解题方法小结(2)

1、数学思想方法 一、中考专题诠释 数学思想方法是指对数学知识和方法形成的规律性的理性认识，是解决数学问题的根本策略。 数学思想方法揭示概念、原理、规律的本质，是沟通基础知识与能力的桥梁，是数学知识的重要组 成部分。数学思想方法是数学知识在更高层次上的抽象和概括，它蕴含于数学知识的发生、发展和 应用的过程中。 抓住数学思想方法，善于迅速调用数学思想方法，更是提高解题能力根本之所在因此，在复 习时要注意体会教材例题、习题以及中考试题中所体现的数学思想和方法，培养用数学思想方法解 决问题的意识. 二、解题策略和解法精讲 数学思想方法是数学的精髓，是读书由厚到薄的升华，在复习中一定要注重培养在解题中提炼

2、 数学思想的习惯，中考常用到的数学思想方法有：整体思想、转化思想、函数与方程思想、数形结 合思想、分类讨论思想等在中考复习备考阶段，教师应指导学生系统总结这些数学思想与方法， 掌握了它的实质，就可以把所学的知识融会贯通，解题时可以举一反三。 三、中考考点精讲 考点一：整体思想 整体思想是指把研究对象的某一部分（或全部）看成一个整体，通过观察与分析，找出整体与 局部的联系，从而在客观上寻求解决问题的新途径。 整体是与局部对应的，按常规不容易求某一个（或多个）未知量时，可打破常规，根据题目的 结构特征，把一组数或一个代数式看作一个整体，从而使问题得到解决。 例 110. （2012?德州）已知（a

3、+2b二4 ，则 a+b等于（） L3a+2b=8 A. 3B. ：C. 2D . 1 3 运用整体思想方法解题，要有强烈的整体意识，要认真分析问题的条件或结论的表达形式、内 部结构特征，不拘泥于常规，不着眼于问题的各个组成部分，从整体上观察，从整体上分析。运用 整体思想方法，往往能起到化繁为简，化难为易的效果。 考点二：转化思想 转化思想是解决数学问题的一种最基本的数学思想。在研究数学问题时，我们通常是将未知问 题转化为已知的问题，将复杂的问题转化为简单的问题，将抽象的问题转化为具体的问题，将实际 问题转化为数学问题。转化的内涵非常丰富，已知与未知、数量与图形、图形与图形之间都可以通 过转化

4、来获得解决问题的转机。 例2 （ 2012?内江）已知 A （1 , 5）, B （ 3,- 1）两点，在 x轴上取一点 M，使AM - BM取得最 大值时，则 M的坐标为. 考点：一次函数综合题；三角形三边关系；关于 x轴、y轴对称的点的坐标。 分析： 作点B关于x轴的对称点B,连接AB并延长与x轴的交点，即为所求的M点.利用待定 系数法求出直线 AB的解析式，然后求出其与 x轴交点的坐标，即 M点的坐标. 考点三：分类讨论思想 在解答某些数学问题时，有时会遇到多种情况，需要对各种情况加以分类，并逐类求解，然后 综合得解，这就是分类讨论法。分类讨论是一种逻辑方法，是一种重要的数学思想，同时也

5、是一种 重要的解题策略，它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法。分类的原则：（1）分类 中的每一部分是相互独立的；（2） 一次分类按一个标准；（3）分类讨论应逐级进行.正确的分类必 须是周全的，既不重复、也不遗漏. 例3( 2012?黔东南州)我州某教育行政部门计划今年暑假组织部分教师到外地进行学习，预订宾 馆住宿时，有住宿条件一样的甲、乙两家宾馆供选择，其收费标准均为每人每天120元，并且各自 推出不同的优惠方案.甲家是35人(含35人)以内的按标准收费，超过35人的，超出部分按九折 收费；乙家是45人(含45人)以内的按标准收费，超过45人的，超出部分按八折收费.如果你是 这个部

6、门的负责人，你应选哪家宾馆更实惠些？ 考点： 一次函数的应用。 分析： 当xw35时，选择两个，宾馆是一样的；当35vxw45时，选择甲宾馆比较便宜，当x35 时，两个宾馆的收费可以表示成人数x的函数，比较两个函数值的大小即可. 例4(2012?丽水)在厶 ABC中，/ ABC=45 , tan/ ACB=.如图，把 ABC的一边BC放 (1 )求AC所在直线的函数解析式； (2) 过点0作0G丄AC,垂足为6,求厶OEG的面积； (3) 已知点F( 10, 0),在厶ABC的边上取两点 P, Q,是否存在以 O, P, Q为顶点的三角形与 0FP 全等，且这两个三角形在 0P的异侧？若存在，

7、请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请 说明理由. 考点：一次函数综合题。 分析：(1 )根据三角函数求 E点坐标，运用待定系数法求解； (2) 在Rt 0GE中，运用三角函数和勾股定理求EG , 0G的长度，再计算面积； (3) 分两种情况讨论求解：点Q在AC上；点Q在AB上.求直线0P与直线AC的交点坐标 即可. 考点四：方程思想 从分析问题的数量关系入手，适当设定未知数，把所研究的数学问题中已知量和未知量之间的 数量关系，转化为方程或方程组的数学模型，从而使问题得到解决的思维方法，这就是方程思想。 用方程思想解题的关键是利用已知条件或公式、定理中的已知结论构造方程(组)。这种思想在

