《抛物线》典型例题12例

1、抛物线典型例题12例典型例题一例1指出抛物线的焦点坐标、准线方程.2 2（1） x 4y（2） x ay （a 0）分析：（1）先根据抛物线方程确定抛物线是四种中哪一种，求出P,再写出焦点坐标和准线方程.（2）先把方程化为标准方程形式，再对 a进行讨论，确定是哪一种后，求 p及 焦点坐标与准线方程.解：（1） p 2，二焦点坐标是（0，1），准线方程是：y 1211（2）原抛物线方程为：yx，2pa同 当a 0时，卫，抛物线开口向右，2 4a11焦点坐标是（丄,0）,准线方程是：x .4a4a 当a 0时，卫，抛物线开口向左，2 4a一 11I焦点坐标是（,0），准线方程是：x4a4a斜率及弦

2、中点坐标有关，故也可利用“作差法”求 k.解法一:设 A(xi,yi)、B(X2, y2)，则由:y kx 22小y 8x可得：k2x2(4k 8)x 40.直线与抛物线相交, AB中点横坐标为:为 x2 4k 82 k2解得：k 2或k i(舍去).故所求直线方程为：y 2x 2 .解法二：设 A(Xi,yJ、B(X2,y2)，则有 yi28Xi2y2两式作差解：(yiy2)(yi y2)8( xi X2)，即%y2X-!X28yiy2XiX24 yiy2 kxi 2 kx22 k(xi X2)44k 4，2或k i (舍去).则所求直线方程为：y 2x 2 .典型例题三例3求证：以抛物线的

3、焦点弦为直径的圆心与抛物线的准线相切.分析：可设抛物线方程为y2 2px(p 0).如图所示，只须证明罟MMi，则以AB为直径的圆，必与抛物线准线相切.Iy证明：作AAA l于Ai,BBi l于Bi . M为AB中点，作pMMi l于Mi，则由抛物线的定义可知：Vk y *AAi |AF|, BBi| |BF1在直角梯形BBiAiA中：MM11 12(AA| |BBi)-(AFBF)1MM-AB，故以AB为直径的圆，必与抛物线的准线相切.2说明：类似有：以椭圆焦点弦为直径的圆与相对应的准线相离，以双曲线焦点弦为直径的圆与相应的准线相交.典型例题四例4（ 1）设抛物线y2 4x被直线y 2x k

4、截得的弦长为3、.5，求k值.（2）以（1）中的弦为底边，以x轴上的点P为顶点作三角形，当三角形的面积为9时，求P点坐标.分析：（1）题可利用弦长公式求k，（2）题可利用面积求高，再用点到直线距离求P点坐标.2解：（1）由yy4x2x得：4x2k2(4k 4)x k 0设直线与抛物线交于A(X1,yJ与 B(X2,y2)两点.则有:k2 x1x2 1k, x-i x24AB(122)(X1X2)2. 5(% x2)2 4x1x2. 5(1 k)2 k2.5(1 2 k)AB3 5,5(1 2 k)(2)Xo例5已知定直线I及定点A （A不在I上），n为过A且垂直于I的直线，设N 为I上任一点，

5、AN的垂直平分线交n于B,点B关于AN的对称点为P,求证P 的轨迹为抛物线.分析：要证P的轨迹为抛物线，有两个途径，一个证明P点的轨迹符合抛物线的 定义，二是证明P的轨迹方程为抛物线的方程，可先用第一种方法，由A为定点， I为定直线，为我们提供了利用定义的信息，若能证明 PA PN且PN I即可. 证明：如图所示，连结PA PN NB由已知条件可知：PB垂直平分NA且B关于AN的对称点为P. AN也垂直平分PB.则四边形PABN为菱形.即有PA PN .AB I. PN I.则P点符合抛物线上点的条件：到定点 A的距离与到定直线的距离相等，所以 P 点的轨迹为抛物线.典型例题六焦点弦，F为C的

