2015年普通高等学校招生全国统一考试

1、2015年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷I ）（理科）本试卷分第I卷（选择题）和第n卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟.第I卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1 + z1 设复数z满足 =i，则|Z| =（）1 zA 1B. 2C. ,3D 22. sin 20 cos 10cos 160 s n 10 =（）A 血B亚 2 . 21 1c 2d.23. 设命题p： ? n N , n22n,则綈p为（）A ? n N , n22nB ? n N , n2w2C ? n N , n2w2D ? n N

2、 , n2= 2n4. 投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试.已知某同学每次投篮投中的概率为0.6,且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为（）A 0.648B 0.432C 0.36D 0.31225 已知M（X0,y。）是双曲线C:| 1上的一点，F1,F2是C的两个焦点若，0,则y0的取值范围是（）2五 2五、3 ，36.九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺问：积及为米几何？”其意思为：在屋内墙角处堆放米（如图，米 堆为一个圆锥的四分之一 ），米堆底部的弧长为 8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为

3、多少？ ”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3,估算出堆放的米约有A. 14 斛B. 22 斛C . 36 斛D . 66 斛1. 设D为仇所在平面内一点川广=3 巧则 HIiilL18A. AP= 斗Ml k - A I ) :li AjijC.Ai)= -+ -Ac祚R J&函数f(x)= COS(3X+ 0)的部分图象如图所示,则f(x)的单调递减区间为()(13)A. kn 4，kn+ 4 , k ZB. (2k n 4，2k n+ 4 ), k ZG k 4, k+3，k ZD. 2k f, 2k+3 , k Z9执行如图所示的程序框图,如果输入的t= 0.01,则输出的

4、n =(S=lTn=O, m=j55- mlC. 7D. 810. (x2 + x+ y)5的展开式中，x5y2的系数为()A . 10B. 20C. 30D. 60A . 5B. 611. 圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为16+ 20n,则r =()正视图俯视圈A . 1B. 2C. 4D. 812. 设函数f(x)= ex(2x 1) ax+ a,其中a1,若存在唯一的整数xo使得f(x)015.若x, y满足约束条件x yWQ则:的最大值为x+ y 40, a+ 2a“= 4Sn+ 3.求an的通项

5、公式；1设bn=,求数列bn的前n项和.anan+118. （本小题满分12分）如图，四边形ABCD为菱形，/ ABC= 120 E, F是平面ABCD（2）求直线AE与直线CF所成角的余弦值.AE丄 EC.19. （本小题满分12分）某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x（单位：千元）对年销售量y（单位：t）和年利润z（单位：千元）的影响.对近8年的年宣传费Xi 和年销售量yi（i = 1, 2,，8）数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.年钥害量/t&20-m-540S20500.480i1111i1111h-34 36 38 血 42 44 46 48

6、50 52 54 56年宜传费/千元ywi (.仃一- LXWf -j 90)交于M , N两点.(1) 当k= 0时，分别求C在点M和N处的切线方程；(2) y轴上是否存在点 P,使得当k变动时，总有/ OPM = Z OPN ?说明理由.3 121. (本小题满分12分)已知函数f(x)= x3+ ax+-, g(x)=- In x.(1) 当a为何值时，x轴为曲线y= f(x)的切线；(2) 用 min m, n表示 m, n 中的最小值,设函数 h(x) = minf(x), g(x)(x0),讨论 h(x) 零点的个数.请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的

7、第一题计分.作答时 请写清题号.22. (本小题满分10分)选修4 1:几何证明选讲如图，AB是O O的直径，AC是O O的切线，BC交O O于点E.(1)若D为AC的中点，证明：DE是O O的切线；若OA = . 3CE,求/ ACB的大小.23. (本小题满分10分)选修4 4 :坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中，直线C1: x= 2,圆C2： (x 1)2 + (y 2)2= 1,以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求Cl, C2的极坐标方程;一n若直线C3的极坐标方程为9= 4( p R),设C2与C3的交点为M , N,求厶C2MN的面积.24. (本小题满分

8、10分)选修4 5 :不等式选讲已知函数 f(x) = |x + 1 2|x a|, a0.当a= 1时，求不等式f(x)1的解集；若f(x)的图象与x轴围成的三角形面积大于6,求a的取值范围.参考答案第I卷一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)一1 + z&口 1 + i( 1 + i) ( 1 i)2i才、1. 解析：选 A 由 =i，得 z= 7 =i,所以 |z|=|i| =1,1 z1 + i22故选A.2. 解析：选 D sin 20 cos 10 cos 160 sin 10 = sin 20 cos 10 + co