8、 代数、几何及生活实际中有着广泛的应用。 例5(2012?广东)据媒体报道，我国2009年公民出境旅游总人数约 5000万人次，2011年公民 出境旅游总人数约 7200万人次，若2010年、2011年公民出境旅游总人数逐年递增，请解答下列问 题： (1) 求这两年我国公民出境旅游总人数的年平均增长率； (2) 如果2012年仍保持相同的年平均增长率，请你预测2012年我国公民出境旅游总人数约多少万 人次？ 考点： 一元二次方程的应用。 分析： (1)设年平均增长率为 x .根据题意2010年公民出境旅游总人数为5000 (1+x)万人次， 2011年公民出境旅游总人数 5000 ( 1+x)

9、 2万人次根据题意得方程求解； (2) 2012年我国公民出境旅游总人数约7200 (1+x)万人次. 例6( 2012?圭林)李明到离家 2.1千米的学校参加初三联欢会，到学校时发现演出道具还放在家 中，此时距联欢会开始还有 42分钟，于是他立即匀速步行回家，在家拿道具用了1分钟，然后立即 匀速骑自行车返回学校. 已知李明骑自行车到学校比他从学校步行到家用时少20分钟，且骑自行车 的速度是步行速度的 3倍. (1 )李明步行的速度(单位：米 /分)是多少？ (2 )李明能否在联欢会开始前赶到学校？ 考点：分式方程的应用。 分析： (1)设步行速度为x米/分，则自行车的速度为 3x米/分，根据

10、等量关系：骑自行车到学校 比他从学校步行到家用时少20分钟可得出方程，解出即可； (2)计算出步行、骑车及在家拿道具的时间和，然后与 42比较即可作出判断. 考点五：函数思想 函数思想是用运动和变化的观点，集合与对应的思想，去分析和研究数学问题中的数量关系， 建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决。 所谓函数思想的运用，就是对于一个实际问题或数学问题，构建一个相应的函数，从而更快更 好地解决问题。构造函数是函数思想的重要体现，运用函数思想要善于抓住事物在运动过程中那些 保持不变的规律和性质。 例7(2012?十堰)某工厂计划生产 A、B两种产品共5

11、0件，需购买甲、乙两种材料.生产一件 A产品需甲种材料 30千克、乙种材料10千克；生产一件B产品需甲、乙两种材料各20千克.经测 算，购买甲、乙两种材料各 1千克共需资金40元，购买甲种材料2千克和乙种材料3千克共需资金 105 元. (1 )甲、乙两种材料每千克分别是多少元？ (2) 现工厂用于购买甲、乙两种材料的资金不超过38000元，且生产B产品不少于28件，问符合 条件的生产方案有哪几种？ (3) 在(2)的条件下，若生产一件 A产品需加工费200元，生产一件B产品需加工费300元，应 选择哪种生产方案，使生产这50件产品的成本最低？(成本=材料费+加工费) 考点：一次函数的应用；二

12、元一次方程组的应用；一元一次不等式组的应用。 分析：(1 )设甲材料每千克x元，乙材料每千克y元，根据购买甲、乙两种材料各 1千克共需资 金40元，购买甲种材料 2千克和乙种材料 3千克共需资金105元，可列出方程组 片，解 2x+3y=105 方程组即可得到甲材料每千克15元，乙材料每千克 25元； (2) 设生产A产品m件，生产B产品(50 - m)件，先表示出生产这 50件产品的材料费为 15 X30m+25X10m+15X20 (50 - m) +25 20 (50 - m) =- 100m+40000，根据购买甲、乙两种材料的 资金不超过38000元得到-100m+4000匪3800

13、0，根据生产B产品不少于28件得到50 - m28,然后 解两个不等式求出其公共部分得到20W me 22而m为整数，则m的值为20, 21, 22，易得符合条 件的生产方案； (3) 设总生产成本为 W元，加工费为：200m+300 (50- m),根据成本=材料费+加工费得到 W=- 100m+40000+200m+300 (50 - m) =- 200m+55000，根据一次函数的性质得到W 随m的增大而减 小，然后把m=22代入计算，即可得到最低成本. 函数思想是函数概念、性质等知识更高层次的提炼和概括，是一种策略性的指导方法。运用函数思 想通常是这样进行的：将问题转化为函数问题，建立

14、函数关系，研究这个函数，得出相应的结论。 考点六：数形结合思想 数形结合思想是指从几何直观的角度 ，利用几何图形的性质研究数量关系 ，寻求代数问题的解决 方法(以形助数)，或利用数量关系来研究几何图形的性质，解决几何问题(以数助形)的一种数学思想 数形结合思想使数量关系和几何图形巧妙地结合起来，使问题得以解决。 例8 ( 2012?襄阳)如图，直线 y=4x+b与双曲线y=相交于A (1, 2)、B (m,- 1)两点. x (1) 求直线和双曲线的解析式； (2) 若A1 (X1, yj, A2 (X2, y2), A3 (X3, y)为双曲线上的三点，且X1 X2 的解集. 考点： 反比例

15、函数与一次函数的交点问题。 分析： (1)将点A (1, 2)代入双曲线y=，求出k2的值，将B ( m,- 1)代入所得解析式求 出m的值，再用待定系数法求出k1X和b的值，可得两函数解析式； (2 )根据反比例函数的增减性在不同分支上进行研究； (3)求不等式k1X+b丄的解集，就是求 k1X+b丄时自变量的x的范围，从图象上看：直线在双 曲线上方，这是以形助数”. 根据A、B点的横坐标结合图象进行解答. 点评：数形结合就是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数意义，又揭示其几 何直观，使数量关系的精确刻划与几何图形的直观形象巧妙、和谐地结合在一起，充分利用这种结 合，寻找解

