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1、常微分方程解的存在唯一性定理 常微分方程解的存在唯一性定理 一阶微分方程J 其中就是在矩形域7v上的连续函数。 定义1如果存在常数-,使得不等式 匚一对于所有 都成立,则函数 （九尹）称为在应上关于了满足Lipschitz条件。 定理1如果，在丘上连续且关于满足Lipschitz 条件,则方程（1） 存在唯一的解，:,定义于区间-11 ；上,连续且满足初始条件小1_/, Picard逐步逼近法来证明这个定理的主要思想 首先证明求微分方程的初值冋题的解等价于求积分方程 的连续解。然后去证明积分方程的解的存在唯一性。 任取一个连续函数代入上面积分方程右端的匸,就得到函数 ,显然也就是连续函数,如果

2、 那末-|l；- 就就是积分方程的解。否则，我们又把 旳匕） 代入积分方程右端的 得到 旳0）三兀十/（忌附（对）必 常微分方程解的存在唯一性定理 ,如果f -1,那末j;-就就是积分方程的 解。否则我们继续这个步骤。一般地作函数 （3、1、1、4） 这样就得到连续函数序列：J-；,八，如果：，那末 ：就就是积分方程的解。如果始终不发生这种情况，我们可以证明上面的函数 序列有一个极限函数 ,即 1-存在,因而对（3、1、1、4）取极 lim w （z） = +lim f /（乙洛（工）必 限时,就得到 Jf =儿十f Inn于O率.1（力）必 nJ屁卫 =/0十 即 1 ,这就就是说就是积分方

3、程的解。这种一步一步 地求出方程的解的方法就称为 逐步逼近法。函数;一；称为初值问题的第耳次近 似解。 命题1设?八*疋）就是方程（1）的定义于区间;上,满足初始条 件的解,则1:1-就是积分方程7; 的定义于;上的连续解。反之亦然。 常微分方程解的存在唯一性定理 现在取;,构造皮卡逐步逼近函数序列如下： &（疋）=Jo .r 爲O）二兀+ I 了省毎T）始兀Q冬t心十必 |（w = K2,.O 命题2 对于所有的咛,函数宀在 m、-出上有定义、连续且满足 不等式. -1-1 1 O 命题3 函数序列在 J 八“上就是一致收敛的。 设：- 贝,J 也在 J L 上连续，且- o 命题4就是积分方程的定义于； -上的连续解。 命题5 设就是积分方程的

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