9、s 20 sin 10 = sin(201+ 10= sin 30 =扌，故选 D.3. 解析：选C 因为？ x M , p(x) ”的否定是？ x M，綈p(x)”，所以命题? n N, n22n”的否定是？ n N , n2n”，故选 C.4. 解析：选A 3次投篮投中2次的概率为P(k= 2)= &0.621 0.6),投中3次的概 率为 P(k= 3) = 0.63,所以通过测试的概率为P(k= 2) + P(k = 3) = C3X0.62 人1 0.6) + 0.63= 0.648. 故选A.5. 解析：选A由题意知a= , 2, b = 1, c= , 3,-F1(- .3 ,

10、0) , F2( .3 , 0),= ( 3 X。, y。) ,= (3 X。, y。).0 , (-.：.3-x0)( 3 X0)+ y3得 2k-x 2k+ 3 , k Z , f(x)的单调递减区间为2k-4 , 2k + 4 , k Z ,故选D.1 10 ,即 x0 3+ y00.T点M(x , y)在双曲线上，y0= 1,即 x0= 2+ 2y0, 2 + 氏-3+ y20 ,- 33yo 33.6解析：选B 设米堆的底面半径为A Or尺，则n = 8,所以r =丄，所以米堆的体积为 V2n1J 2=4訂0詈（立方尺）.故堆放的米约有320斛2（.故选 B.7.解析：选A Af)=

11、AC十石门=亢旷十丄浄亡=斤亡十+(瓦厂J - 1 .I . 4 ，B二一斗A仔 + 补故选 A.1.iS.5&解析：选D 由图象知，周期T = 2号一4 = 2,2 n门 -=2, 3= n.co1nn由兀冷+(=二+ 2k n,得 $=-+ 2k n, k Z ,424不妨取 片 n f(x)= cos nc+4 .,n由 2k* tx+ 40.01 ;运行第七次：S= 0.007 812 5, m= 0.003 906 25, n= 7, S0.01.输出n= 7故选C.10. 解析：选 C 法一：(x2+ x+ y)- xln( x+ , a+ x2) xln(x+ . a+ x2)

12、= 0 恒成立， xln a= 0 恒成立， In a= 0,即 a=(x2+ x)+ y5, 含 y2 的项为 T3= C2(x2 + x)3又 a1, a1,经检验a = 3，符合题意. y2.其中(x2 + x)3中含x5的项为C；x2e 4第n卷二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在题中横线上 )13. 解析：/ f(x)为偶函数, f( x) f(x) = 0恒成立，x = C3x5 .所以x5y2的系数为c5c! = 30,故选C.法二：(x2+ x+ y)5为5个x2 + x+ y之积，其中有两个取y,两个取x2, 一个取x即可， 所以x5y2的系数为c5c3

13、c1 = 30,故选C.,球的半径为r,11. 解析：选B 如图，该几何体是一个半球与一个半圆柱的组合体圆柱的底面半径为r,高为2r,则表面积S=1 m n2+n2 + 4r2+ n 222r = (5 卄 4)r .又 S= 16+ 20 n / (5 卄 4)r = 16+ 20 n, r2 = 4, r = 2,故选 B.12. 解析：选 D / f(0) = 1 + a0, X0= 0.又/ x0= 0是唯一的使f(x)0的整数，f ( 1)为,f (1)初，e 2 x( 1) 1 + a+ a为，3即解得a亏-.e (2 X1 1) a+ a 0,答案：114. 解析：由题意知a=

14、4, b= 2,上、下顶点的坐标分别为 (0, 2), (0, 2),右顶点 的坐标为(4, 0).由圆心在 x轴的正半轴上知圆过点 (0, 2), (0, 2), (4, 0)三点.设圆的 标准方程为(x m)2 + y2= r2(0m0),3m2+ 4= r2 ,m=2，则解得(4 m) 2=r2,r2= 25L r 4 .所以圆的标准方程为x 2 2+ y2 = 25.答案：x3+ y2 = 2515. 解析：画出可行域如图阴影所示，/ 丫表示过点(x , y)与原点(0 , 0)的直线的斜率，x点(x , y)在点A处时y最大.x由 x=1 ,x+ y 4 = 0 ,rx= 1,$=

15、3.-A(1, 3). y的最大值为3.x答案：316. 解析：如图所示,延长BA与CD相交于点E,过点C作CF / AD交AB于点F ,E贝U BFABBE.在等腰三角形 CFB中，/ FCB = 30 CF = BC = 2 , BF =22+ 22 2X2X2COS 30 = .6 ,2.在等腰三角形 ECB中，/ CEB = 30 / ECB = 75BE = CE, BC = 2,BEsin 752sin 30， BE = 2.6 +226 ,2AB0 ,得 an +1 an = 2.又 a1+ 2a1= 4a1+ 3,解得 a1 = 1(舍去)或 a1 = 3.所以an是首项为3,

