立体几何复习专题(空间角)

1、 实用文案专题:空间角一、基础梳理1.两条异面直线所成的角p(0, （1）异面直线所成的角的范围：。2（2）异面直线垂直：如果两条异面直线所成的角是直角，则叫两条异面直线垂直。两条异面直线 a,b 垂直，记作a b。（3）求异面直线所成的角的方法：（1）通过平移，在一条直线上（或空间）找一点，过该点作另一（或两条）直线的平行线；（2）找出与一条直线平行且与另一条相交的直线，那么这两条相交直线所成的角即为所求。平移技巧有：平行四边形对边平移、三角形中位线平移、补形平移技巧等。1：三棱柱-oab o a b ，平面obb o 平面 oab，1111 1ob1o ob = 60 ,aob = 90o

2、b = oo = 2,oo ，且111oa = 3 ，求异面直线 a b ao 所成角的余弦。与11boa2直线和平面所成的角（简称“线面角”）（1）定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条斜线和这个平面所成的角。一直线垂直于平面，所成的角是直角；一直线平行于平面或在平面内，所成角为0角。直线和平面所成角范围：0，。2（2）最小角定理：斜线和平面所成角是这条斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中最小的角。p标准文档aqj1ac 实用文案ab（3）公式：已知平面a的斜线 与a内一直线 相交成角，aac b且 与a相交成j 角， 在a上的射影 与 相交成j 角，12cosj co

3、sj cosq则有=。12由（3）中的公式同样可以得到：平面的斜线和它在平面内的射影所成角，是这条斜线和这个平面内的任一条直线所成角中最小的角。c考点二：直线和平面所成的角- abc例 2. 如图，在三棱柱 abc中，四 边形 a abb 是菱形，四边形 bcc b 是矩形，ba c b ab ,c b = 2, = 4,abb = 600 ，cab 求 ac 与平面 bcc b 所成角的正切。ab3：（1）在1200- -、的二面角 p a q 的两个面 p 与 内分别有两点 a b ，已知点 a和点 b 到q棱的距离分别为2cm,4cm，且线段直线 ab 和棱a 所成角的正弦值；直线 ab

4、 和平面q 所成角的正弦值。ab =10cm。求：（2）（08 全国11）已知三棱柱-abc a b c 的侧棱与底面边长都相等， a 在底面 abc 内1111的射影为abc的中心，则ab 与底面 abc 所成角的正弦值等于（）1标准文档 实用文案1323323abcd3（3）如图，在矩形 abcd 中， ab= 3 3, bc = 3，沿对角线 bd dbcd折起，使点 移将c到c 点，且c 点在平面 abd 上的射影o 恰在 ab 上。求直线 ab 与平面 bc d 所成角的大小。3 3( )c cbaoa3bcddbbb（4） ab 为平面 的斜线，则平面 内过 a点的直线l 与ab所

5、成的最小角为_，a最大角为_。平面内过 点的直线l 与ab所成角 的范围为_。qbablabba与平面 内不过 点的直线所成的角的范围为_。直线a3060al 与平面 所成的角为 0 ，直线l 与l 所成角为 0 ，则l 与平面 所成角的取值范围1212是_。设直线l 平面 ，过平面 外一点 与l 都成aa,aa300角的直线有且只有()（）条（）条（）条（）条a过正方体的顶点 作截面，使正方体的 12 条棱所在直线与截面所成的角皆相等。试写出满足条件的一个截面_（注：只须任意写出一个），并证明。标准文档 实用文案3二面角（1）二面角的概念：平面内的一条直线把平面分为两个部分，其中的每一部分叫

6、做半平面；从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面。若棱为l ，两个面分别为a,b的二面角记为ab-l -。al（2）二面角的平面角：过二面角的棱上的一点o 分别在两个半平面内aob作棱的两条垂线oa,ob，则aob叫做二面角oaab-l -b的平面角。说明：二面角的平面角范围是 0, p，因此二面b角有锐二面角、直二面角与钝二面角之分。二面角的平面角为直角时，则称为直二面角，组成直二面角的两个平面互相垂直。（3）二面角的求法：（4）（一）直接法：作二面角的平面角的作法：定义法；棱的垂面法；三垂线定理或逆定理法；（注意一些常见模型的二面

