均值不等式常见题型整理精编版

1、最新资料推荐均值不等式一、基本知识梳理1. 算术平均值：如果 a b R+，那么叫做这两个正数的算术平均值 .2. 几何平均值：如果 a b R+，那么叫做这两个正数的几何平均值3. 重要不等式：如果 a b R，那么 a2+b2（ 当且仅当 a=b 时，取“ =”）ab均值定理：如果 a b R+，那么 （ 当且仅当 a=b时，取“ =”）2均值定理可叙述为：4变式变形：221 ab a2 b2ab2ab 0 ;3 ba ab abab4 a2b5 2 a2 b2 .5. 利用均值不等式求最值， “和定，积最大；积定，和最小” ，即两个正数的和为定值，则可 求其积的最大值；积为定值，则可求其

2、和的最小值。注意三个条件： “一正，二定，三相等”即： （ 1）各项或各因式非负； （ 2）和或积为定值； （3）各项或各因式都能取得相等的值。6. 若多次用均值不等式求最值，必须保持每次取“=”号的一致性。有时为了达到利用均值不等式的条件，需要经过配凑裂项转化分离常数等变形手段， 创设一个应用均值不等式的情景。二、常见题型：例：求函数 yax 2 x 1x1（x1且a 0） 的最小值。2 解： y axx1x 1 1 ax xax ax (1 a)x1ax11、分式函数求最值，如果Ay f ( x)可表示为 y mg(x)B 的形式，且 g(x) 在定g(x)义域内恒正或恒负， A 0,m

3、0, 则可运用均值不等式来求最值。aa(x 1) 1 2a 2a 1 2a 1 x1a当 a(x 1) 即 x=0 时等号成立， ymin 1 x1最新资料推荐2、题在给出和为定值，求和的最值时，一般情况都要对所求式子进行变形，用已知条件进 行代换，变形之后再利用均值不等式进行求最值。19例：已知 a 0,b 0,且1，求 a b 的最小值。ab解法一： a b 1 9 b 9a 10 2 9 16ab19思路二：由1变形可得 (a 1)(b 9) 9, a 1,b 9, 然后将 a b变形。ab解法二： a b (a 1) (b 9) 10 2 (a 1)(b 9) 10 2 9 10 16

4、可以验证：两种解法的等号成立的条件均为 a 4,b 12 。此类题型可扩展为：111设 a1、 a2、 a3均为正数，且 a1 a2 a3 m ，求 S的最小值。a1 a2 a31111S(a1 a2 a3)()ma1 a2 a3a3a1a3a213 (a2 a1) (a3 a1 ) (a3 a2) m a1 a2 a1 a3a2 a319(3 2 2 2) ，等号成立的条件是 a1 a2 a3 。 mm3、题中所求的式子中带有根式，而且不能直接用均值不等式来求解，则可采用逆向思维来 求解，对不等式逆向转换，本类题型一般情况都给出来 x 的取值范围，根据取值范围来进 行逆向转换。7x 3 1例

5、：求函数 y 7x 3,x 1 ,3的最小值。x21思路：由于所给函数的形式为无理式，直接求解较困难，从所给区间 x ,3 入手，可得11一个不等式 (x )(x 3) 0 (当且仅当 x 或 x 3时取等号)，展开此式讨论即可。1解： (x )(x 3) 0,即 2x2 7x 3 0, 2x2 7x 3,x 0, 2 7x 3, 得 ym in2x4、不等式的变形在证明过程中或求最值时，有广泛应用， 如：当 ab 0 时，a2 b2 2ab同时除以 ab 得 b a 2或 b 1 1 a 。a b a b最新资料推荐a2 b2 c2例：已知 a,b,c 均为，求证： a b c 。 bca证

6、明： a,b,c 均为正数，2a b,b2c2c2b c, 2c a ，a22a2 b2bc1、若 a 0,b 0, 求函数2 最值。 ax2 b答案：yminab2abymaxab2ab2c(2a b) (2b c) (2c a) a b c a总之，均值不等式是高中数学的重要内容之一，它是求多项式的最值以及函数的值域 的常用方法。在应用均值不等式时，不论怎样变形，均需满足“一正二定三相等”的条件。 【巩固练习 】2、求函数 y 2 3x (x 0)的值域。答案： -3，0x2 x 1113、已知正数 x, y满足 x 2y 1, 求的最小值。答案： 3 2 2xy4、已知 x, y, z为

7、正数，且 x y z 2，求 S 1 1 1 的最小值。答案： 9 x y 2 2求y(1 ab)x b x的最小值。答案：15、若 x 1,b(a 0)，a2226、设 a,b,c 为整数，求证：a2b2c2a b cb c c a a b 2三、利用不等式解题的典型例题解析：题型一：利用均值不等式求最值(值域)12例 1、(1)已知 x 0，求 f (x) 3x的最小值 x 4(2)已知 x 3，求 f(x) x的最大值 x34变式 1： 1、若 x R，求 f (x)x 的值域x32、函数 y x 2 x2 x 0 的最大值为19变式 2： 1、已知 x 0, y 0 且1，求 x y

8、的最小值xy最新资料推荐2、2x R，求 f(x) sinx152sin x 1的最小值a2 b23、当 0 x 1,a,b 为正常数时，求 y 的最小值 x 1 x变式 3：1、函数 y lo ga（x 3） 1（a 0,a 1）的图象 恒过定点，若点 A 在直线 12mx ny 1 0上，其中 mn 0 ，则 的最小值为mn2、求 y 2（x 3） 的最小值为x2 21 20093、已知 0 x , f（x） 1 2009 的最小值为2 sinx 1 sinx变式 4： 1、已知 x, y都是正实数，且 x y 3xy 5 0（ 1）求 xy 的最小值（ 2）求 x y 的最小值题型二：利

9、用均值不等式证明不等式例 2、已知 a,b,c R ，求证：1) a2 b2 c2 ab bc ca（ 2） a2 b2b2 c2c2 a22 a b c（ 3） a4 b4 c4 a2b2 b2c2 c2a2 abc a b c bc ac ab变式 5： 1、已知 a,b,c R ,且a,b,c, 不全相等，求证：a b cabc2、已知 a,b,c R ，且 a b c 1，求证： a2 b2 c2 13113、已知 a 0,b 0,a b 1 ，求证： 1 1 9 ab题型三：利用基本不等式解应用题例 3、某食品厂定期购买面粉，已知该厂每天需用面粉6 吨，每吨面粉的价格为 1800 元，面粉的保管等其它费用为