16、题思路，使问题化难为易、化繁为简，从而得到解决。 15 、选择题解题方法 选择题解题的基本原则是：充分利用选择题的特点，小题小做，小题巧做，切忌小题大做 解选择题的基本思想是既要看到各类常规题的解题思想，但更应看到选择题的特殊性，数学选 择题的四个选择支中有且仅有一个是正确的，又不要求写出解题过程因而，在解答时应该突出一 个 选”字，尽量减少书写解题过程，要充分利用题干和选择支两方面提供的信息，依据题目的具体 特点，灵活、巧妙、快速地选择解法，以便快速智取，这是解选择题的基本策略具体求解时，一 是从题干出发考虑，探求结果；二是题干和选择支联合考虑或从选择支出发探求是否满足题干条件 事实上，后者

17、在解答选择题时更常用、更有效 中考典例剖析 方法一：直接法 从题设条件出发，通过正确的运算、推理或判断，直接得出结论再与选择支对照，从而作出选 择的一种方法。运用此种方法解题需要扎实的数学基础 / -1 例1（ 2012?白银）方程 1 的解是（） x+1 A . x= B . x=1C. x= - 1D . x=0 对应训练 1. （ 2012?南宁）某单位要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安 排10场比赛，则参加比赛的球队应有（） A . 7队B . 6队C. 5队D . 4队 方法二：特例法 a c 不，给出下列四个不等式: 运用满足题设条件的某些特殊数值、

18、特殊位置、特殊关系、特殊图形、特殊数列、特殊函数等 对各选择支进行检验或推理，利用问题在某一特殊情况下不真，则它在一般情况下也不真的原理， 由此判明选项真伪的方法。用特例法解选择题时，特例取得愈简单、愈特殊愈好 例2（ 2012?常州）已知a、b、c、d都是正实数，且 a cc a ： ： a b c d c d a b 其中不等式正确的是（） A .B . c.D . 思路分析：由已知a、b、c、d都是正实数，且 a c 盲，取a=1, b=3, c=1，d=2，代入所求四个式 子即可求解。 对应训练 2. （ 2012?南充）如图，平面直角坐标系中，OO的半径长为1,点P （a, 0）,

19、O P的半径长为2, 把O P向左平移，当O P与O O相切时，a的值为（） A . 3B. 1C. 1, 3D. ，出 方法二：筛选法（也叫排除法、淘汰法） 分运用选择题中单选题的特征，即有且只有一个正确选择支这一信息，从选择支入手，根据题 设条件与各选择支的关系，通过分析、推理、计算、判断，对选择支进行筛选，将其中与题设相矛 盾的干扰支逐一排除，从而获得正确结论的方法。使用筛选法的前提是答案唯一 ”，即四个选项中 有且只有一个答案正确 k的取值范围是（） D. k v 1 0,可排除A、B;又因为被开 例3 （ 2012?东营）方程（k-1）x2- .订kx+ 1 =0有两个实数根，则 4

20、 A . k1B. k 1 思路分析：原方程有两个实数根，故为二次方程，二次项系数不能为 方数非负，可排除 C。故选D. 对应训练 3. M作PQ / y轴，分别交函数 y= （2012?临沂）如图，若点 M是x轴正半轴上任意一点，过点 k1 （x0）和y= k2 （x0）的图象于点P和Q,连接OP和OQ.则下列结论正确的是（ xx / POQ不可能等于90 PM QM k2 k1 C.这两个函数的图象 D . POQ的面积是 -定关于 x轴对称 2（ |k1|+|k2|） 方法四：逆推代入法 将选择支中给出的答案或其特殊值，代入题干逐一去验证是否满足题设条件，然后选择符合题 设条件的选择支的

21、一种方法在运用验证法解题时，若能据题意确定代入顺序，则能较大提高解题 速度 例4（2012?贵港） 下列各点中在反比例函数 y= 6的图象上的是（ x ) A . (-2, -3) B . (-3, 2) C. (3, -2) D. (6, -1) 思路分析：根据反比例函数y= 中xy=6对各选项进行逐一判断即可. x 对应训练 y=kx+1中的k值，则所得的直线 D. 1 4. （ 2012?贵港）从2, - 1 , - 2三个数中任意选取一个作为直线 不经过第三象限的概率是（） 方法五：直观选择法 利用函数图像或数学结果的几何意义，将数的问题（如解方程、解不等式、求最值，求取值范围 等）与

22、某些图形结合起来，利用直观几性，再辅以简单计算，确定正确答案的方法。这种解法贯穿数 形结合思想，每年中考均有很多选择题（也有填空题、解答题）都可以用数形结合思想解决，既简捷又 迅速 例5 （2012?贵阳）已知二次函数 y=ax2+bx+c （av 0）的图象如图所示, 当-5 x 0)的 抛物线三角形”是等腰直角三角形，求b的值； (3) 如图， OAB是抛物线y=-x2+b Xb0)的 抛物线三角形”，是否存在以原点 O为对称中心 的矩形ABCD ?若存在，求出过 O、C、D三点的抛物线的表达式；若不存在，说明理由. 考点四：开放题型中的新概念 例4 ( 2012?北京)在平面直角坐标系

23、xOy中，对于任意两点 片(yj与P? (x2, y?)的 非常 距离”给出如下概念： 若|Xi-X2| 协2|,则点Pl与点P2的 非常距离”为凶-X2|； 若Ixi-X2|v |yi-y2|,则点Pi与点p2的 非常距离 为|yi-y2|. 例如：点Pi (i,2),点P2(3,5),因为|i-3|v|2-5|,所以点Pi与点P2的非常距离”为|2-5|=3,也 就是图i中线段PiQ与线段P2Q长度的较大值(点Q为垂直于y轴的直线PiQ与垂直于x轴的直线 P2Q交点). 1 (1) 已知点A (-一 , 0), B为y轴上的一个动点， 2 若点A与点B的非常距离”为2,写出一个满足条件的点

