2019-2020学年高中新创新一轮复习理数通用版：课时达标检测(四十五)抛物线Word版含解析.doc

1、课时达标检测（四十五） 抛物线 小题对点练一一点点落实 对点练（一）抛物线的定义及其应用 1.已知AB是抛物线y2= 8x的一条焦点弦，|AB| = 16,则AB中点C的横坐标是（） A. 3B. 4 解析：选 C 设 A(xi, yi), B(X2, y2),则 |AB|= xi + X2+ p= 16,又 p= 4,所以 X1 + X2 =12,所以点C的横坐标是 xi+ X2- X= & 2. 设抛物线y2= 12x上一点P到y轴的距离是1,则点P到该抛物线焦点的距离是 （ ） A. 3B. 4 C. 7D. 13 解析：选B依题意，点P到该抛物线的焦点的距离等于点P到其准线x= 3的距

2、离， 即等于3 + 1 = 4. 3. 若抛物线y2= 2x上一点P到准线的距离等于它到顶点的距离，则点P的坐标为（） A- 4,雪）B, ） 吒,誓）D.g, ） 解析：选A 设抛物线的顶点为 0,焦点为F , P（xp, yp），由抛物线的定义知，点 P 到准线的距离即为点 P到焦点的距离，所以|PO|=|PF|,过点P作PM丄OF于点M（图略）, 则M为OF的中点，所以Xp = 4代入y2= 2x,得yP= ，所以P ；, 埒. 2 2 4. 已知抛物线y2= 2px的焦点F与双曲线X y = 1的右焦点重合，抛物线的准线与x 79 轴的交点为K,点A在抛物线上，且|AK|= 2|AF|

3、，则 AFK的面积为（） A. 4 B. 8 C. 16 D. 32 解析：选D 由题可知抛物线焦点坐标为F（4,0）.过点A作直线AA垂直于抛物线的 准线，垂足为A ，根据抛物线定义知，|AA |=|AF|,在厶AA K中，|AK|= 2|AA |, 故/ KAA = 45 ，所以直线AK的倾斜角为45，直线AK的方程为y= x+ 4，代入抛物 线方程 y2= 16x 得 y2= 16(y 4), 即卩 y2 16y+ 64 = 0,解得 y= 8, x= 4.所以 AFK 为直角 1 三角形，故 AFK的面积为X 8X 8= 32. 5.已知P为抛物线y2= 4x上一个动点，Q为圆x2 +

4、 （y 4）2= 1上一个动点，那么点 P 到点Q的距离与点P到抛物线的准线距离之和的最小值是() B. 2 5 2 C. 17 1 解析：选C 由抛物线定义可知，点 D. 17 2 P到准线的距离可转化为其到焦点 F的距离，即 求|PQ|+ |PF|的最小值.设圆的圆心为点C,因为|PQ| |PC| 1,所以|PQ|+ |PF| |PC| 1 + |PF| |FC| 1= 17 1,故选 C. 6.抛物线y2= 2px(p0)上的动点Q到焦点的距离的最小值为1，贝V p=. 解析：抛物线上到焦点距离最小的点是抛物线的顶点，最小距离为号，则P= 1,解得p =2. 答案：2 7.(2018河南

5、三门峡模拟)过抛物线y2= 4x的焦点F且倾斜角为才的直线交抛物线于 A, B 两点，|FB| |FA|=. 解析：抛物线y2= 4x的焦点F(1,0),准线为x= 1. 设 A(X1, y1), B(X2, y2), r y= x 1,ll 由了2可得 x2 6x + 1 = 0,解得 X1= 3 +X2 = 3 2/2, y = 4x, 由抛物线的定义可得 |FA|= X1+ 1 = 4+ 2 ,2,|FB|= x?+ 1 = 4 2 2，则 |FB | |FA|= 4 2. 答案：4.2 对点练(二)抛物线的标准方程及性质 1.抛物线y2= 2px(p0)的准线截圆x2+ y2 2y 1

6、= 0所得弦长为2,贝V p=() A. 1B. 2 C . 4D . 6 解析：选B 抛物线y2= 2px(p0)的准线为x=:,而圆化成标准方程为x2 + (y 1)2 =2,圆心M(0,1),半径r=.2，圆心到准线的距离为；，所以 霁+ 号 2=( 2)2 ，解得p = 2. 2设O是坐标原点，F是抛物线y2= 4x的焦点，A是抛物线上的一点，FA与x 轴正方向的夹角为 60,则厶OAF的面积为() A迟 2 B. 2 C. 3 D. 1 解析： 选 C 过点 A 作 AD丄 x 轴于点 D，令 |FD| = m，则 |FA|= 2m,2 + m= 2m, m= 2, 1 所以|AD|

7、= 2 3，所以1X 2 3= 3. 3直线I过抛物线C: y2= 2px(p0)的焦点F，且与C相交于A, B两点，且AB的中 点M的坐标为(3,2),则抛物线C的方程为() A y2 =2x 或y2 = 4xB.y2 = 4x 或y2 = 8x C.y =6x 或y = 8xD.y = 2x 或y = 8x 解析：选B 由题可得直线I的方程为y= kx p，与抛物线方程 C： y2= 2px(p0)联 .2 2 = 3, 立，得 k2x2 k2px 2px+ 计=O.t AB 的中点为 M(3,2), a 解得k= 1或 2 = k 3 2， k= 2 , p= 2或p= 4,a抛物线 C