16、公差为2的等差数列，通项公式为an= 2n + 1.(2)由 an= 2n+ 1 可知bn =1 =anan+11(2n + 1)= 1 (2n+ 3) = 2亠)2n+ 3 .设数列bn的前n项和为Tn,则Tn= b1+ b2+ + bn=Tii1 fi IL + 亠亠”2-G 5丿1+氐7丿+ +n+ 1 2n+ 3丿= n=3 (2n+ 3).18. 解：(1)证明：如图，连接BD,设BD AAC于点G,连接EG , FG , EF.在菱形ABCD中，不妨设GB = 1.由/ABC = 120 可得 AG = GC = J3.由 BE丄平面 ABCD , AB= BC,可知 AE= EC

17、.又AE丄EC,所以EG =3,且EG丄AC.在Rt EBG中，可得BE = 2,故DF =乎在Rt FDG中，可得FG =尊 在直角梯形 BDFE中，由BD = 2, BE= 2, DF = g,可得EF =乎.从而 EG2 + FG2= EF2,所以 EG丄FG .又ACAFG = G ,所以EG丄平面AFC.因为EG?平面AEC,所以平面 AEC丄平面AFC.如图，以G为坐标原点，分别以：L的方向为x轴，y轴正方向，为单位长度，建立空间直角坐标系G-xyz.由可得 A(0, 3, 0), E(1 , 0, .2), F 1, 0,子,C(0 ,3 , 0),AE - CFAE |CF|所

18、以直线AE与直线CF所成角的余弦值为19. 解：(1)由散点图可以判断，y= c+ d.x适宜作为年销售量 y关于年宣传费x的回归方程类型.(2)令w=.x,先建立y关于w的线性回归方程.由于d工(吗一XV)( V/ y)A L108. 8cA = y dAw= 563 68 6.8= 100.6 ,所以y关于w的线性回归方程y= 100.6 + 68w ,因此y关于x的回归方程为yA= 100.6+ 68.x.由知，当x= 49时,年销售量 y的预报值yA = 100.6+ 68.49= 576.6 ,年利润 z 的预报值 Z = 576.6 0.2 49 = 66.32.根据(2)的结果知

19、，年利润z的预报值zA= 0.2(100.6 + 68 x) x= x+ 13.6 ,x+ 20.12.所以当,x= 罗=6.8,即x= 46.24时，z取得最大值.故年宣传费为46.24千元时，年利润的预报值最大.20. 解：(1)由题设可得 M(2,a, a), N( 2 a, a),或 M( 2.a, a), N(2 . a, a).2又y= 2,故y= x在 x= 2羽处的导数值为 W，C在点(2ja, a)处的切线方程为y a=/a(x 2 .a),即 ax y a = 0.2y=亍在x= 2 a处的导数值为一，a, C在点(一2 a, a)处的切线方程为 y a= , a(x+ 2

20、 . a),即.ax+ y+ a = 0.故所求切线方程为ax y a = 0和 ax+ y+ a= 0.(2)存在符合题意的点.证明如下：设P(0, b)为符合题意的点，M(X1, y1), N(x2, 沁 直线PM , PN的斜率分别为k1 , k2.将y= kx+ a代入 C的方程，得x2 4kx 4a = 0.故 x1 + X2= 4k, X1x2= 4a.从而 k1 + k2 = - + y2 - X1x22kx1X2+( a b)(Xj + x?)k (a + b)X1X2a 当b= a时，有&+ k2= 0,则直线PM的倾斜角与直线 PN的倾斜角互补，故/ OPM = Z OPN

21、 ,所以点P(0, a)符合题意.21. 解：(1)设曲线 y= f(x)与 x 轴相切于点(X0, 0),则 f(X0)= 0, fx0)= 0,即xo + axo + - 0,x3 + axo + 4= 0,X0 2，(4 解得3xo + a 0,I a=- 3.JkA3因此，当a - 3时，x轴为曲线y f(x)的切线.4(2)当 x (1, +s)寸，g(x)- In x0 ,从而 h(x) min f(x), g(x) g(x)0 ,故h(x)在(1, + 上无零点.55当 x 1 时，若 a 4，则 f(1) a + 4边,hminf(1), g(1) g(1) 0,故 x 1 是 h(x)的零点；5 若 a 4,则 f(1)0, h(1) minf(1), g(1) f(1)0,所以只需考虑f(x)在(0, 1)上的零点个数.若aw 3或a%,则fx) 3x2 + a在(0, 1)上无零点，故f(x)在(0, 1)上单调.15而 f(0) 4，f(1) a+ 4,所以当 aw 3 时，f(x)在(0, 1)上有一个零点；当a