24、 B的坐标； 直接写出点A与点B的非常距离”的最小值； 3 (2) 已知C是直线y= x+3上的一个动点， 4 如图2，点D的坐标是(0, i),求点C与点D的非常距离”的最小值及相应的点 C的坐标； 如图3, E是以原点O为圆心，i为半径的圆上的一个动点，求点C与点E的 非常距离”的最小 值及相应的点E与点C的坐标. 图1E2圏3 思路分析：(i)根据点B位于y轴上，可以设点 B的坐标为(0, y).由 非常距离”的概念可以 确定|0-y|=2，据此可以求得y的值； 1 ii 设点B的坐标为(0, y).因为卜 -0| -|y|,所以点A与点B的非常距离”最小值为卜-0|=； 2 22 3

25、(2)设点C的坐标为(X0, X0+3).根据材料若|xi-X2|i|y/2|，则点Pi与点P2的非常距离为 4 3 |xi-X2| 知, C、D两点的 非常距离”的最小值为-X0= -X0+2，据此可以求得点 C的坐标； 4 3 3 当点E在过原点且与直线 y= x+3垂直的直线上时，点C与点E的 非常距离”最小，即E(-, 4 5 4 -).解答思路同上. 5 对应训练 4. ( 20i2?台州)请你规定一种适合任意非零实数a, b的新运算“炉b”使得下列算式成立： 74 i 2=2 i=3 , (-3) ( -4) = (-4) ( -3) =-, (-3) 5=5 ( -3)=- 一

26、, 615 你规定的新运算a b=(用a, b的一个代数式表示). 三、开放性问题 一、中考专题诠释 开放型问题是相对于有明确条件和明确结论的封闭型问题而言的，它是条件或结论给定不完全、 答案不唯一的一类问题这类试题已成为近年中考的热点，重在考查同学们分析、探索能力以及思 维的发散性，但难度适中根据其特征大致可分为：条件开放型、结论开放型、方法开放型和编制 开放型等四类. 二、解题策略与解法精讲 解开放性的题目时，要先进行观察、试验、类比、归纳、猜测出结论或条件，然后严格证明； 同时，通常要结合以下数学思想方法：分类讨论，数形结合，分析综合，归纳猜想，构建数学模型 等。 三、中考考点精讲 考点

27、一：条件开放型 条件开放题是指结论给定，条件未知或不全，需探求与结论相对应的条件解这种开放问题的 一般思路是：由已知的结论反思题目应具备怎样的条件，即从题目的结论出发，逆向追索，逐步探 求. 例1 （2012?义乌市）如图，在 ABC中，点D是BC的中点，作射线 AD，在线段 AD及其 延长线上分别取点 E、F,连接CE、BF .添加一个条件，使得 BDF CDE ,并加以证明.你添 加的条件是.（不添加辅助线） 考点二：结论开放型： 给出问题的条件，让解题者根据条件探索相应的结论并且符合条件的结论往往呈现多样性，这 些问题都是结论开放问题这类问题的解题思路是：充分利用已知条件或图形特征，进行

28、猜想、类 比、联想、归纳，透彻分析出给定条件下可能存在的结论，然后经过论证作出取舍. 例2（2012?宁德）如图，点 E、F分别是 AD上的两点，AB / CD , AB=CD , AF=DE .问: 线段CE、BF有什么数量关系和位置关系？并加以证明. 四、探究型问题 一、中考专题诠释 探究型问题是指命题中缺少一定的条件或无明确的结论，需要经过推断，补充并加以证明的一 类问题根据其特征大致可分为：条件探究型、结论探究型、规律探究型和存在性探究型等四类. 二、解题策略与解法精讲 由于探究型试题的知识覆盖面较大，综合性较强，灵活选择方法的要求较高，再加上题意新颖， 构思精巧，具有相当的深度和难度

29、，所以要求同学们在复习时，首先对于基础知识一定要复习全面， 并力求扎实牢靠；其次是要加强对解答这类试题的练习，注意各知识点之间的因果联系，选择合适 的解题途径完成最后的解答由于题型新颖、综合性强、结构独特等，此类问题的一般解题思路并 无固定模式或套路，但是可以从以下几个角度考虑： 1 .利用特殊值(特殊点、特殊数量、特殊线段、特殊位置等)进行归纳、概括，从特殊到一般， 从而得出规律. 2 反演推理法(反证法)，即假设结论成立，根据假设进行推理，看是推导出矛盾还是能与已知 条件一致. 3 分类讨论法当命题的题设和结论不惟一确定，难以统一解答时，则需要按可能出现的情况 做到既不重复也不遗漏，分门别

30、类加以讨论求解，将不同结论综合归纳得出正确结果. 4 类比猜想法.即由一个问题的结论或解决方法类比猜想出另一个类似问题的结论或解决方法， 并加以严密的论证. 以上所述并不能全面概括此类命题的解题策略，因而具体操作时，应更注重数学思想方法的综 合运用. 三、中考考点精讲 考点一：动态探索型： 此类问题结论明确，而需探究发现使结论成立的条件. 例1(2012?自贡)如图所示，在菱形 ABCD中，AB=4 ,/ BAD=120 , AEF为正三角形, 点E、F分别在菱形的边 BC、CD上滑动，且E、F不与B、C、D重合. (1 )证明不论 E、F在BC、CD上如何滑动，总有 BE=CF ; (2)当

