4-3-6燕尾定理.学生版

1、燕尾定理燕尾定理：在三角形ABC中，AD9 BE, CF相交于同一点6那么S : S O=BD:DC.上述定理给出了一个新的转化面积比与线段比的手段，因为AABO和A4CO的形状很象燕子的尾巴，所以这个 定理被称为燕尾定理.该定理在许多几何题目屮都有着广泛的运用，它的特殊性在于，它可以存在于任何一个三 角形之中，为三角形中的三角形面积对应底边之间提供互相联系的途径.通过一道例题证明一下燕尾定理：如右图，D是BC上任意一点,请你说明：S、， S严SjS严BD:DCD【解析】三衛形BED与三色形宓砸分别以刃入DC为底，所以有SJS4=BD:DC;三角形ABE与三角形啟）同鬲，S严ED.E4;三角形

2、ACE与三角形CED同 高，S$:S,二ED:EA9 所以 S:S,二S2：Ss；综上可得 S:S!=S2：S3=BD:DC 【例1】 如右图，三角形ABC中，BD:DC = 4:9, CE:E4 = 4:3,求AF: FB 【巩固】如右图，三角形ABC中，BD:DC = 3:4, AE:CE = 5:6f求AFFBA【巩固】如图，BD:DC = 2:3,AE:CE = 5:3.则【巩固】如右图，三角形ABC屮，BD: DC二2:3、4:CE = 5:4，求处.丹【例2】如图，三角形A3C被分成6个三角形，已知其中4个三角形的面积，问三角形ABC的面积是多少?【例3】如图，三角形A3C的面积是

3、1,E是AC的中点，点D在3C匕且BD: DC = l:2f AD与BE交于点F 则四边形DFEC的面积等于I)【巩固】如图，已知BD二DC, EC二2AE,三角形初C的面积是30,求阴影部分面积.A【巩固】如图，三角形ABC的面积是200cnr , E在化上 点D在 上且AE:EC = 3:5,BD:DC = 2:39AD与BE 交于点F则四边形DFEC的面积等于【巩固】如图，已知加二3DC,面积的几分之几？EC =刃爲处与CD相交于点O,则AABC被分成的4部分面积各占AABC则曲空的面积等于【巩固】两条线段把三角形分为三个三角形和一个四边形，如图所示, 则阴影四边形的面积是多少？三个三角

4、形的面积分别是3, 7, 7,AA【巩固】如图，三角形ABC的面积是1,劭二=2DC U CE = 2AE9 AD与处相交于点F,请写出这4部分 的面积各是多少？AArZD CD C【巩固】如图，E在AC, D在3C上，且AE:EC = 2:3,BD:DC=1:2,肋与处交开点尸四边形DFC的面积 等于22 cnr，则三角形/1肚的面积 【巩固】三角形ABC屮，C是直角，已知AC = 2,G? = 2 CB = 3f AM = BMf那么三角形AMN （阴影部分）的 面积为多少？【巩固】在A4BC屮，BD: DC = 3:2AE:EC = 3:9 求 OB:OE = 2【巩固】在AABC屮，B

5、D:DC = 2: 9AE:EC=:39 求 OB:OE = ?Ii【例4】 如图所示，在厶？屮，BE:EC = 3： XD是AE的中点，那么AF:FC=【例5】 如图9,三角形BAC的面积是1，E是AC的屮点，点D在BC上，且BD:DC=1:2, AD与EE交I)于点F,则四边形DEFC的面积等于【例6】如图1,屮，点E在AB 土，点F在AC 土,与CE相交于点P,如果spii边彫.4日忻=Sp = ShfP= 4则囲吃【例7如图4三角形田地屮有两条小路AE和CF,交叉处为D,张大伯常走这两条小路，他知道DF= DC,且AD二2DE.则两块田地ACT和CFB的面积比是。【例8】如图，长方形A

6、BCD的面积是2平方厘米，EC二2DE,尸是DG的屮点.阴影部分的面积是多少 平方厘 米？DE【例9】 如图所示，在四边形ABCD屮，AB = 3BEf AD = 3AF 9四边形妙的面积是12,那么平行四 边形 $宓的面积为.6【例10】ABCQ是边长为12厘米的正方形，E. F分别是AB. BC边的中点，A”与CE交于G,贝U四边 形AGCD 的面积是平方厘米.【例11】如图，正方形ABCQ的面积是120平方厘米，是仙的屮点，F是sc的中点，四边形的面积是平方厘 米.【例如图，四边形遊。是矩形，E、F分别是加、菟上的点，且皿扣CF应;处与CE相交于G,若矩形ABCD的面积为120,则AAE

7、G与ACGF的面积之和为【例13正六边形人，A2,九，人的面积是2009平方厘米，B“ B分别是正六边形各边的中点；那么图 屮阴影六边形的面积是【例U已知四边形肋CHFG为正方形&与方是两个正方形的边长，求心b = ?【例15】右图的大三角形被分成5个小三角形，其屮4个的面积已经标在图中，那么，阴影三角形的面积是【例16如右图，三角形ABC中.AF:FB = BD:DC = CE:AE = 3.2且三角形ABC的面积是1 则三角形ABE的面积为 ,三角形AGE的面积为,三角形GH/的面积为【巩固】如右图，三角形ABC中，AF:FB = BD:DC = CE:AE = 3:2,且三角形GM的面积

8、是1,求三角形ABC的面 积.【巩固】如图，A4BC屮BD = 2DAf CE二2EB倍.AF = 2FC ,那么AABC的面积是阴影三角形面积的A【巩固】如图在箫碁护护GM的面积ABC”勺而的值.【巩固】如图在沁中，养診詈冷求GM的而枳AABM而枳的值.【巩固】如右图，三角形A3C中.AF:FB = BD:DC = CE:AE =么0且三角形ABC的面积是74 求角形GM的面 积.【例17】三角形ABC的面积为15平方厘米，D为AB中点，%AC中点，F为BC中点,求阴影部分的面 积.【例18】如右图，屮，G是AC的中点，D. E. F是边上的四等分点，AD与BG交于M , AF与BG交于N,

9、已知AABM的面积比四边形FCGN的面积大7.2平方厘米，则/MBC的面积是多 少平方厘米？【巩固】如图，AABC中，点D是边AC的中点，点职F是边BC的三等分点，若AABC的面积为1,那么 四边 形皿尬的面积是 .【例19】如图，等腰直角三角形DEF的斜边在等腰直角三角形ABC的斜边上，连接AE、AD. /I尺于是 整个图形被分成五块小三角形.图屮已标出其中三块的面积，那么AABC的面积是(36)【例20如图，三角形ABC的面积是1, BD = DE=EC 写出这9部分的面积各是多少？CF = FG = GA.三角形ABC被分成9部分，请【巩固】如图，AA3C的面积为1,点6边形丿K/H的面积是多少？E是3C边的三等分点，点E G是AC边的三等分点，那么四【例 21如右图，面积为 1 的 ZVIBC 中，BD:DE:EC = |CF: FG:GA