122G-LJG 通过计算可证EG丄FG根据线面垂直判定定理可知立丄平面圧心由面面垂直判定定理知平面平 Ejjc-； | 为单位长，建立空间直角坐标系A-xyz,贝U D(0, 3, 0), E 0,2 , AE =310，T，2 .设 B(m, 0,

8、 0)(m0)，则 C(m, 3, 0), AC= (m, 3, 0).设n1 = (x, y, z)为平面ACE的法向量，-AC= 0,-Al=0,，-1, 3.m0, 0)为平面DAE的法向量，1|cos =丽二7.i所以结合图形知二面角 A -AiBi - Ci的余弦值为76、【答案】(I)证明：取PA的中点F,连接EF, BF,因为E是PD的中点,111 1 1 所以 EF U - AD, AB=BC=丄 AD, / BADW ABC=90，二 BC/ 三 AD BCEF是平行四边形，可得 CE/ BF, BF?平面PAB CF?平面PAB,直线CE/平面PAB(U)解：四棱锥P-AB

9、CD中,侧面PAD为等边三角形且垂直于底面 ABCD AB=BC= AD,/ BADW ABC=90 , E是 PD的中点.取AD的中点 0, M在底面ABCOk的射影 N在0C,设 AD=2贝U AB=BC=1 OP=/ PCO=60 ,直线 BM与底面ABCD所成角为45可得：BN=MN CN= MN BC=1,1逅逅可得：1+ BN二BN , BN=, MN= ,作NQLAB于Q连接MQMQ=所以/ MQN就是二面角M- AB- D的平面角,二面角M- AB- D的余弦值为:7、【答案】（I）证明：如图所示，取 AC的中点0,连接BO 0D ABC是等边三角形，二0B丄AC. ABD与

10、CBD中 , AB=BD=BC / ABDW CBD ABDA CBD 二 AD=CD ACD是直角三角形，1 AC是斜边，/ ADC=90 . DO= AC d6+bO=aB二bD ./ BOD=90 . OBL OD又D6 AC=O - OBL平面 ACD又OB?平面ABC二平面 ACDL平面ABC(U)解：设点D, B到平面ACE的距离分别为hD平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分,=00),(-1,0, 1),=(-2,0, 0).如= =1 .点E是BD的中点.建立如图所示的空间直角坐标系.不妨设AB=2则 0( 0, 0, 0), A (1, 0, 0), C(- 1,

11、0, 0), D( 0, 0, 1), B( 0,一工+二=0儘yD= 0设平面ADE的法向量为花(x, y, z)，则馬苕=0,即同理可得：平面 ACE的法向量为 =(0, 1,)./.cos心号用；二匡詢二丄丨匕一二一1 .二面角D- AE- C的余弦值为.8【答案】(1)证明：BAP玄 CDP=90，二 PAL AB, PDL CDv AB/ CD, AB丄 PD,又 v PAA PD=P 且 PA?平面 PAD PD?平面 PAD AB丄平面PAD 又AB?平面PAE, 平面PABL平面PAD(2)解：v AB/ CD, AB=CD二四边形 ABCD为平行四边形，由(1)知AB丄平面PAD二AB丄AD,则四边形ABCD为矩形,在厶 APD中，由 PA=PD / APD=90,可得 PAD为等腰直角三角形,设 PA=AB=2a 贝V AD= - A 取AD中点0, BC中点E ,连接P00E以o为坐标原点，分别以0A 0E0P所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标则：D ( ) , B (- ) , P (0 , 0, J- ), C (二).亠 一二匚 二-，匚一-匚 ” -、二一设平面PBC的