31、点E、F在BC、CD上滑动时，分别探讨四边形 AECF和厶CEF的面积是否发生变化？如果 不变，求出这个定值；如果变化，求出最大(或最小)值. 考点： 菱形的性质；二次函数的最值；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质。 分析： (1)先求证AB=AC，进而求证 ABC、 ACD为等边三角形，得/ 4=60 , AC=AB进而 求证 ABEACF，即可求得 BE=CF ； (2)根据 ABE = ACF 可得 Saabe=Sacf，故根据 S 四边形 aecf=Saec + Sacf=Saec+Sabe =SABC 即可解题；当正三角形 AEF的边AE与BC垂直时，边 AE最短. AEF的面

32、积会随着 AE的变化 而变化，且当AE最短时，正三角形AEF的面积会最小，又根据Sacef=S四边形aecf _ Saaef ,则厶CEF 的面积就会最大. 考点二：结论探究型： 此类问题给定条件但无明确结论或结论不惟一，而需探索发现与之相应的结论的题目. 例2( 2012?盐城)如图所示，已知 A、B为直线I上两点，点C为直线I上方一动点，连 接AC、BC,分别以 AC、BC为边向 ABC外作正方形 CADF和正方形 CBEG，过点D作DDi丄I 于点Di,过点E作EEi丄I于点Ei， (1)如图，当点 (2 )在图中，当 E恰好在直线I上时(此时Ei与E重合)，试说明DD i=AB ; D

33、、E两点都在直线I的上方时，试探求三条线段 DDi、EEi、AB之间的数量关 系，并说明理由; (3)如图，当点E在直线I的下方时，请直接写出三条线段 DDi、EEi、AB之间的数量关系. (不 需要证明) 考点： 正方形的性质；全等三角形的判定与性质。 分析： (I )由四边形 CADF、CBEG是正方形，可得 AD=CA , Z DAC= Z ABC=90，又由同角的 余角相等，求得/ ADD i= / CAB，然后利用 AAS证得 ADD i CAB，根据全等三角形的对应边 相等，即可得DD i=AB ; (2) 首先过点C作CH丄AB于H，由DDi丄AB ,可得/ DD iA= / C

34、HA=90，由四边形CADF是正 方形，可得AD=CA，又由同角的余角相等，求得/ADD i= / CAH，然后利用AAS证得 ADD i CAH，根据全等三角形的对应边相等，即可得DDi=AH，同理EEi=BH，则可得 AB=DD i+EEi， (3) 证明方法同(2),易得AB=DD i - EEi. 考点三：规律探究型： 规律探索问题是指由几个具体结论通过类比、猜想、推理等一系列的数学思维过程，来探求一 般性结论的问题，解决这类问题的一般思路是通过对所给的具体的结论进行全面、细致的观察、分 析、比较，从中发现其变化的规律，并猜想出一般性的结论，然后再给出合理的证明或加以运用 例3(20I

35、2?青海)如图(* ),四边形ABCD是正方形，点 E是边BC的中点，/ AEF=90 , 且EF交正方形外角平分线 CF于点F.请你认真阅读下面关于这个图的探究片段，完成所提出的问 题. (I) 探究I：小强看到图(*)后，很快发现AE=EF ,这需要证明AE和EF所在的两个三角形全等， 但厶ABE和厶ECF显然不全等(一个是直角三角形，一个是钝角三角形)，考虑到点E是边BC的 中点，因此可以选取 AB的中点M,连接EM后尝试着去证 AEM也EFC就行了，随即小强写出了 如下的证明过程： 证明：如图I，取AB的中点M,连接EM . / AEF=90 / FEC+Z AEB=90 又/ EAM

36、+ Z AEB=90 Z EAM= Z FEC 点E, M分别为正方形的边 BC和AB的中点 AM=EC 又可知 BME是等腰直角三角形 / AME=135 又 CF是正方形外角的平分线 / ECF=135 AEM EFC ( ASA ) AE=EF (2) 探究2:小强继续探索，如图 2，若把条件 点E是边BC的中点”改为 点E是边BC上的任意 一点”，其余条件不变，发现 AE=EF仍然成立，请你证明这一结论. (3) 探究3:小强进一步还想试试，如图3,若把条件 点E是边BC的中点”改为点E是边BC延 长线上的一点”，其余条件仍不变，那么结论AE=EF是否成立呢？若成立请你完成证明过程给小

37、强 17 图图1 图2图3 考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质。 分析： (2)在AB上截取AM=EC，然后证明/ EAM=FEC，/ AME= / ECF=135，再利用 角边 角”证明厶AEM和厶EFC全等，然后根据全等三角形对应边相等即可证明； (3)延长BA到M，使AM=CE，然后证明/ BME=45，从而得到/ BME= / ECF，再利用两直线 平行，内错角相等证明/ DAE= / BEA，然后得到/ MAE= / CEF，再利用 角边角”证明 MAE和 CEF全等，根据全等三角形对应边相等即可得证. 例4 (2012?永州)如图所示，已知二次函数y=ax2+bx - 1

38、(a工0的图象过点A (2，0)和B (4，3)， I为过点(0，- 2)且与x轴平行的直线，P(m，n)是该二次函数图象上的任意一点， 过P作PH丄I， H为垂足. (1) 求二次函数y=ax2+bx - 1 (a工0的解析式； (2) 请直接写出使yv0的对应的x的取值范围； (3) 对应当m=0, m=2和m=4时，分别计算|POf和|PH|2的值.由此观察其规律， 并猜想一个结论， 证明对于任意实数 m，此结论成立； (4) 试问是否存在实数 m可使 POH为正三角形？若存在， 求出m的值；若不存在，请说明理由. 考点： 二次函数综合题。 分析： (1)根据二次函数 y=ax2+bx-

