2018中考总复习圆的切线专题

1、题型专项（八）与切线有关的证明与计算 类型1与全等三角形有关 针对训练 1. （2016梧州）如图，过O O上的两点A , B分别作切线，交于BO , AO的延长线于点 C, D,连接CD ,交O O于点E, F,过圆心O作OM丄CD ,垂足为点 M. 求证：（1） ACO BDO ; （2）CE = DF. 证明：/ AC , BD分别是O O的切线， ./ A = Z B= 90 . 又 AO = BO , / AOC =Z BOD , ACO 也厶 BDO. (2) / ACO BDO , OC = OD. 又 OM 丄 CD , CM = DM. 又 OM丄EF,点O是圆心, EM =

2、 FM. CM EM = DM FM. CE = DF. 2. (2016玉林模拟)如图，AB是O O的直径，/ BAC = 60 , P是OB上一点，过P作AB 的垂线与AC的延长线交于点 Q,过点C的切线CD交PQ于点D,连接OC. (1)求证： CDQ是等腰三角形； 如果 CDQCOB ,求BP : PO的值. 解：证明：由已知得/ ACB = 90 , / ABC = 30 / Q= 30 , / BCO =Z ABC = 30 . / CD是O O的切线，CO是半径， CD 丄 CO. / DCQ = Z BCO = 30 . / DCQ = Z Q. 故厶CDQ是等腰三角形. (2

3、)设O O 的半径为 1 ,则 AB = 2, OC= 1 , BC = 3. 等腰三角形 CDQ与等腰三角形 COB全等， CQ = CB = AQ = AC + CQ= 1 + 3. AP = 2aq =字 BP = AB AP = PO = AP AO = BP : PO= 3 3. (2016柳州)如图，AB ABC外接圆O O的直径，点P是线段CA的延长线上一点 点E在弧上且满足 PE2= PA - PC，连接CE，AE，OE交CA于点D. (1) 求证： PAEs PEC; 求证：PE为O O的切线； 1 若/ B = 30 , AP = 2AC ,求证：DO= DP. 证明：（1

4、） / PE2= PA-PC, .PE = PA PC = PE. 又/ APE = Z EPC, PAEs PEC. / PAEPEC, PEA = Z PCE. 1 / PCE = 2/ AOE , 1 / PEA = -Z AOE. v OA = OE , 2 / OAE = Z OEA. / AOE + Z OEA + Z OAE = 180 , / AOE + 2 / OEA = 180 , 即 2/ PEA + 2/ OEA = 180 . / PEA + Z OEA = 90 . PE为O O的切线. 设O O的半径为r,则AB = 2r. / B = 30 , / PCB =

5、90 , AC = r, BC = . 3r. 过点O作OF丄AC于点F, ./ AP = AC , 在厶ODF与厶PDE中, / ODF = Z PDE, / OFD = Z PED, OF = PE, ODF PDE. DO= DP. 类型2与相似三角形有关 针对训练 4. (2016泰州)如图，在厶ABC中，/ ACB = 90 ，在D为AB上一点，以CD为直径的O O 交BC于点E,连接AE交CD于点P,交O O于点F，连接DF , / CAE = Z ADF. (1) 判断AB与O O的位置关系，并说明理由； 若 PF : PC= 1 : 2, AF = 5,求 CP 的长. 解：(

6、1)AB是O O切线. 理由：/ ACB = 90 , / CAE + Z CEA = 90 . / CAE = Z ADF , / CDF = Z CEA , / ADF + Z CDF = 90 . AB是O O切线. 连接CF. / ADF + Z CDF = 90 , / PCF+Z CDF = 90 , / ADF = Z PCF. / PCF=Z PAC. 又/ CPF=Z APC , PC P PAC. 矿 PF PC. PC2= PF PA.设 PF= a,贝U PC= 2a. 4a2 = a(a+ 5). a= 3. PC = 2a=隊 5. (2015北海)如图，AB ,

