《抛物线》典型例题12例(含标准答案)

1、抛物线典型例题 12例典型例题一例1指出抛物线的焦点坐标、准线方程.(1) x2 4y(2) x ay2(a 0)分析：(1)先根据抛物线方程确定抛物线是四种中哪一种，求出p,再写出焦点坐标和准线方程.(2) 先把方程化为标准方程形式，再对 a进行讨论，确定是哪一种后，求 p及 焦点坐标与准线方程.解：(1)p 2，二焦点坐标是(0, 1),准线方程是：y 1(2)原抛物线方程为：y26， 2p -1a|a| 当a 0时，卫，抛物线开口向右，2 4a焦点坐标是(丄,0)，准线方程是：x .4a4a 当a 0时，卫，抛物线开口向左，2 4a11二焦点坐标是(,0)，准线方程是：x .4a4a综合

2、上述，当a 0时，抛物线x ay2的焦点坐标为(丄,0)，准线方程是：4a1x4a典型例题二例2若直线y kx 2与抛物线y2 8x交于A、B两点，且AB中点的横坐标为 2，求此直线方程.分析：由直线与抛物线相交利用韦达定理列出 k的方程求解.另由于已知与直 线斜率及弦中点坐标有关，故也可利用作差法”求k.y kx 2解法一：设 A(x1, y1) B(x2,y2)，则由： 2可得：y 8x2 2k x (4k 8)x 40.直线与抛物线相交，k 0且 0，则k 1 . AB中点横坐标为:x1 x2 2 解得：k 2或k 1 （舍去）.故所求直线方程为：y 2x 2 .解法二：设 A(x1,

3、y1) B(x2,y2),则有y122y2两式作差解：（丫2）（仏 y2） 8（X1 X2），即 Ay2x-ix2yiy2为X24y1y2 kx12 kx22 k(x1 x2)44k 4，2或k 1 （舍去）.则所求直线方程为：y 2x 2 .典型例题三例3求证：以抛物线的焦点弦为直径的圆心与抛物线的准线相切.分析：可设抛物线方程为y2 2px（p 0）.如图所示，只须证明 竺 MM1 ,则以AB为直径的圆，必与抛物线准线相切.1y证明：作AA l于A,BB1 l于B . M为AB中点，作* MM1 l于M1，则由抛物线的定义可知：f VVCT TAA| |AF,BB1 |BF在直角梯形BB1

4、A1A中：II2111MM1 2（aa| BB1I） -（AF |bf）|aB1MM2 AB，故以AB为直径的圆，必与抛物线的准线相切.说明：类似有：以椭圆焦点弦为直径的圆与相对应的准线相离，以双曲线焦点弦为直径的圆与相应的准线相交.典型例题四例4（ 1）设抛物线y2 4x被直线y 2x k截得的弦长为3.5，求k值.（2）以（1）中的弦为底边，以x轴上的点P为顶点作三角形，当三角形的面积为9时，求P点坐标.分析：(1)题可利用弦长公式求k, (2)题可利用面积求高，再用点到直线距 离求P点坐标.解：(1)由 y 4X 得：4x2 y 2x k(4k 4)x k2设直线与抛物线交于A(x1,

5、y1)与B(x2,y2)两点.则有：洛x? 1 k,人x?AB| J(1 22)(% X2)2 $5(X1 X2)2 4x1X2V5(1 k)2 k2 J 5(1 2 k)AB 3怎 5(1 2 k)3/ 5，即 k 4(2)S 9，底边长为3.5 ,A三角形高h 2 9 6卫3755点P在x轴上，.设P点坐标是(X0,O)则点P到直线y 2x 4的距离就等于h,即2X0 0 4 牡J22 125Xo 1或Xo 5，即所求P点坐标是(一1，0)或(5，0).典型例题五例5已知定直线I及定点A (A不在I上)，n为过A且垂直于I的直线，设N 为I上任一点，AN的垂直平分线交n于B,点B关于AN的