8、的方程为y2= 4x或y2= 8x. 4.已知抛物线关于 x轴对称，它的顶点在坐标原点O,并且经过点 M(2, yo),若点M 到该抛物线焦点的距离为3，则|OM|=() A. 2 2B. 2 3 C. 4D. 2 5 解析：选B 设抛物线方程为 /= 2px(p0)，则点M(2, 2 p),焦点为p, 0点M 到该抛物线焦点的距离为3, 2 + p= 3,解得p= 2.A |OM |=4+ 8= 2 3. 5.某抛物线形拱桥跨度是 20米，拱桥高度是 支撑，则其中最长支柱的长为 米. 4米，在建桥时，每4米需用一根支柱 解析：如图，建立直角坐标系，设抛物线方程为 2 x = 2py(p0),

9、 依题意知，点P(10, 4)在抛物线上, 100= 2pX ( 4), 2p= 25,即抛物线方程为 x2= 25y. 每4米需用一根支柱支撑, 支柱横坐标分别为一6、一 2、2、6. 由图知，AB是最长的支柱之一，点 B的坐标为 (2, yB),代入 x2=- 25y,得 yB= 25, |AB|= 4 = 3.84，即最长支柱的长为 3.84米. 25 答案：3.84 2 2 6.抛物线x2= 2py(p0)的焦点为F，其准线与双曲线 十 = 1相交于A, B两点，若 33 ABF为等边三角形，贝U p=. 解析：在等边三角形 ABF中，AB边上的高为p, AB=gp, 2 2 P P

10、所以B fp, P .又因为点B在双曲线上，故 3 = 1，解得p= 6. 答案：6 7已知Fi, F2分别是双曲线3x2 y2= 3a2(a0)的左、右焦点，P是抛物线y2= 8ax与 双曲线的一个交点，若|PFi|+呼2|= 12,则抛物线的准线方程为 2 2 解析：将双曲线方程化为标准方程得拿寿=1,则Fi( 2a,0), F2(2a,0). 抛物线的准线为 x = 2a，联立 $a 3a 2 、y = 8ax, 得x = 3a(x = 舍去)，即点P的横坐 标为3a. |PF1 汁 |PF2|= 12 , 而由弋得|PF2|= 6 a, |PF1| |PF2|= 2a, |PF2|=

11、3a+ 2a= 6 a,得 a= 1, 抛物线的准线方程为 x = 2. 答案：x= 2 大题综合练一一迁移贯通 1.已知抛物线y2= 2px(p 0)的焦点为F , A是抛物线上横坐标为 4,且位于x轴上方 的点，A到抛物线准线的距离等于5,过A作AB垂直于y轴，垂足为B, OB的中点为M. (1) 求抛物线的方程； (2) 若过点M作MN丄FA，垂足为N，求点N的坐标. 解：(1)抛物线y2= 2px的准线为x = p，于是4+ p= 5,. p= 2,.抛物线方程为 y2 =4x. 由(1)知点A的坐标是(4,4), 由题意得 B(0,4), M(0,2). 43 又 F(1,0) ,

12、kFA = 3. T MN 丄 FA,. kMN = 4. FA的方程为y= 3(x 1), MN的方程为y= x+ 2, y= 4x -1，84 联立解方程组得x= 8, y= 4, 355 y= 4x+2, .点n的坐标为5, 4. 2.已知过抛物线y2= 2px(p0)的焦点，斜率为2 2的直线交抛物线于 Ag , y, B(x2, y2)(xiVX2)两点，且 |AB|= 9. (1)求该抛物线的方程； 0为坐标原点，C为抛物线上一点，若 0C = OA +入0B，求入的值. 解：由题意得直线 AB的方程为y= 2 2 x-P , 与y2= 2px联立， 消去 y 有 4x2- 5px

13、+ p2= 0，所以 x1+ x2= 5p. 由抛物线定义得|AB| = Xi + X2+ p= 5p+ p= 9, 所以p= 4,从而该抛物线的方程为y2= 8x. 22 (2) 由 (1)得 4x 5px+ p = 0, 即 x2 5x+ 4= 0，贝U x1= 1, x2= 4, 于是 y1= 2 2, y2= 4j2, 从而 A(1, 2 2), B(4,4 2). 设 Cg y3),贝U 0(C =(X3, y3)= (1, 2 2) + ?(4, 4 2) = (4 H 1,4 2 X 2 2). 又 y2= 8X3,所以2 2(2X 1)2= 8(4 X+ 1), 整理得(2 X 1)2= 4 H 1,解得 X= 0 或 X= 2. 故X的值为0或2. J X 1 pc 3.如图，已知抛物线 C: y2= 2px(p0),焦点为F ,过点G(p,0)作直线 l交抛物线 C于A, M两点，设A(X1, y1), M(X2, y2). (1) 若y1y2= 8,求抛物线C的方程； (2) 若直线AF与x轴不垂直，直线 AF交抛物线C于另一点B，直线 BG交抛物线C于另一点N.求证：直线 AB与直线MN斜率之比为定值. 解：(1)设直线 AM的方程为 x= my+ p,代入y2= 2px得y2 2mpy 2p2= 0, 则号2 = 2p2= 8，得 p=