不等式的性质与一元二次不等式

1、不等式的性质与一元二次不等式 1、两个实数比较大小的方法 a-60a b a-b=Ooa = b a-ZKOa la b b (aR, (a, 6eR)； (2)作商法v 彳=108 = b 7a 0). 2. 不等式的基本性质 性质 性质内容 特别提醒 对称性 ab=bb9 bc= ac = 可加性 aba+ c o 可乘性 错误! = acbc 注意c的符号 错误! = acbc 同向可加性 错误!na+c/+d = 同向同正可乘性 错误! = acbd = 可乘方性 8b0= arA，(-eN+) 可开方性 a60= 8, b同为正数 3. 不等式的一些常用性质 (1)倒数的性质： $氏

2、 aZ0=:a0Z0, 0c :0a-r0,加0,则， bm b bm.,、 .a ,am. r 、 -: 一(bni0): ； 7(b_ni0) a a-vm a amb b-vm b bm 4、“三个二次”的关系 判别式、=! 4ac 0 A =0 A0）的图像 V r o “2 X A 0 (a0)的根 有两相异 实根X, Xz （禺圣） 有两相等 实根Xi= Xz = b 2a 没有实数根 c0 (a0)的解集 (xxXz x 炷 UlxeR aY+6-y+ c0)的解集 x 0 0 5. 常用结论 (-Y a) (- b) 0 或(x a) (xb) b (xa) (x -b)o x

3、xb x| xa x xb 或 xa (xa) (x -b)o x aix7丄C ay b沁一b bav 解析由题设得有成立, 若a= ln3 ln5 则（ A. 解析 易知 s, b, c 都是止数，=logsi64b b 51n4 7=斎=1。跖1241， 若6ER,若a+|6|0B. a3+Z?30C. a: 6:0 解析由 a+ b0 知，a | Z |, 当DDO时，a+K0成立， 当从0时，a+K0成立，:.a+bb+l B. ab C. D C ca 解析 由aZ?+l,得$b+l氏 即ab,而由ab 4s能得出aZ+b /使成立的充分而不 必要的条件是ab+l. 已知0a且詁二

4、+占？则必艸的大小关系是（） A.沁B. KArC. :D.不能确定 解析 V0a0, 1 + 60, 1 一訪0,=_：_ 十_，厂。 已知实数日，b, c满足E+c=6 4日+3乳c b=A Aa+a ,则b, c的大小关系是() A. c-baBe acbC cbaD acb 解析 * cb=44a+s= (a2)$0, : c2 b. 乂 b+c=6 4a+3a ：2Z=2 + 2W, /.1, 设 a2,月=y/a+l+y/2, B=+y)a2,则 M,方的大小关系是( ) A. QBB.水方C. AMBD. AWB 解析 才=2a+1+ 2寸了工；，R = 2a+寸/4,显然才用

5、已知a, 3： (0, 1),记Sf= Siaz, A 5i + a： 1,贝打/与艸的大小关系是() A. KA*B.血NC. M=ND.不确定 角军析 MN= aaz(创 + 鱼1) = 构造函数y=x, ： cbl, :.a2x+ 5a23a对任意实数x恒成立， 只需弍一3sW4,解得一 填空题： 设a0,且sHl, Clog,/1), 0=log(/l),则尸与0的大小关系是 解析由题意可知al. /. (a3-1) 1) =/($1)0,1/ 1, A logj(a31) logJ(a：_ 1),即 P)Q. 设 abc0 x=bc , y=c+m , z=ab :,贝J x, y,

6、 z 的大小 关系是 解析 令 a=3, b=2, c=l,则 x=y/189 y=2Q. z=y26,故 zyx. 设 f(x)=a+bx9 若 1 Wf(1)W2, 2Wf(l)W4,则 f( 2)的取值范围是 解析 1 =aby 1 =吕+氏 / f( 2) =4$ 2b = a=hf -1 +f 1 , 得 b=f 1 f -1 . 3/( 1) +f(l) 乂 J1 Wf( 1) W2, 2Wf(l) W4, 5W3f( l) +f(l) W10,故 5Wf( 2) W10. 若关于x的不等式认xY殳x的解集为x 1CX2,则实数m的值为 解析 因为/z?(a1)、殳_x的解集为x

7、1X2.1, 2 定是zff(x1)=交_x的解，：加=2. 若关于X的方程f+ax+才一1 = 0有一正根和一负根，则&的取值范围为 解析ill题意可知，0且x、x：=才一10,故一11 对任意的址 1,1,函数f(x) =Y+ U-4)卄4一2的值恒大于零，则x的取值范围是 解析 Y + (&4)x+4-2&0 恒成立，即 g(幻=(x2)2+ (左一4x+4) 0, 在 胆 1,1时恒成立.只需g(1)0且g0,即v 才一5x+60, .”一3x+20, 解之得XI或x3 已知函数f(x) =A； + z?7-Y1,若对于任意乂 亦也+1,都有f(X)0成立，则实数加的取值范 围是 解析

