测试技术习题例题

1、习题1求如图所示周期三角波的傅立叶级数表示，并画出频谱图。解: x(t)x(t)ToTo2常值分量：ao2T04T0To(Ao余弦分量的幅值:anToTo2To2x(t) cosn兰tToTo当)dtTootdt 4To2o(A当)cosnTootdt精选n=1,3,54A 22 nsin24A-22nTon=2,4,6 -正弦分量的幅值:bn2To x(t) sin n otdt oTo2这样，该周期三角波的傅立叶级数展开式为:x(t)4A +2 COS ot12 cos3 ot312 cos 5 ot5A 4A1丄22 cos n ot2n i n练习2 求指数衰减振荡信号 x(t)ate

2、 sin ot的频谱函数。解一：X()ate sinoote j tdte(a)t sinotdtsin otj (e j otej ot)1 j(a j j o )t(a j j o )t i1(a j ) j oX( )- o eedt丄j 1厂 2 (a j ) j o1 12 (a j )20解二：sin 2 fot-2(f fo)(f fo)at e1aj2 fx(t) (t T) x(t T)x(t)?y(t) X(f) Y(f)atsin2 fot1 ja j2 f 2(ffo)(ffo)j 1_2 (a j2 f) j2 fo (a1j2f) j2fo4.求指数衰减函数，一:

3、-f. ,的频谱函数 丄，（丄-亠一）。并定性画出信号及其频谱图形。解:（1 ）求单边指数函数. V .I的傅里叶变换及频谱T 8二厂/皿也J r,_ 1a十/曲a.a2（2）求余弦振荡信号- ； : -r 的频谱。利用页二fl存了 +兀）+风/-兀）L：函数的卷积特性,可求出信号.-一-”：的频谱为十人）+讯帀 a十丁厶硝 幺1（ 1 I 1 、2+伽/+*）盘七馆厅一旳L其幅值频谱为|心I二aTocb题图信号及其频谱图注：本题可以用定义求，也可以用傅立叶变换的频移特性求解。练习3已知信号x(t)的傅立叶变换为X(f),求f(t) X(t)cos2 fot的傅立叶变换。1 . t解一：F(

4、)x(t)e J dt2x(t)cos 0te j tdtx(t)-(ej t e j t)e j tdt2x(t)e j(o)tdtx(t)e j( o)tdtx(t)cos2 fotX(f) (f fo)(f fo) /2 X(ffo)/2 X(f fo)/212X(o) X( o)解二：cos 2 fot(ffo)(ffo) /2且 x(t)(t T) x(tT)解三：根据信号的线性性好频移性 ，其频谱为：Fx(t)cos2 otF x(t)ejote jot11 12Fx(t)ejot-Fx(t)ejot-X(o)X(o)1求周期方波的傅立叶级数（复指数函数形式），画出I Cn|- w

5、和j-w图。解：(1) 方波的时域描述为：精选(2) 从而：的绝对均值2 . 求正弦信号精选和均方根值o解 (1)精选(2)精选的自相关函数例1:求正弦函数解：(1)掌握自相关函数的定义，根据计算公式求解。根据式(2.22)得2）为解积分，进行变量代换式中是正弦函数的周期，带入上式，则得例2:求两个同频率的正弦函数的互相关函数0精选解：（1）掌握互相关函数的定义，写出其计算公式。因为信号是周期函数，可以用一个共同周期内的平均值代替其整个历程的平均 值，故的自相关函数其中精选解：瞬态信号的自相关函数表示为：例1:.某一阶测量装置的传递函数为，若用它测量频率为0.5Hz、1Hz、2Hz的正弦信号，

6、试求其幅度误差。解：（1）掌握一阶系统的频率响应函数。当 T =0.04 , w=2n f 时(2)掌握一阶系统幅度误差公式 幅度误差=(1-A(W) X 100% 根据已知条件，有：f=0.5 HZ, A(w)=0.78%f=1H Z, A(w)=3.01% f =2HZ, A(w)=10.64%2 解:(1)求解串联系统的灵敏度。2）求压力值。3. 把灵敏度为的压电式力传感器与一台灵敏度调到的电荷放大器相接，求其总灵，电荷放大器敏度。若要将总灵敏度调到的灵敏度应作如何调整？解：5.用一阶系统对100Hz的正旋信号进行测量时，如果要求振幅误差在 10%内, 时间常数应为多少？如果用该系统对

7、50Hz的正旋信号进行测试时，则此时的幅 值误差和相位误差是多少？ 解：（1）一阶系统幅频误差公式幅值误差为：2.9%,相位差为：-67.540n相同，而阻尼比不例3-4、设有两个结构相同的二阶测量装置，其无阻尼自振频率同。一个是0.1，另一个是0.65。如果允许的幅值测量误差是10%问：它们的可用频率范 围是多少?解：由A( ) A(0)100%A(0)可知0.9A( ) 1.1(1)求 A()1.1和0.1时的-0nn1.1-1.366n 22 22-4 0.12n解此方程，得到两个正实数根：0.304n 1(2)求 A( )1.1和0.65时的n1.111 2 2 2| 214 0.65