6、对称点为P,求证 P的轨迹为抛物线.分析：要证P的轨迹为抛物线，有两个途径，一个证明P点的轨迹符合抛物线的定义，二是证明P的轨迹方程为抛物线的方程，可先用第一种方法，由A为定点，I为定直线，为我们提供了利用定义的信息，若能证明PA PN且PN I即可.证明：如图所示，连结FA、PN、NB.由已知条件可知：PB垂直平分NA,且B关于AN的对称点为P. AN也垂直平分PB.则四边形PABN为菱形.即有PA PN .AB I. PN I.则P点符合抛物线上点的条件：到定点 A的距离与到定直线的距离相等，所以P点的轨迹为抛物线.典型例题六焦点弦，F为C的焦点，求证:1 1 2 RF| 时| P例6若线

7、段RP2为抛物线C: y2 2px（p 0）的一条分析：此题证的是距离问题，如果把它们用两点间 的距离表示出来，其计算量是很大的我们可以用 抛物线的定义，巧妙运用韦达定理，也可以用抛物 线的定义与平面几何知识，把结论证明出来.证法一：F（-P,0），若过F的直线即线段PP2所在直线斜率不存在时，1则有 RF P2F P，-PF P2F p若线段PR所在直线斜率存在时,设为k，则此直线为:y k（x ）（k 0），且设 F；(x1,y1), P2(x2, y2).k（x 夕）2得： 得: k（x 夕）2k2x2P(k22)xk2p42X1X2P(k 2) k2X1 X2根据抛物线定义有:1 Ip

8、f|RFP2Fx-ix2X1p P1P2x1x2|rf| |rf| IP1FIIP2F（为X1 x1 x2 _P(x1 x2)2X2P _2 _P_4请将代入并化简得：RF R2F p证法二：如图所示，设R、P2、F点在C的准线I上的射影分别是R、P2、F，且不妨设R2R2B点，由抛物线定义知,BF| n,|RF m, FF又 F2AF s R2BRi，AF|BR|RF2R|RiRi，又设R2点在FF、p(m n) 2mn 丄 i 2 m n p故原命题成立.典型例题七例7设抛物线方程为2 px( p 0)，过焦点F的弦AB的倾斜角为，求证：焦点弦长为|AB2p2 . sin分析：此题做法跟上

9、题类似，也可采用韦达定理与抛物线定义解决问题.证法一：抛物线y2 2px(p 0)的焦点为 (,0)， 过焦点的弦AB所在的直线方程为：y tan (x自由方程组y tan (xy2 2px2消去y 得:2 2 24x tan4p(tan )2 tan2XiX2设 A(xi, yi), B(X2, y2)，则XiX22p(tan22) p(i 2cot2 )tan2_p_又 yiy2 tan (捲 x2)AB J(1 tan2 )(人 x?)2(1 tan2 ) (x x2)2 4%x2i(1 tan2 ) p2(1 cot2 ) 4 ；sec 4p2cot2 (1 cot2 )厂.4P si

10、n4P2sin即AB孝sin证法二：如图所示，分别作AR、BB!垂直于准线I .由抛物线定义有:af| aa| |af| cos p BF| |BB,| p |BF| cos于是可得出：AFab| |af bfp1 cosBFp1 cos故原命题成立.p_p_1 cos1 cos2p1 cos2p2sin典型例题八例8已知圆锥曲线C经过定点P(3,2J3)，它的一个焦点为F (1, 0),对应于 该焦点的准线为x 1，过焦点F任意作曲线C的弦AB,若弦AB的长度不超 过8,且直线AB与椭圆3x2 2y22相交于不同的两点，求(1) AB的倾斜角 的取值范围.（2）设直线AB与椭圆相交于C、D两

