小学奥数中的数论问题

1、小学奥数中的数论问题 在奥数竞赛中有一类题目叫做数论题，这一部分的题目 具有抽象，思维难度大，综合运用知识点多的特点，基本上 出现数论题目的时候大部分同学做得都不好。 一、小学数论究包括的主要内容 我们小学所学习到的数论内容主要包含以下几类： 整除问题：（1）整除的性质； （2）数的整除特征（小升初常 考内容） 余数问题：（1）带余除式的运用被除数=除数X商+余数. （余数总比除数小） （ 2）同余的性质和运用 奇偶问题：（ 1 ）奇偶与加减运算； （ 2）奇偶与乘除运算 质数合数：重点是质因数的分解（也称唯一分解定理） 约数倍数：（ 1 ）最大公约最小公倍数两大定理 一、两个自然数分别除以它

2、们的最大公约数， 所得的商互质。 二、两个数的最大公约和最小公倍的乘积等于这两个数的乘 积。 （ 2）约数个数决定法则 （小升初常考内容） 整数及分数的分解与分拆：这一部分在难度较高竞赛中常出 现，属于较难的题型。二、数论部分在考试题型中的地位 在整个数学领域，数论被当之无愧的誉为“数学皇后” 翻开任何一本数学辅导书，数论的题型都占据了显著的位 置。在小学各类数学竞赛和小升初考试中，系统研究发现， 直接运用数论知识解题的题目分值大概占据整张试卷总分 的 30%左右，而在竞赛的决赛试题和小升初一类中学的分班 测试题中，这一分值比例还将更高。 出题老师喜欢将数论题作为区分尖子生和普通学生的依据，

3、这一部分学习的好坏将直接决定你是否可以在选拔考试中 拿到满意的分数。三、孩子在学习数论部分常常会遇到的问 题 数学课本上的数论简单，竞赛和小升初考试的数论不简单。 有些孩子错误地认为数论的题目很简单，因为他们习惯了数 学课本上的简单数论题， 比如：例 1：求 36 有多少个约数？ 这道题就经常在孩子们平时的作业里和单元测试里出现。可 是小升初考题里则是：例 2：求 3600 有多少个约数？ 很多孩子就懵了，因为“平时考试里没有出过这么大的数！” （孩子语）于是乎也硬着头皮用课堂上求约数的方法去求， 白白浪费了大把的时间，即使最后求出结果也并不划算。 这道题其实用约数个数决定法则非常好求，而且省

4、时省力！ 可是我们的出题老师却振振有词道： “这道题不超纲，也符合 教委的精神，因为你就是用普通数学的方法也能做出来，无 非多花一些时间而已！ ”殊不知考试的时间何其宝贵， 这道题 的解法其实已经将孩子的数学水平分出了高下！ 数论的定理背起来简单，但真正理解和掌握却很难。 数论的定理在很多好的奥数辅导书中都有概括，于是有些孩 子拿起来蒙头就开始背，终于花了不少时间硬啃下来，却不 食其中“滋味”，遇上数论的题目只能一条一条定理的硬套， 结果很多题目还是不会做。这里的原因在于缺乏老师正确的 引导，很多定理细心领会比死记更重要！孩子自身的领悟能 力有限，站在老师的肩膀上才能看得更远！ 单个数论的知识

5、点掌握起来较简单，但综合运用却很难。 数论的题有的时候会和其它知识点综合起来考察，比如和分 数，和计数综合等等。这样的题学生往往感觉无从下手，也 有一定难度，因此得分率很低。比如，例3：一个学校参加 某项兴趣活动的学生不到 100 人，其中男同学人数超过总数 的 4/7 ，女同学的人数超过总数的 2/5 。问男女生各多少人？ （某中学入学测试压轴题） 这道题兼顾分数主要从数论中的整除特性考查学生。例 4：有一个四位数分别除以它的各位数字得到四个整数商,这 四个商的和还是这个四位数 ,求满足要求的四位数共有多少 个? 这道题同样从数论入手考察学生多个知识点的综合运 用，题目较难。四、该如何学习数

