立体几何中二面角的求法(教师版)

1、3la图 4l231a f高二文科数学培优： 立体几何中二面角的求法编写：林洪兵 2016-1-6一、定义法：例 1:如图 1，设正方形 abcd-a b c d 中，e 为 cc 中点，求截面 a bd 和 ebd1 1 1 ！ 1 1所成二面角的度数。分析与解 ：本题可用定义法直接作出两截面 a bd、ebd 所成二面角的平面1角，设 ac、bd 交于 o，连 eo，a o，由 eb=ed，a b=a d 即知 eobd，a obd，1 1 1 1故eoa 为所求二面角的平面角。1例 2 如图 3，设三棱锥 v-abc 中，va底面 abc，abbc，de 垂直平分 vc，且分别 交 ac

2、、vc 于 d、e，又 va=ab，vb=bc，求二面角 e-bd-c 的度数。分析与解 本题应用垂线法作出二面角的平面角，因vbc 为等腰 三角形，e 为 vc 中点，故 bevc，又因 devc，故 vc平面 bed，所 以 bdvc，又 va平面 abc，故 vabd，从而 bd平面 vac。变式 1：正方体 abcd-a b c d 中，求二面角 a-bd-c 的正切值为1 1 1 1 1分析与略解：“小题”不必“大做”，由图 1 知所求二面角为.二面角 c-bd-c 的“补角”.教材中根本就没有“二面角的补角”1这个概念，但通过几何直观又很容易理解其意义，这就叫做直觉例 3(2006

3、 年陕西试题)如图 4，平面 a平面 b， a b=l，a a，b b ，点 a 在直线 l 上思维，在立体几何中必须发展这种重要的思维能力.易知coc1是二面角 c-bd-c 的平面角，且 tancoc = 2 。1 1将题目略作变化，二面角 a -bd-c 的余弦值为 .1 1在图 1 中，a oc 是二面角 a -bd-c 的平面角，设出正方体的棱长，用余弦定理易求得1 1 1 11cosa oc =1 1二、三垂线法这是最典型也是最常用的方法，当然此法仍扎“根”于二面角平面角的定义.a的射影为 a ，点 b 在 l 的射影为 b ，已知 ab=2，aa =1，bb = 2，求： 1 1

4、 1 1 ef()略；()二面角 a abb 的正弦值.1 1分析与略解：所求二面角的棱为 ab，不像图 3 的那样一看就明白 1b的状态，但本质却是一样的，对本质的观察能力反映的是思维的深刻性. 作 a eab 于 ab 于 e，则可证 a e平面 ab b.过 e 作 efa1 1 1 1 1b 交 ab 于 f，连接 a f，则得 a fab，a fe 就是所求二面角的1 1 1平面角.bab1此法最基本的一个模型为：如图 3，设锐二面角 a-l -b，过面 a内一点 p 作 pa a于 a，作 abl 于 b，连接 pb，由三垂线定理得 pbbl，则pba 为二面角 a-l -b的平面

5、角，故称此法为三垂线法.paab2依次可求得 ab =b b= 2，a b= 3 ，a e= ，a f=1 1 1 1 16= .32a e，则在 rta ef 中，sina fe=1 11最重要的是在“变形(形状改变)”和“变位(位置变化)”中能迅速作 图 3出所求二面角的平面角，再在该角所在的三角形(最好是直角三角形，如图 3 中的 rtpab)中求解. 对于钝二面角也完全可以用这种方法，锐角的补角不就是钝角吗？三、垂面法：例 3 如图 6，设正方体 abcd-a b c d 中，e、f 分别是 ab、c d 的中点。1 1 1 1 1 12 2 22 2oo（1）求证：a 、e、c、f

6、四点共面；1（2）求二面角 a -ec-d 的正切值的大小。1分析与证明 （1）要证 a 、e、c、f 四点共面，可证：a、f/ec，取 dc1中点 h，连 ah、fh，则 ah ec，又 fh a a。故 a f/ah，即 a f/ec，1 1 1从而 a、e、c、f 四点共面。（2）要求二面角 a -ec-d 的大小，先要作出二面角的平面角，本题可1用三垂线法，因 fh底面 abcd 于 h，过 h 作 hmec 于 m，连 fm，则由 三垂线定理知 fmec。例 4. 如图 10，设正三棱柱 abc-abc各棱长均为 ，d 为 cc 中点，求平面 abd1与平面 abc 所成二面角的度数

7、。分析与解 由图，平面 abd 与平面 abc 只出现一个交点，故延长 ad 交 ac 延长线于 f 点，连 bf，则 bf 为所求二面角的棱。因 cd=cd，则 ac=cf=bc=ac，所以abf=90，取 bf 中点 e，连 de，则 cebf， 又 dc平面 abf，即 debf，从而dec 为所求二面角的平面角。所以hmf 为所求二面角 a -ec-d 的平面角。1说明本题也可用射影法求二面角的度数。五、射影法例 5 如图 12，设正方体 abcd-a b c d 中，m 为 aa 上点，a m:ma=3:1,求截面 b d m 与底面1 1 1 1 1 1 1 1abcd 所成二面角

8、的余弦值。例 4 空间的点 p 到二面角 a-l -b的面 a 、 b 及棱 l 的距离分别为 4、3、2 393，求二面角 a-l -b的大小.分析与略解：如图 5，分别作 pa a 于 a，pb b 于 b，则易知l平面 pab，设 l平面 pab=c，连接 pc，则 lpc.2 39 2 3 5 3分别在 rtpac、rtpbc 中，pc= ，pa=4，pb=3，则 ac= ，bc= .3 3 3分析与解 ：本题应用“射影法”求截面 b d m 与底面1 1abcd 所成二面角容易。它可以不作出所求二面角的平面角。因为 p、a、c、b 四点共圆，且 pc 为直径，设 pc=2r，二面角 a-l -b的大小为 q 分别在pab、abc 中，由余弦定理得.因是正方体，所以 b