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文档简介
1、小学奥数中的数论问题 在奥数竞赛中有一类题目叫做数论题,这一部分的题目 具有抽象,思维难度大,综合运用知识点多的特点,基本上 出现数论题目的时候大部分同学做得都不好。 一、小学数论究包括的主要内容 我们小学所学习到的数论内容主要包含以下几类: 整除问题:(1)整除的性质; (2)数的整除特征(小升初常 考内容) 余数问题:(1)带余除式的运用被除数=除数X商+余数. (余数总比除数小) ( 2)同余的性质和运用 奇偶问题:( 1 )奇偶与加减运算; ( 2)奇偶与乘除运算 质数合数:重点是质因数的分解(也称唯一分解定理) 约数倍数:( 1 )最大公约最小公倍数两大定理 一、两个自然数分别除以它
2、们的最大公约数, 所得的商互质。 二、两个数的最大公约和最小公倍的乘积等于这两个数的乘 积。 ( 2)约数个数决定法则 (小升初常考内容) 整数及分数的分解与分拆:这一部分在难度较高竞赛中常出 现,属于较难的题型。二、数论部分在考试题型中的地位 在整个数学领域,数论被当之无愧的誉为“数学皇后” 翻开任何一本数学辅导书,数论的题型都占据了显著的位 置。在小学各类数学竞赛和小升初考试中,系统研究发现, 直接运用数论知识解题的题目分值大概占据整张试卷总分 的 30%左右,而在竞赛的决赛试题和小升初一类中学的分班 测试题中,这一分值比例还将更高。 出题老师喜欢将数论题作为区分尖子生和普通学生的依据,
3、这一部分学习的好坏将直接决定你是否可以在选拔考试中 拿到满意的分数。三、孩子在学习数论部分常常会遇到的问 题 数学课本上的数论简单,竞赛和小升初考试的数论不简单。 有些孩子错误地认为数论的题目很简单,因为他们习惯了数 学课本上的简单数论题, 比如:例 1:求 36 有多少个约数? 这道题就经常在孩子们平时的作业里和单元测试里出现。可 是小升初考题里则是:例 2:求 3600 有多少个约数? 很多孩子就懵了,因为“平时考试里没有出过这么大的数!” (孩子语)于是乎也硬着头皮用课堂上求约数的方法去求, 白白浪费了大把的时间,即使最后求出结果也并不划算。 这道题其实用约数个数决定法则非常好求,而且省
4、时省力! 可是我们的出题老师却振振有词道: “这道题不超纲,也符合 教委的精神,因为你就是用普通数学的方法也能做出来,无 非多花一些时间而已! ”殊不知考试的时间何其宝贵, 这道题 的解法其实已经将孩子的数学水平分出了高下! 数论的定理背起来简单,但真正理解和掌握却很难。 数论的定理在很多好的奥数辅导书中都有概括,于是有些孩 子拿起来蒙头就开始背,终于花了不少时间硬啃下来,却不 食其中“滋味”,遇上数论的题目只能一条一条定理的硬套, 结果很多题目还是不会做。这里的原因在于缺乏老师正确的 引导,很多定理细心领会比死记更重要!孩子自身的领悟能 力有限,站在老师的肩膀上才能看得更远! 单个数论的知识
5、点掌握起来较简单,但综合运用却很难。 数论的题有的时候会和其它知识点综合起来考察,比如和分 数,和计数综合等等。这样的题学生往往感觉无从下手,也 有一定难度,因此得分率很低。比如,例3:一个学校参加 某项兴趣活动的学生不到 100 人,其中男同学人数超过总数 的 4/7 ,女同学的人数超过总数的 2/5 。问男女生各多少人? (某中学入学测试压轴题) 这道题兼顾分数主要从数论中的整除特性考查学生。例 4:有一个四位数分别除以它的各位数字得到四个整数商,这 四个商的和还是这个四位数 ,求满足要求的四位数共有多少 个? 这道题同样从数论入手考察学生多个知识点的综合运 用,题目较难。四、该如何学习数