8、2nn此方程在实数范围内无解，即0.65的频率响应曲线的极大值小于1.1 o(3)求当 A( ) 0.9,0.1 时一n0.92 22124 0.12nn1得：1.44n(4)求当 A( )0.9,0.65时一.n0.912 22124 0.652nn得一正实根:-0.815n(5)工作频率范围：对0.1 ,-0 0.304n对 0.65 ,0 0.815由此例可见，阻尼比显著影响二阶测量系统的可用频率范围。当 由0.1增至0.65,其可用频率范围由 0 0.304增至0 0.815，扩大了 1.68n倍。例3-3 :求周期信号x(t) 0.5cos10t0.2(100t45 )，通过传递函数

9、为H(s) 1/(0.005s 1)的装置后所得到的稳态响应。解：输入信号为x(t)X1 (t) X2 (t)，此装置对所给输入信号x(t)有线性叠加性和频率保持性。设：xjt)0.5cos10t，即 x-!0.5,10rad /s,10x2 (t) 0.2cos(100t45)，即 x202100 rad / s， 2 45测试装置为一阶系统,0.005s。装置对该两频率信号分量的增益(幅值比)和相移分别为:Hdj ) A( 1)0.999(0.005 10)2(1) arctg10 0.0052.86H2(j ) A( 2)1J (0.005 100)20.894(1) arctg100

10、0.00526.5由叠加性和频率保持性，测试装置对输入x(t)的稳态响应y(t)为:y(t) 0.999 0.5cos(10t 2.86 )0.894 0.2cos(100t 4526.5 )0.499cos(10t2.86 ) 0.179 cos(100t 71.5 )例3-1设有一阶环节其时间常数0.1s，输入一简谐信号，问：输入信号频率为多少时，其输出信号的幅值误差不大于6%？这时输出信号的滞后角是多少？解：一阶环节：A( ) 1/ 1 ( )2允许幅值误差：A(0) A)1 A( ) 0.06A(0)A( ) 1A( ) 0.940.1s代入上式，得1/.1 (0.1 )20.94解之

11、3.63rad /s() arctg arctg 0.1 3.6319.95从此例可看出，给定一个测量装置，若其时间常数相应确定，这时若再规定一个允许的幅值误差 ，则允许它测量的最高信号频率 max也相应确定。既0 max为可用频率范围。当被测信号频率在此范围内时，幅值测量误差小于允许值。上例中，可用频率范围是：0 3.63rad /s既f0 0.578Hz。例2、设另有一个一阶环节，其时间常数 0.2s。设输入信号的频率3.63rad/s。问此情况下 A( ), ( )?解： A( ) 1/ 1()21/ ,1 (0.2 3.63)21/1.236 0.8181%() arctgarctg

12、0.2 3.6336将例1和例2比较可看出，由于时间常数由0.1s加大到0.2s，幅值衰减率由6%加大到1-81%=19%而滞后角则由19.95加大到36，当时，A( )0。一阶环节实际上是一个低通滤波器。它只允许低频信号通过，高频则剧烈衰减。4.用一时间常数为2s的温度计测量炉温时，当炉温在200C 400C之间，以150s 为周期，按正弦规律变化时，温度计输出的变化范围是多少？ 解：(1)已知条件(2)温度计为一阶系统，其幅频特性为A()0.997(3)输入为200C、400C时，其输出为:y=A(w) X 200=199.4( T) y=A(w) X 400=398.8( C )例3-5

13、、设有一力传感器，可视为二阶系统来处理，已知传感器的固有频率为1000Hz，阻尼比 0.4，用传感器测量频率为500Hz的正弦外力时，会产生多大的振幅误差和相位误差？解:5000.50.410001.184 0.42Ad。) 100%A(0)A( ) 1 100%(1.18 1) 100% 18%() arctg1 n28丄 2 0.4 0.5arctg厂10.5即输出相位将延迟28 1.以阻值，灵敏度S=2的电阻丝应变片与阻值为的固定电阻组成电桥，供桥电压为2 V，并假定负载为无穷大，当应变片的应变为 2和2000卩&是，分别求出单臂、双臂电桥的输出电压，并比较两种情况下的灵敏度。时：解： (1) 对于电阻型应变片来说，当应变片的应变为单臂电桥的输出电压为：双臂电桥的输出电压为：时：(2) 当应变片的应变为单臂电桥的输出电压为：双臂电桥的输出电压为：通过计算可知：双臂电桥的灵敏度比单臂电桥高一倍。2 有人在使用电阻应变片时，发现灵敏度不够，于是试图在工作电桥上增加电 阻应变片数以提高灵敏度。试问，在下列情况下，是否可提高灵敏度？说明 为什么？1) 半桥双臂各串联一片。2) 半桥双臂各并联一片。解： (1) 未增加电阻应变片时，半桥双臂的灵敏度为：当半桥双臂各串联一片时：