39、 1 (a0的图象过点 A (2, 0)和B (4, 3),待定系数法 求出a和b的值，抛物线的解析式即可求出； 2 (2) 令y=ax +bx -仁0,解出x的值，进而求出使 yv 0的对应的x的取值范围； (3) 分别求出当m=0, m=2和m=4时，分别计算|POf和|PH|2的值.然后观察其规律， 再进行证明； (4) 由(3)知OP=OH，只要 OH=OP成立， POH为正三角形，求出|OP|、|OH|含有m和n的表 达式，令两式相等，求出 m和n的值. 考点四：存在探索型： 此类问题在一定的条件下，需探究发现某种数学关系是否存在的题目. 例5(2012?黑龙江)如图，在平面直角坐标

40、系中，直角梯形OABC的边OC、OA分别与x 轴、y轴重合，AB / OC，Z AOC=90，/ BCO=45，BC=6，点 C 的坐标为(-9，0). (1) 求点B的坐标； (2) 若直线DE交梯形对角线 BO于点D，交y轴于点E，且OE=2，OD=2BD，求直线DE的解析 式； (3) 若点P是(2)中直线DE上的一个动点，是否存在点 P，使以O、E、P为顶点的三角形是等 腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由. A / / E , C 0 ； 考点：一次函数综合题。_ 分析： (1)过点B作BF丄x轴于F，在Rt BCF中，已知/ BCO=45，BC=6匚，解直角

41、三角 形求CF，BF，确定B点坐标； (2) 过点D作DG丄y轴于点G，由平行线的性质得出 ODGOBA，禾U用相似比求 DG，OG， 确定D点坐标，由已知得 E点坐标，利用 两点法”求直线DE的解析式； (3) 存在由已知的 OE=2，分别以O、E为圆心，2为半径画弧，与直线 DE相交，或作线段 OE 的垂直平分线与直线 DE相交，交点即为所求. 例6 ( 2012?北海)如图，在平面直角坐标系中有Rt ABC，/ A=90 , AB=AC , A (- 2, 0)、B (0, 1)、C (d, 2). (1 )求d的值； (2) 将厶ABC沿x轴的正方向平移，在第一象限内 B、C两点的对应

42、点B、C正好落在某反比例函 数图象上请求出这个反比例函数和此时的直线B(的解析式； (3) 在(2)的条件下，直线 BC交y轴于点G .问是否存在x轴上的点M和反比例函数图象上的 点P,使得四边形PGMC是平行四边形？如果存在，请求出点 M和点P的坐标；如果不存在，请说 明理由. 考点：反比例函数综合题。 分析： (1 )过C作CN垂直于x轴，交x轴于点N，由A、B及C的坐标得出OA , OB , CN的 长，由/ CAB=90，根据平角定义得到一对角互余，在直角三角形ACN中，根据两锐角互余，得到 一对角互余，禾U用同角的余角相等得到一对角相等，再由一对直角相等，且AC=BC，利用AAS得

43、到三角形ACN与三角形AOB全等，根据全等三角形的对应边相等可得出CN=0A , AN=0B，由 AN+OA求出ON的长，再由C在第二象限，可得出 d的值； (2) 由第一问求出的 C与B的横坐标之差为3，根据平移的性质得到纵坐标不变，故设出C ( m, 2),贝U B、( m+3, 1),再设出反比例函数解析式，将C与B的坐标代入得到关于 k与m的两方程， 消去k得到关于m的方程，求出方程的解得到 m的值，即可确定出k的值，得到反比例函数解析式， 设直线B(的解析式为y=ax+b ,将C与B的坐标代入，得到关于a与b的二元一次方程组， 求出方 程组的解得到a与b的值，即可确定出直线 B(的解

44、析式； (3) 存在x轴上的点M和反比例函数图象上的点P,使得四边形 PGMC是平行四边形，理由为： 设Q为GC的中点，令第二问求出的直线B (的解析式中x=0求出y的值，确定出G的坐标，再由 C的坐标，利用线段中点坐标公式求出Q的坐标，过点Q作直线I与x轴交于M点，与 沪的图象 x 交于P点，若四边形P G M是平行四边形，则有 P Q=Q M易知点M的横坐标大于点P的横 2 坐标小于：作P Hx轴于点H , QK丄y轴于点K, P H与 QK交于点E,作QF丄x轴于点F,由 2 两直线平行得到一对同位角相等， 再由一对直角相等及 P Q=QM,利用AAS可得出 P EQfA QFM 全等，

45、根据全等三角形的对应边相等，设 EQ=FM =t，由Q的横坐标-t表示出P的横坐标，代入反 比例函数解析式确定出 P的纵坐标，进而确定出 M的坐标，根据P H EH=P H - QF表示出P E勺 长，又P Q=QM,分别放在直角三角形中，利用勾股定理列出关于t的方程，求出方程的解得到 t 的值，进而确定出 P与M的坐标，此时点 P为所求的点P,点M为所求的点 M . 五、归纳猜想型问题 一、中考专题诠释 归纳猜想型问题在中考中越来越被命题者所注重。这类题要求根据题目中的图形或者数字，分 析归纳，直观地发现共同特征，或者发展变化的趋势，据此去预测估计它的规律或者其他相关结论， 使带有猜想性质的