8、 作出二次函数f(X)的草图，对于任意XWS，m+1,都有f(0O, 0, 则有 f m 0, f zz?+1 即严十， I ZZ?+1- + /27 zzz+l KO, 解得半OT0恒成立. x 即当 1时，a- (Y + 2at) =g3恒成立. 而 g(x) = (f+2x) = (x+l)+l 在1, +8)上单调递减， g(x)运= g(l) = 3,故8 3,实数a的取值范围是a a 3. 若0a0的解集是 a 解析 原不等式即(- a) (x) 0,由 0al 得 a-T A aAb f(2) = 2$3 a+1 则实数汶的取值范围是 解析 V/(x+3) =/(-)/ /(2)

9、 =/( 1 + 3) =/( !) = /(!) 1. .2a_3 7+r 3a2 -1 o 卄0o(3$2) (a+1)0在区间1, 5上有解，则实数a的取值范围是 解析 设 g=Zax2,由题知：4=/+80,所以方程土+站一2 = 0恒有一正一负两根, 于是不等式”+站一2 0在区间1,5上有解的充要条件是/(5)0,即胡一丝，+J. ) 若关于X的不等式axb的解集为(一8,耳，则关于X的不等式d+Zu牙0的解集为 解析由已知axb的解集为(一8, g,可知X0,且三，将不等式,+也一薔A0两边同 k 0/a 55 A41444 除以0得”+-*三0,即a+-xz0,解得一l0的解集

10、为 300000 f-1,事 V0丿 不等式+8Ab(a+b)对于任意的G 6GR恒成立，则实数久的取值范围为 解析 因为/+8&空/I对于任意的Q, bWR恒成立，所以扌+8牙一人&($+/) 30对于 任意的Q, 恒成立，即a一人尿+ (8久)尸事0恒成立，由二次不等式的性质可得， A =久力+4(久一8) Zf = Zf (人+4 久一32) W0, (久 + 8)(久一4) W0,解得一8W 久 W4. 解答题： 设函数f(x) =/nYmxl.若对于 用1, 3, f(x)加+5恒成立，求加的取值范用. 解 V Y ,v+l= x XV（Y-.v+l）-60的解集； (2) 若a0,

11、且0Kz?Kn0,即 a(x+l) (x2)0 1 a0时,不等式F(x) 0的解集为-y|K 1或x2； 当a0的解集为aH-10,且 0-/27n0, A f(x) /zKO 即 fx) 0； (2) 若不等式f(x)b的解集为(-1,3),求实数a, b的值. 解 (1)由题意知 f(l) =3 + a(6 $)+6= a+6$+30, B|J a6a30,解得 3 2寸 V3 + 2书，.不等式的解集为|3-2羽&b 的解集为(一1, 3), 方程3x2+a(6 a)x+62=0 的两根为一1, 3, -1 -1 解得 ,即$的值为3土心的值为一3. X3 = 专项能力提升 若ab0,

12、则下列不等式中一定成立的是() ,1 f , 1b+11 f 1a A k打b C. a-b 7 解析 取日=2, 6=1,排除B与D；另外，函数/(-)=x 是(0,+呵上的增函数，但函数咖 =卍在(0,1上递减,在1, +8)上递增，.当叙0时,吃)8必定成立,即W+ +*+*,但g(a) g(b)未必成立，故选A. 设80,不等式一c8x+bc的解集是x 20,X =-2, 不等式的解集为W-2a1, 3 2a 已知b, c满足cba且$c0,则下列选项中不一定成立的是() 0 - 0 ac 解析 V cKa 且 mc0, .- c0,乞工0, x+cH0),若不等式A.y)3，则AeO

13、 0(e是自 然对数的底数)的解集是() A. -y| X In 2 或*ln 3B- -y| In 2Kln 3Cx| Xln 3Dx 解析法一依题意可得f(x) = (x3) (a0),则 f(ej =a eT| -In 2Kln 3 (er3) (a0,可得-e3,解得一In 2Xln 3,故选 D. 已知函数f(x) = (ax-l) (x+b),如果不等式f30的解集是(-1,3),则不等式f(-2x)0的 解集是() z3、，、z3L A. (8, -) U (-, +)B. z1、，3,、/13、 C. (一8, -) U (-, +)D. 解析 /(X)= 0的两个解是= 1,

14、疋=3且*0, 31 由 f2x) 0 得一203 或一2X-h X亍或 x夕 若关于x的不等式a,_2a.8a-0 (a0)的解集为5，疋)，且疋一* = 15,则a等于() 解析 由才一2站一880,得(af+ 2a) (a,_4a) 0,不等式的解集为(一2a, 4a),即Ab=4a, Xi=2a,由胫一ai = 15, 得 4a (2a) =15,解得 a=. 已知函数f(x)=左+&丫+/b+1 (aWR, BWR),对任意实数x都有f(lx) =f(l+x)成立, 当乂 时，f(0O恒成立，则的取值范围是() A. -KZKOB. b2C.从一 1 或 b2D.不能确定 解析 由f(l-x) =f(l+x)知f3图像的对称轴为直线A-1, 则有号=1，故8=2,由f(x)的图像可知f(x)在 1,1上为增函数. 丘1, 1时，f3un=f( 1) 1 2 + Zf Z+l = Zfb2, 3 设函数 A.y)=y-1,对任意.ye +oo), 令 Ifb20 解得&一 1 或 b2. fg) 一亦f(x) Wfd1) +4f(同恒成立，则实数 加的取值范围是 Y23 解析 依据题意得X11)W