6、论知识 数论的知识点较多，在考试中占的比重较大，学生在 学习的过程中，熟记定理是必要的，除了熟记以外，更应该 知其然，知其所以然。如果时间允许，可以动手将所有定理 和公式一一推导一遍。比如：为什么能被4（或 25）整除的 数只需要看末尾两位是否能被 4（或 25）整除？原来一个数 可以分成两部分的和，最后 2位和前面若干位的 100 倍，前 一部分能被 100 整除（当然也肯定能被 4 或 25 整除），所以 只需看后两位即可。理解了这个也就不难理解：为什么能被 8（ 或 125）整除的数只需要看末三位是否能被其整除即可 （想 一想？） 这样做的益处是一方面让孩子更深刻的理解了定理和 公式来源

7、，举一反三，而不是死记硬背；另一方面当作习题 来熟练解题套路，实践证明对于孩子的思维发散是很有帮助 的。 要想深刻掌握数论题的解题要领，还需要多做些数论 的综合题。有些解题的常用套路是可以归纳总结的，比如整 数表示法， 枚举法， 反证法， 构造法等等在这里不一一叙述， 需要由老师帮助引领完成。五、哪些参考书数论部分编写的 较好 对于数论常用知识点不了解的学生可参看： 华校课本五年级上册 15讲，下册第4讲；华校 课本六年级上册第 8 讲，下册第 7 讲。（讲解知识点较为 详细）六、小学奥数的几大重点 包括：行程问题，数论问题和几何问题。几道小学数 学数论题 1在 43 的右边补上三个数字，组成

8、一个五位数，使它能被 3， 4，5 整除，求这样的最小五位数 . 2.两个整数A, B的最大公约数是 C,最小公倍数是 D.已知 C不等于1，也不等于 A或B,并且C+ D= 187.求A + B是 多少？ 3某个自然数是 3 和 4 的倍数，包括 1 和它本身在内共有 10 个约数，那么这个自然数是几？ （1）1 与 0 的特性： 1 是任何整数的约数，即对于任何整 数a,总有1|a. 0是任何非零整数的倍数，az0,a为整数， 则 a|0. （2）若一个整数的末位是 0、2、4、6或 8，则这个数能被 2 整除。 （3）若一个整数的数字和能被 3 整除，则这个整数能被 3 整除。 （4）若

9、一个整数的末尾两位数能被 4 整除，则这个数能被 4 整除。 （5）若一个整数的末位是 0 或 5，则这个数能被 5 整除。 （6）若一个整数能被 2 和 3整除，则这个数能被 6 整除。 7）若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去 个位数的 2 倍，如果差是 7 的倍数，则原数能被 7 整除。如 果差太大或心算不易看出是否 7 的倍数， 就需要继续上述截尾、倍大、相减、验差的过程，直到 能清楚判断为止。 例如，判断 133 是否 7 的倍数的过程如下： 13- 3X 2=7，所以133是7的倍数； 又例如判断6139是否7的倍数的过程如下：613 - 9X 2= 595 ,59- 5

10、X 2=49，所以6139是7的倍数，余类推。 （8） 若一个整数的未尾三位数能被 8 整除， 则这个数能被 8 整除。 （9）若一个整数的数字和能被 9 整除，则这个整数能被 9 整除。 （ 1 0 ）若一个整数的末位是 0，则这个数能被 10 整除。 （11 ）若一个整数的奇位数字之和与偶位数字之和的差能被 11 整除，则这个数能被 11 整除。 11 的倍数检验法也可用上 述检查 7 的割尾法处理！ 过程唯一不同的是：倍数不是 2 而是 1！ （12）若一个整数能被 3 和 4 整除，则这个数能被 12 整除。 （13）若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，加上 个位数的 4 倍，如果差是 13 的倍数，则原数能被 13 整除。 如果差太大或心算不易看出是否 13 的倍数，就需要继续上 述截尾、倍大、相加、验差的过程，直到能清楚判断为 止。 （14）若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去 个位数的 5 倍，如果差是 17 的倍数，则原数能被 17 整除 如果差太大或心算不易看出是否 17 的倍数，就需要继续上 述截尾、倍大、相减、验差的过程，直到能清楚判断为 止。 （15）若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，加上 个位数的 2 倍，如果差是 19 的倍数，则原数能被 19 整除 如果差太大或心算不易看出是否 19 的倍数，就需要继续上 述截尾、倍大、相加、