6、焦点，求证:_1_ _1_ 2RF|P2F7例6若线段P1P2为抛物线C: y2 2px（p 0）的一条分析：此题证的是距离问题，如果把它们用两点间 的距离表示出来，其计算量是很大的.我们可以用 抛物线的定义，巧妙运用韦达定理，也可以用抛物线的定义与平面几何知识，把结论证明出来.证法一：FJO），若过F的直线即线段PR所在直线斜率不存在时,则有 PiF IP2Fp,_1_丄丄 Z屈萌孑3 ?若线段PlP?所在直线斜率存在时，设为k,则此直线为:y k(x 护 0)，且设 RX, yj, P2(X2, y2).k(x p2 得: k(x p2k2x2p(k22)xk2p24Xi2p(k 2)X

7、x2根据抛物线定义有:RFXiXix1x2pP2F|PF| |P2F|PF|P2Fx1x2(Xi*)(X2寸)X1X1X2 |(X1 X2)X2P2 p41请将代入并化简得：1PF| 时 p证法二：如图所示，设R、P2、F点在C的准线I上的射影分别是P、P2、F ,且不妨设P2P2 n m PR，又设P2点在FFPP上的射影分别是 A、B点,由抛物线定义知,P2F n, RF| m, FF| p|AF朗p(m n) 2mn112m n p故原命题成立.典型例题七,求证:例7设抛物线方程为 寸2px(p 0)，过焦点F的弦AB的倾斜角为 焦点弦长为AB2p .sin分析：此题做法跟上题类似，也可

8、采用韦达定理与抛物线定义解决问题.证法一：抛物线y2 2px( p 0)的焦点为(*,0),过焦点的弦AB所在的直线方程为：y tan (x *)由方程组y tan(X自消去y 得: y2 2px2 2 2 2 24x tan4p(tan) p tanx1 x2设 Ag yi), B(X2, y2)，则XiX2p(ta n22)ta n224p(12 cot2 )又 yy tan (为 X2)AB(1 tan2 )(x1 x2)2.(1 tan2 ) (x-! x2)2 4x1x2(1 tan2 ) p2(1 cot2 ) 4 4.sec4 p2 cot2 (1 cot2 )14 sin2p2

9、sin即AB2p sin2证法二：如图所示，分别作AAi、BBi垂直于准线I 由抛物线定义有:于是可得出：|AFp1 cosBFp1 cosABAF BFPp1 cos1 cos2p1 cos2p2 sin故原命题成立.AFAA,|AFcos pBF|BB1PBFcos典型例题八例8已知圆锥曲线C经过定点P(3,2a/3)，它的一个焦点为F (1, 0)，对应于该 焦点的准线为x 1，过焦点F任意作曲线C的弦AB,若弦AB的长度不超过8, 且直线AB与椭圆3x2 2y22相交于不同的两点，求(1) AB的倾斜角的取值范围.(2) 设直线AB与椭圆相交于C D两点，求CD中点M的轨迹方程.分析：

10、由已知条件可确定出圆锥曲线 C为抛物线，AB为抛物线的焦点弦，设其 斜率为k，弦AB与椭圆相交于不同的两点，可求出k的取值范围，从而可得 的 取值范围，求CD中点M的轨迹方程时，可设出M的坐标，利用韦达定理化简即 可.解：（1）由已知得|PF|4 故P到x 1的距离d 4，从而|PF| d曲线C是抛物线，其方程为 屮4x.2y22无交点.设直线AB的斜率为k,若k不存在，则直线AB与 3x2二k存在.设AB的方程为y k（x 1）4x-可得：ky 4y 4k 0k(x 1)设A、B坐标分别为（捲，比）、（X2, y2）,则：y1y2yiy24AB: 1 2-(1k2)(y1y2)k4(1 k2