11、点，求CD中点M的轨迹方程.分析：由已知条件可确定出圆锥曲线 C为抛物线，AB为抛物线的焦点弦，设其斜率为k,弦AB与椭圆相交于不同的两点，可求出k的取值范围，从而可得的取值范围，求CD中点M的轨迹方程时，可设出 化简即可.的坐标，利用韦达定理解：（1）由已知得PF 4 .故P到x 1的距离d从而PF曲线C是抛物线，其方程为y2 4x设直线AB的斜率为k,若k不存在，则直线AB与3x22y22无交点. k存在.设AB的方程为y k（x 1）4x 可得：ky2 4y 4k 0k(x 1)设A、B坐标分别为（xyj、（X22），则:y1yiy2AB(iy1 y2)2f Sy2)2k4(1 k2)4

12、yyk2弦AB的长度不超过8,4(1 2)8 即 k2k2由 y2k(x 21)得：W3x 2y 23)x2 4k2x 2(k21) 0 AB与椭圆相交于不同的两点,k2由k21和k23可得：1 ktan 3 或,3 tan，二所求的取值范围是:34(2)设 CD 中点 M(x,y)、C(x3,y3)、Dg y4)由 y 2k(x 21)得:3x 2y 2(2k2 3)x2 4k2x 2(k2 1)X34k2x42,x32k 3ci 2X3 X4 2k22k2 33122k 3k232k23 91 V2k22(k2 1)2k232k22k2 322亠 (x 1)222亠(x 1)2化简得：3x

13、22y2 3x所求轨迹方程为：3x2222y2 3x 0( x )53典型例题九例9定长为3的线段AB的端点A、B在抛物线y2 x上移动，求AB的中点到y轴的距离的最小值，并求出此时 AB中点的坐标.分析：线段AB中点到y轴距离的最小值，就是其横坐标的最小值.这是中点坐标问题，因此只要研究 A、B两点的横坐标之和取什么最小值即可.解：如图，设F是y2 x的焦点，A、B两点到准线的垂线分别是 AC、BD，又M到准线的垂线为MN , C、D和N是垂足，则N0CK2ABMN x 1，则 x1 1MN -(AC BD) -(AF BF) 设M点的横坐标为x，纵坐标为y, 等式成立的条件是AB过点F .

14、51当x 一时，yyP2I244p esc (1厂)4p esctan一，故44. 、2 2 2 . _ 1 _ (% 目2 * y2 2yy 2x 2 2，y1y22， y一 J25所以M (一，2)，此时M到y轴的距离的最小值为-42y4说明：本题从分析图形性质出发，把三角形的性质应用到解析几何中，解法较简.典型例题十例10过抛物线y 2px的焦点F作倾斜角为 的直线，交抛物线于 A、B两点，求AB的最小值.分析：本题可分和2式，再求范围.2两种情况讨论当时，先写出|AB的表达解：若 2，此时AB 2p .若-，因有两交点，所以AB：y tan (x 2，即x 盘代入抛物线方程，有y20

15、.P2 .p20.故(y2 yJ24p2tan22 2 24p 4 p esc(X2 Xj2tan24p22 CSCtan2所以AB 一1 2p 因sin2，所以这里不能取综合，当-时，AB最小值2p 说明:(1)此题须对分-和两种情况进行讨论;(2)从解题过程可知，抛物线点弦长公式为2psin2(3) 当一时，AB叫做抛物线的通径通径是最短的焦点弦.2典型例题十一例11过抛物线y2 2px(p 0)的焦点F作弦AB , I为准线，过A、B作I的垂线，垂足分别为A、B，则 afb为()， AFB为( ).A.大于等于90B.小于等于90C.等于90 D不确定分析：本题考查抛物线的定义、直线与圆的位置关系等方面的知识，关键是求 角的大小以及判定直线与圆是否相切.解：点A在抛物线上，由抛物线定义，则 AA AF 12，又 AA / x 轴13 . 23，同理 46，而2364180，二36 90， AFB90 .选 C.过AB中点M作MM l，垂中为M ，则MM1（AA BB，）21（ AF BF2AB以AB为直径的圆与直线I相切，切点为M又F在圆的外部， AFB 90 .特别地，当