7、CD为O O的直径，弦AE / CD,连接BE交CD于点F,过点E 作直线EP与CD的延长线交于点 P,使/ PED = Z C. (1) 求证：PE是O O的切线； 求证：ED平分/ BEP; 若O O的半径为5, CF = 2EF,求PD的长. 解：证明：连接0E. CD是圆0的直径， / CED = 90 . / 0C = 0E , / C=Z OEC. 又/ PED = Z C, / PED = Z OEC. / PED + Z OED = Z OEC + Z OED = 90 ,即/ OEP= 90 OE 丄 EP. 又点E在圆上， PE是O O的切线. (2) 证明：T AB ,

8、CD为O O的直径， / AEB =Z CED = 90 . / AEC = Z DEB(同角的余角相等). 又/ PED = Z C, AE / CD, / PED = Z DEB , 即ED平分/ BEP. 设 EF= x,则 CF= 2x. TO O的半径为5, OF = 2x 5. 在 RtAOEF 中,OE2= EF2+ OF2,即 52 = x2+ (2x 5)2,解得 x = 4, EF = 4. BE = 2EF= 8, CF= 2EF= 8. DF = CD CF= 10 8= 2. / AB为O O的直径， / AEB = 90 . /AB = 10, BE = 8, AE

9、 = 6. / BEP = Z A , / EFP =Z AEB = 90 , EFPs AEB. 在=圧即疋=4 BE AE86 PF = pd = PF DF = 16- 2 =10 33 6. (2014桂林)如图， ABC为O O的内接三角形，P为BC延长线上一点，/ PAC=Z B, AD为O O的直径，过点C作CG丄AD于点E,交AB于点F,交O O于点G. (1)判断直线PA与O O的位置关系，并说明理由； (2) 求证：AG 2= AFAB ; 若O O的直径为10, AC = 2 5, AB = 4,；5,求厶AFG的面积. 解：(1)PA与O O相切. 理由：连接CD. /

10、 AD 为O O 的直径，/ ACD = 90 / D + Z CAD = 90 / B =Z D, / PAC=Z B, / PAC=Z D. / PAC+Z CAD = 90 ,即 DA 丄 PA. 点A在圆上， PA与O O相切. 证明：连接BG. / AD为O O的直径，CG丄AD , Ac = AG.az agf = z abg. /Z GAF = Z BAG , AGFABG. AG : AB = AF : AG. AG2= AF-AB. 连接BD. / AD 是直径，/ ABD = 90 AB = 4 5, / AG 2= AF-AB , AG = AC = 2 ：5, AF /

11、 CG 丄 AD , / AEF = Z ABD = 90 . /Z EAF = Z BAD , AEF ABD. AB=AD，即 4aE5=谥，解得AE=2. EF = :AF2 Ae= 1. / EG = ；AG2 AE2= 4, FG = EG EF= 4 1 = 3. 1 1 afg = 2FG -AE = 2 X 3 X 2= 3. 类型3与锐角三角函数有关 针对训练 7. (2014梧州)如图，已知O O是以BC为直径的厶ABC的外接圆，OP/ AC ,且与BC的 垂线交于点P, OP交AB于点D, BC, PA的延长线交于点 E. (1)求证：PA是O O的切线； 3 若 sin

12、Z E= 5, PA = 6,求 AC 的长. 解：证明：连接OA. / AC / OP, / AOP = Z OAC , / BOP = Z OCA. / OA = OC ,OCA = Z OAC. AOP = Z BOP. 又 OA = OB , OP= OP, AOP BOP.aZ OAP = Z OBP. / BP 丄 CB ,OAP = Z OBP= 90 . OA 丄 PA. PA是O O的切线. / PB丄CB , PB是O O的切线. 又 PA是O O的切线， PA = PB= 6. 又T sinE = PB EP = AO _ EO = 5， AO = 3. 5 在 RtA

13、OPB 中，OP= ;62 + 32= 3 .5. / BC 为O O 直径，CAB = 90 . / CAB = Z OBP = 90 , / OCA =Z BOP. AC cb ACBBOP.今=乎 BO OP AC = CBBO 坐=口 -AC = OP = 3.5 = 5 . 延长AC到点P,使PF= PB,求证：PB是O O的切线； 3 亠 (3) 如果 AB = 10, cos/ABC = 5,求 AD. 解：（1）证明：T OD / BC , ODB = / CBD. / OB = OD , OBD = / ODB. CBD = / OBD. BD 平分/ ABC. (2) 证明