11、)4y2k2弦AB的长度不超过8,24(1 k )8即k2由 y2k(x 21)得：(2F3x2 2y223)x2 4k2x2(k21) AB与椭圆相交于不同的两点,k2由k21和k23可得：1 ktan 一 3 或.3 tan，二所求的取值范围是:(2)设 CD中点 M(x, y)、C(x3, ya)、D(X4,y4)由 y 2k(x 21)得：(2k2 3)x2 4k2x3x 2y 22(k21)0X34k55, X3 Xi5k 32 x3 x45k5 5k531 ；k5 3k5325k 3 9X45(k5 1)5k5 35k55k5 32J(X 1)52J(X 1)化简得：3x55y5

12、3x所求轨迹方程为：3x55y53x 0(5 X 5)53典型例题九例9定长为3的线段AB的端点A、B在抛物线y5 x上移动，求AB的中点到 y轴的距离的最小值，并求出此时 AB中点的坐标.分析：线段AB中点到y轴距离的最小值，就是其横坐标的最小值.这是中点坐 标问题，因此只要研究 A、B两点的横坐标之和取什么最小值即可.解：如图，设F是y5 x的焦点，A、B两点到准线的垂线分别是 AC、BD，又M到准线的垂线为MN , C、D和N是垂足，则MN11 12(ac |BD) -(afBF)2ab13 1设M点的横坐标为x，纵坐标为y , MN x ,则x -42 4等式成立的条件是AB过点F 当

13、x 4时，賂p2.222小_1_(y- y2)y- y? 2yy 2x 2，yiy22，y5 J25所以M（5，亍），此时M到y轴的距离的最小值为4 .说明：本题从分析图形性质出发，把三角形的性质应用到解析几何中，解法较简.典型例题十例10过抛物线y 2px的焦点F作倾斜角为 的直线，交抛物线于A、B两点, 求AB的最小值.分析：本题可分2和2两种情况讨论当2时，先写出AB的表达式,再求范围.解：若-，此时AB 2p .若-，因有两交点，所以AB: y tan (x 号)，即x 谆代入抛物线方程，有p20.故(y2 yi)24p2tan24p24 p2 esc(X2 Xi)2M %)2tan2

14、22 esc4p 2 tan故AB2 24p esc(1=)4p2cs tan所以AB2p 2 sin2p .因-，所以这里不能取“=”综合(1)(2)，当2时，AB最小值2P .说明:(1)此题须对分2和 評种情况进行讨论;(2)从解题过程可知，抛物线点弦长公式为I上卜;sin 当 -时，AB叫做抛物线的通径.通径是最短的焦点弦.典型例题十一例11过抛物线y2 2px (p 0)的焦点F作弦AB，I为准线，过A、B作I的.IIIII垂线，垂足分别为A、B，则AFB为( )，AF B为( ).A.大于等于90 B.小于等于90C.等于90 D不确定分析：本题考查抛物线的定义、直线与圆的位置关系

15、等方面的知识， 关键是求角的大小以及判定直线与圆是否相切.解：点A在抛物线上，由抛物线定义，则 AA AF|12，又 AA / x 轴13 . 23，同理 46 ,而 2364180，二 36 90 , AFB90 .选 C.过AB中点M作MM I，垂中为M ,则MM1(AA BB)213(af bf)!|ab2以AB为直径的圆与直线I相切，切点为M .又F在圆的外部， AFB 90 .特别地，当AB x轴时，M与F重合，AFB 90 .即 AFB 90，选 B.典型例题十二例12已知点M(3,2)，F为抛物线y2 2x的焦点，点P在该抛物线上移动, 当PM| |PF取最小值时，点P的坐标为.分析：本题若建立目标函数来求 PM PF的最小值是困难的，若巧妙地利用抛物线定义，结合图形则问题不难解决.1由定义知 PF PE，故 PM PF PF PM ME MN 3-.取等号时，M、P、E三点共线，二P点纵坐标为2,代入方程，求出其横坐标为2，所以P点坐标为（2,2）.2