46、推断尽可能与现实情况相吻合，必要时可以进行验证或者证明，依此体现出猜想 的实际意义。 二、解题策略和解法精讲 归纳猜想型问题对考生的观察分析能力要求较高，经常以填空等形式出现，解题时要善于从所 提供的数字或图形信息中，寻找其共同之处，这个存在于个例中的共性，就是规律。其中蕴含着特 殊一一一般一一特殊”的常用模式，体现了总结归纳的数学思想，这也正是人类认识新生事物的一般 过程。相对而言，猜想结论型问题的难度较大些，具体题目往往是直观猜想与科学论证、具体应用 的结合，解题的方法也更为灵活多样：计算、验证、类比、比较、测量、绘图、移动等等，都能用 到。 由于猜想本身就是一种重要的数学方法，也是人们探

47、索发现新知的重要手段，非常有利于培养 创造性思维能力，所以备受命题专家的青睐，逐步成为中考的持续热点。 三、中考考点精讲 考点一：猜想数式规律 通常给定一些数字、代数式、等式或者不等式，然后猜想其中蕴含的规律。一般解法是先写出 数式的基本结构，然后通过横比（比较同一等式中不同部分的数量关系）或纵比（比较不同等式间 相同位置的数量关系）找出各部分的特征，改写成要求的格式。 例1（ 2012?沈阳）有一组多项式：a+b2,a2-b4,a3+b6,a4-b8,，请观察它们的构成规律，用 你发现的规律写出第 10个多项式为 例2（ 2012?珠海）观察下列等式： 12 231=132 21, 13 X

48、341=143 1, 23 X352=253 X2, 34 473=374 X3, 62 286=682 X6, 以上每个等式中两边数字是分别对称的，且每个等式中组成两位数与三位数的数字之间具有相同规 律，我们称这类等式为数字对称等式” （1 ）根据上述各式反映的规律填空，使式子称为数字对称等式”： 52 X=X25; X396=693X （2）设这类等式左边两位数的十位数字为a,个位数字为b,且2 2）,则AP6的长为（） 分析: 先写出AD、ADAD2、AD3的长度，然后可发现规律推出 ADn的表达式，继而根据 APn=ADn即可得出APn的表达式，也可得出AP6的长 例10 （2012?

49、广州）如图，在标有刻度的直线I上，从点A开始, 以AB=1为直径画半圆，记为第 以BC=2为直径画半圆，记为第 以CD=4为直径画半圆，记为第 以DE=8为直径画半圆，记为第 按此规律，继续画半圆，则第 1个半圆； 2个半圆； 3个半圆； 4个半圆， 4个半圆的面积是第 3个半圆面积的 倍，第n个半圆的面积 为（结果保留n 4个半圆的面积与 分析：根据已知图形得出第 4个半圆的半径是第 3个半圆的半径，进而得出第 第3个半圆面积的关系，得出第 n个半圆的半径，进而得出答案. 考点五：猜想变化情况 随着数字或图形的变化，它原先的一些性质有的不会改变，有的则发生了变化，而且这种变化 是有一定规律的

50、。比如，在几何图形按特定要求变化后，只要本质不变，通常的规律是位置关系不 改变，乘除乘方不改变，减变加法加变减，正号负号要互换”。这种规律可以作为猜想的一个参考依 据。 例11（ 2012?常德）若图1中的线段长为1，将此线段三等分，并以中间的一段为边作等边三角 形，然后去掉这一段，得到图2,再将图2中的每一段作类似变形，得到图 3,按上述方法继续下去 得到图4，则图4中的折线的总长度为（） 图1 图3 A . 2 B. C. D. 64 27 分析： 当n=2时，折线的长度为：1; 当 n=3时，折线的长度为：；+； 当 n=4时, 折线的长度为：“，从而可求出折线的总长度. 圈后中间形成一

51、个正方形，如图 圈后中间形成一个正多边形，则 例12（2012?河北）用4个全等的正八边形进行拼接，使相等的两个正八边形有一条公共边，围成 1,用n个全等的正六边形按这种方式进行拼接，如图2,若围成 n的值为. 圏1 a 5! 星 分析：根据正六边形的一个内角为120可求出正六边形密铺时需要的正多边形的内角，继而可 求出这个正多边形的边数. 六、阅读理解型问题 一、中考专题诠释 阅读理解型问题在近几年的全国中考试题中频频亮相”特别引起我们的重视这类问题一般文 字叙述较长，信息量较大，各种关系错综复杂，考查的知识也灵活多样，既考查学生的阅读能力， 又考查学生的解题能力的新颖数学题 二、解题策略与

52、解法精讲 解决阅读理解问题的关键是要认真仔细地阅读给定的材料，弄清材料中隐含了什么新的数学知 识、结论，或揭示了什么数学规律，或暗示了什么新的解题方法，然后展开联想，将获得的新信息、 新知识、新方法进行迁移，建模应用，解决题目中提出的问题 三、中考考点精讲 考点一： 阅读试题提供新定义、新定理，解决新问题 例1 ( 2012?十堰)阅读材料： 例：说明代数式,x2(x -3)2 4的几何意义，并求它的最小值. 解：一 x2 1(x -3)2 4 =(X -0)2 1 ： J(x -3)2 22 , 如图，建立平面直角坐标系，点P (x, 0)是x轴上一点， kJ1 少2) 1 A 7 /：3

53、； Af C 则(x-0)2 V可以看成点P与点A (0, 1 )的距离, (3)2 22可以看成点P与点B (3, 2)的距离，所以原代数式的值可以看成线段PA与PB长 度之和，它的最小值就是PA+PB的最小值. 设点A关于x轴的对称点为 A,则PA=PA ,因此，求PA+PB的最小值，只需求PA +PB的最小值， 而点A、B间的直线段距离最短，所以PA +PB的最小值为线段 AB的长度为此，构造直角三角 形A CB因为A C=3 CB=3，所以A B=2，即原式的最小值为 3 2 . 根据以上阅读材料，解答下列问题： (1) 代数式、，(x-1)2 V(x-2)2 9的值可以看成平面直角坐