14、：TO O是以AB为直径的厶ABC的外接圆， / ACB = 90 . / CFB + Z CBF = 90 . / PF = PB,PBF = Z CFB. 由(1)知/ OBD =Z CBF , / PBF + Z OBD = 90 / OBP = 90 . PB是O O的切线. (3) 在 RtA ABC 中，/ ACB = 90 , AB = 10, cos/ ABC = -BC = BC = 3 AB 105 BC = 6, AC = .AB2- BC2= 8. / OD / BC , AOEABC , / AED = / OEC = 180 -/ ACB = 90 AE_ OE _

15、 AO AE _ OE _ _5_ AC = BC = AB，8 = 6 = 10. AE = 4, OE= 3. DE = OD OE= 5-3 = 2. AD = AE 2 + DE2= /42+ 22= 2 5. 9. (2016柳州模拟)如图，已知：AC是O O的直径，PA丄AC,连接 OP,弦CB / OP,直 线PB交直线 AC于点D, BD = 2PA. (1) 证明：直线 PB是O O的切线； (2) 探究线段PO与线段BC之间的数量关系，并加以证明; 求sin/ OPA的值. 解：证明：连接OB. / BC / OP, OB = OC, / BCO = / POA , / C

16、BO =/ POB , / BCO = / CBO. / POA = / POB.又 T PO= PO, OB = OA , POB POA. / PBO = / PAO = 90 PB是O O的切线. (2)2PO = 3BC.(写 PO = |bC 亦可) 证明： POB POA , PB = PA. / BD = 2PA, BD = 2PB. / BC / PO, DBC DPO. BC_ PO BD 2 PD二. 2PO= 3BC. DC BD 2 加 “2 DO = PD = 3，即 DC = 3OD. OC = 3OD. DC = 2OC. 设 OA = x, PA = y.则 O

17、D = 3x, OB = x, BD = 2y. 在 RtAOBD 中，由勾股定理得(3x)2= x2+ (2y)2,即 2x2= y2. /x 0, y 0, y= 2x, OP= x2+ y2 = ；3x. 类型4 与特殊四边形有关 3 - 针对训练 10. （2016玉林）如图，AB是O O的直径，点C, D在圆上，且四边形AOCD是平行四边形， 过点D作O O的切线，分别交OA延长线与OC延长线于点E, F，连接BF. (1)求证：BF是O O的切线； 已知圆的半径为1 ,求EF的长. 解：证明：连接OD. / EF为O O的切线， / ODF = 90 . 四边形AOCD为平行四边形

18、， AO = DC , AO / DC. 又 DO = OC = OA , DO = OC = DC. DOC为等边三角形. / DOC = Z ODC = 60 . / DC / AO , / AOD =Z ODC = 60 . / BOF = 180 -Z COD -Z AOD = 60 在厶DOF和厶BCF中， DO = BO , Z DOF = Z BOF, OF = OF, DOF BOF. Z ODF = Z OBF = 90 . BF是O O的切线. tZ DOF = 60 , Z ODF = 90 , Z OFD = 30 . tZ BOF = 60 , Z BOF = Z C

19、FD + Z E, / E=Z OFD = 30 . OF = OE. 又 OD 丄 EF, DE = DF. 在 RtA ODF 中，/ OFD = 30 . OF = 2OD. DF = ,OF2- OD2= 22- 12= 3 EF = 2DF = 2.3. 11. (2016宁波)如图，已知O O的直径AB = 10,弦AC = 6, / BAC的平分线交O O于点D , 过点D作DE丄AC交AC的延长线于点 E. (1)求证：DE是O O的切线； 求DE的长. 解：证明：连接OD. / AD 平分/ BAC , / DAE = Z DAB. / OA = OD , / ODA =Z DAO. / ODA =Z DAE. OD / AE. / DE 丄 AC , OD 丄 DE. DE是O O切线. 过点O作OF丄AC于点F. AF = CF = 3. OF = OA2- AF2=52- 32= 4. / OFE = Z DEF = Z ODE = 90 , 四边形OFED是矩形. DE = OF = 4. 12. （2015桂林）如图，四边形ABCD是O O的内接正方形，AB = 4, PC, PD是O O的两条 切线，C, D为切点. （1）如图1,求O O的半径； 如图1,若点E是BC