6、论知识 数论的知识点较多,在考试中占的比重较大,学生在 学习的过程中,熟记定理是必要的,除了熟记以外,更应该 知其然,知其所以然。如果时间允许,可以动手将所有定理 和公式一一推导一遍。比如:为什么能被4(或 25)整除的 数只需要看末尾两位是否能被 4(或 25)整除?原来一个数 可以分成两部分的和,最后 2位和前面若干位的 100 倍,前 一部分能被 100 整除(当然也肯定能被 4 或 25 整除),所以 只需看后两位即可。理解了这个也就不难理解:为什么能被 8( 或 125)整除的数只需要看末三位是否能被其整除即可 (想 一想?) 这样做的益处是一方面让孩子更深刻的理解了定理和 公式来源
7、,举一反三,而不是死记硬背;另一方面当作习题 来熟练解题套路,实践证明对于孩子的思维发散是很有帮助 的。 要想深刻掌握数论题的解题要领,还需要多做些数论 的综合题。有些解题的常用套路是可以归纳总结的,比如整 数表示法, 枚举法, 反证法, 构造法等等在这里不一一叙述, 需要由老师帮助引领完成。五、哪些参考书数论部分编写的 较好 对于数论常用知识点不了解的学生可参看: 华校课本五年级上册 15讲,下册第4讲;华校 课本六年级上册第 8 讲,下册第 7 讲。(讲解知识点较为 详细)六、小学奥数的几大重点 包括:行程问题,数论问题和几何问题。几道小学数 学数论题 1在 43 的右边补上三个数字,组成
8、一个五位数,使它能被 3, 4,5 整除,求这样的最小五位数 . 2.两个整数A, B的最大公约数是 C,最小公倍数是 D.已知 C不等于1,也不等于 A或B,并且C+ D= 187.求A + B是 多少? 3某个自然数是 3 和 4 的倍数,包括 1 和它本身在内共有 10 个约数,那么这个自然数是几? (1)1 与 0 的特性: 1 是任何整数的约数,即对于任何整 数a,总有1|a. 0是任何非零整数的倍数,az0,a为整数, 则 a|0. (2)若一个整数的末位是 0、2、4、6或 8,则这个数能被 2 整除。 (3)若一个整数的数字和能被 3 整除,则这个整数能被 3 整除。 (4)若
9、一个整数的末尾两位数能被 4 整除,则这个数能被 4 整除。 (5)若一个整数的末位是 0 或 5,则这个数能被 5 整除。 (6)若一个整数能被 2 和 3整除,则这个数能被 6 整除。 7)若一个整数的个位数字截去,再从余下的数中,减去 个位数的 2 倍,如果差是 7 的倍数,则原数能被 7 整除。如 果差太大或心算不易看出是否 7 的倍数, 就需要继续上述截尾、倍大、相减、验差的过程,直到 能清楚判断为止。 例如,判断 133 是否 7 的倍数的过程如下: 13- 3X 2=7,所以133是7的倍数; 又例如判断6139是否7的倍数的过程如下:613 - 9X 2= 595 ,59- 5
10、X 2=49,所以6139是7的倍数,余类推。 (8) 若一个整数的未尾三位数能被 8 整除, 则这个数能被 8 整除。 (9)若一个整数的数字和能被 9 整除,则这个整数能被 9 整除。 ( 1 0 )若一个整数的末位是 0,则这个数能被 10 整除。 (11 )若一个整数的奇位数字之和与偶位数字之和的差能被 11 整除,则这个数能被 11 整除。 11 的倍数检验法也可用上 述检查 7 的割尾法处理! 过程唯一不同的是:倍数不是 2 而是 1! (12)若一个整数能被 3 和 4 整除,则这个数能被 12 整除。 (13)若一个整数的个位数字截去,再从余下的数中,加上 个位数的 4 倍,如果差是 13 的倍数,则原数能被 13 整除。 如果差太大或心算不易看出是否 13 的倍数,就需要继续上 述截尾、倍大、相加、验差的过程,直到能清楚判断为 止。 (14)若一个整数的个位数字截去,再从余下的数中,减去 个位数的 5 倍,如果差是 17 的倍数,则原数能被 17 整除 如果差太大或心算不易看出是否 17 的倍数,就需要继续上 述截尾、倍大、相减、验差的过程,直到能清楚判断为 止。 (15)若一个整数的个位数字截去,再从余下的数中,加上 个位数的 2 倍,如果差是 19 的倍数,则原数能被 19 整除 如果差太大或心算不易看出是否 19 的倍数,就需要继续上 述截尾、倍大、相加、
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