54、标系中点P (x, 0)与点A (1, 1)、点B的距离之和.(填写点 B的坐标) (2) 代数式x2 49 ，；x2 -12x 37的最小值为 考点二、阅读试题信息，归纳总结提炼数学思想方法 例2 ( 2012?赤峰)阅读材料: (1 )对于任意两个数 a、b的大小比较，有下面的方法: 当a-b 0时， 定有 a b; 当 a-b-0 时，一 定有 a-b; 当a-bv 0时， 定有 av b. 反过来也成立因此，我们把这种比较两个数大小的方法叫做求差法” (2) 对于比较两个正数 a、b的大小时，我们还可以用它们的平方进行比较： t a2-b2= (a+b)( a-b), a+b0| (

55、a2-b2)与(a-b)的符号相同 当 a2-b2 0 时，a-b 0,得 a b 当 a2-b2=0 时，a-b=0，得 a=b 当 a2-b2v 0 时，a-bv 0,得 av b 解决下列实际问题： (1)课堂上，老师让同学们制作几种几何体，张丽同学用了 3张A4纸，7张B5纸；李明同学用了 2张A4纸，8张B5纸.设每张 A4纸的面积为x，每张B5纸的面积为y，且x y，张丽同学的用 纸总面积为W!，李明同学的用纸总面积为 W2.回答下列问题： W1- (用x、y的式子表示) W2- (用x、y的式子表示) 请你分析谁用的纸面积最大. (2)如图1所示，要在燃气管道I上修建一个泵站，分

56、别向 A、B两镇供气，已知 A、B到I的距 方案一：如图2所示，AP丄I于点P，泵站修建在点P处，该方案中管道长度 a1=AB+AP 方案二：如图3所示，点A与点A关于I对称，AB与I相交于点P，泵站修建在点P处，该方案中 管道长度a2=AP+BP 在方案一中， a1=km (用含 x的式子表示)； 在方案二中，a2=km (用含x的式子表示)； 请你分析要使铺设的输气管道较短，应选择方案一还是方案二. 考点三、阅读相关信息，通过归纳探索，发现规律，得出结论 例3（ 2012?凉山州）在学习轴对称的时候，老师让同学们思考课本中的探究题. 如图（1）,要在燃气管道I上修建一个泵站，分别向 A、B

57、两镇供气泵站修在管道的什么地方, 可使所用的输气管线最短？ 你可以在I上找几个点试一试，能发现什么规律？ 聪明的小华通过独立思考， 很快得出了解决这个问题的正确办法. 他把管道I看成一条直线（图（2）, 问题就转化为，要在直线 I上找一点P,使AP与BP的和最小.他的做法是这样的：作点 B关于 直线I的对称点B. 连接AB交直线I于点P,则点P为所求. 请你参考小华的做法解决下列问题如图在厶ABC中，点D、E分别是AB、AC边的中点，BC=6 , BC边上的高为4,请你在BC边上确定一点 卩，使厶PDE得周长最小. （1）在图中作出点 P （保留作图痕迹，不写作法）. （2）请直接写出 PDE

58、周长的最小值： B 考点四、阅读试题信息，借助已有数学思想方法解决新问题 例 4 （2012?重庆）已知：如图，在直角梯形 ABCD 中，AD / BC, / B=90 , AD=2 , BC=6 , AB=3 . E 为BC边上一点，以 BE为边作正方形 BEFG，使正方形 BEFG和梯形ABCD在BC的同侧. （1 ）当正方形的顶点 F恰好落在对角线 AC上时，求BE的长； （2） 将（1）问中的正方形 BEFG沿BC向右平移，记平移中的正方形BEFC为正方形B EFG当 点E与点C重合时停止平移.设平移的距离为t,正方形B EFG的边EF与AC交于点M，连接BD, BM, DM，是否存在

59、这样的 使厶B DM是直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明 理由； （3） 在（2）问的平移过程中，设正方形B EFGW ADC重叠部分的面积为 S,请直接写出S与t 之间的函数关系式以及自变量 t的取值范围. 分析：（1）首先设正方形 BEFG的边长为X,易得 AGFABC，根据相似三角形的对应边成比 例，即可求得BE的长； （2）首先利用厶MEC ABC与勾股定理，求得 BM, DM与BD的平方，然后分别从若 / DB M=90 ,则 DM2=BM2+BD,若/ DB M=90 ,则 DM2=BM+BD，若/ B DM=90，则 bM=bD+dm2去分析，即可得到方程，解方程即

60、可求得答案； (3)分别从当OWt幺时，当4 v t W2寸，当2v t 4时，当10 V t W4寸去分析求解即可求得答案. 33 图 七、方案设计型问题 一、中考专题诠释 方案设计型问题，是指根据问题所提供的信息，运用学过的技能和方法，进行设计和操作，然 后通过分析、计算、证明等，确定出最佳方案的一类数学问题。 随着新课程改革的不断深入，一些新颖、灵活、密切联系实际的方案设计问题正越来越受到中 考命题人员的喜爱，这些问题主要考查学生动手操作能力和创新能力，这也是新课程所要求的核心 内容之一。 二、解题策略和解法精讲 方案设计型问题涉及生产生活的方方面面，如：测量、购物、生产配料、汽车调配、