7、角的平面角的作法）（二）间接法：面积射影定理的方法。（4）面积射影定理：dabcbcaaa 。设dabc的面积为 ，它在平s面积射影定理：已知的边在平面 内，顶点a面 内的射影面积为a dq(0 q 90 ) yx = yx sin asin bo，则 点（）dabca.必在c.必在dabcb.必在dabc的某一边上外部（不含边界）内部（不含边界） d.以上都不对aa（10）如果直角三角形的斜边与平面 平行，两条直角边所在直线与平面 所成的角分别为标准文档 实用文案q q和 ，则（）12asinsin1qqbsin q sin q 1+22221212csinsin1dsinq sin q+2

8、222212a b a i b l a a b b ，= ， ， ，（11）如图，a，b la b ab a，b与 所成的角分别到 的距离分别是 和 ，ab a，bm na bqja是 和 ，在内的射影分别是 和 ，若 ，babb则（）lq j m n ， q j m n ， abq j m n ， q j m ncd（12）与正方形各面成相等的角且过正方体三个顶点的截面的个数是_。2.已知直三棱柱 abc - a b c , ab = ac, f bbbf = bc = 2a, fb = a为上一点，。11111d bce ada、d上不同于（1）若 为的中点， 为的任意一点，证明： ef

9、fc；1（2）若 a b = 3aaa b b1，求 fc 与平面所成角的正弦值。dbc1111eafbc11a1abcac = 2,bc = 3 pabcp3.已知直角三角形的两直角边， 为斜边上的一点，现沿将dacpaaabcp 内的射影在cpab = 7折起，使 点到 点，且 在面上。当时，求二面角p - ac - b的大小。a(a)ap2bcb3cc1标准文档ab11e 实用文案4如图正三棱柱abc a b c 中，底面边长为a ，侧棱1112长为a ，若经过对角线 ab 且与对角线bc 平行的平211面交上底面于db 。（1）试确定 点的位置，并证明你d1的结论；（2）求平面ab d

10、 与侧面 ab 所成的角及平面11ab d 与底面所成的角；（3）求 到平面 ab d 的距离。a111335如图, 在直四棱柱 abcda b c d 中，abad2，dc2，a a ，addc，1 1 111acbd, 垂足为 e。（i）求证：bda c；1（ii）求二面角 a bdc 的大小；11（iii）求异面直线 ad 与 bc 所成角的大小。1标准文档 实用文案abef abcdabefabcd6. 如 图 ， 平 面平 面， 四 边 形与都 是 直 角 梯 形 ，11bad = fab = 90o， bcad ， beaf 。22（）证明：c，d，f，e四点共面；ab = bc

11、= bea- ed- b的大小。（）设，求二面角fedabc7（08 江西 20）如图，正三棱锥o - abc 的三条侧棱oa，o b，oc两两垂直，且长度均为2。e，fab，acefef 的一个平面与侧棱oa，o b，oc的中点，过分别是的中点，h 是3或其延长线分别相交于 a，b，c ，已知oa =。1 2111（1）证明： b c 平面oah ；11（2）求二面角o - a b - c的大小。111ocaf1cah1ebb1标准文档 实用文案8如图，已知平行六面体-abcd a b c d 的底面为正方形，o 、o 分别为上、下底面的中11111心，且a 在底面 abcd上的射影是o 。1（1）求证：平面o dc 平面 abcd；1, f（2）若点 e 分别在棱aa bc 上，且 ae,= 2ea ，问点 f 在何处时， ef ad ？11（3）若= 60-a ab10 ，求二面角c aa b 的大小（用反三角函数表示）。1c1o1edcoafb9如图，正四棱柱-abcd a b c d ，侧棱长为 3，底面边长为 2， e 是棱 bc 的中点。1111（1）求