数学论文有限集的类方程与有限群的互补定理

1、有限集的类方程与有限群的互补定理（孝感学院数学系031114213 湖北孝感 432100）摘 要:本文首先建立了一个关于有限集的类方程，利用这个方程我们给出了frobenius定理的一个新的证明，并得到一系列重要命题.最后我们把线性空间中关于对合变换的分解定理推广到一般的奇数阶群中，得到一个关于有限群的互补定理.关键词:类方程；有限群；不动点集；互补定理；阶finite set class equation and finite group complementary theoremliu si-dong(031114313， department of mathematics， xiaog

2、an university)abstract: in this paper ，we first established one about the finite set class equation， used this equation we to give a new proof about frobeniuss theorem，and obtained a series of important propositions， finally we obtained one about the finite group complementary theorem.key words: cla

3、ss equation; finite group; fixed point set; complementary theorem; steps0 引言及主要结果我们知道，对于有限群，其阶满足 (1)其中是的中心，是的所有阶大于1的共轭元素类.群论中把(1)式称为有限群的类方程，运用这个方程可以得到很多关于有限群的重要定理，如sylow定理、frobenius定理等，因此上述方程在有限群论有着重要的地位.本文在第一部分中，我们采用完全不同于文献1中的方法，把1中的一个关键结果（原文中引理1）推广到更一般的情形，建立了一个关于有限集的类方程：定理1 若是有限集合，是到的一个双射.定义的关系为:当

4、且仅当存在某一整数，使得，则（） 是的一个等价关系；（） ，这里，而表示关于的等价划分的代表元集，.运用这个类方程我们获得了近期文献中一系列重要命题及其推广.在本文第二部分中，根据以上结果，我们把线性空间中关于对合变换的分解定理推广到一般的奇数阶群中.线性空间是一种具有数乘运算的加法（交换）群，而我们的推广适用于任何非交换奇数阶群，所用方法及其结果都是新颖的.其主要结果是如下的互补定理:定理2 设为奇数阶群，且满足，令，则，并且中每个元素的分解唯一.特别地，当满足交换律时，与是互补子群.最后，在本文第三部分中，给出了有限集的类方程的一些应用，特别是得到了著名的frobenius定理的一个新的证

5、明，我们的方法比文献1,2中方法更为简单，此外把数论中关于素数的一个判定定理进行了推广.在本文中， 表示群中元素的阶，表示群的自同构群，表示是的子群，表示集合的变换群，用表示中元素的个数，称之为的阶，表示集合的恒等映射.对映射而言，记号定义为，特别的为恒等变换.1 有限集的类方程定义11 设是集合到的映射，称为的不动点集，其中满足的元素称为的不动点.下面我们建立有限集的类方程：定理1 若是有限集合，是到的一个双射.定义的关系为:当且仅当存在某一整数，使得，则（） 是的一个等价关系；（） ， (2)这里，表示等价划分的代表元集，.证明 （）首先验证是的一个等价关系：由，得，即满足反身性；若，即存

6、在某一整数，使，由于是到的一个双射，故存在，所以，即得，故满足对称性；若，即存在整数，使，则得，即满足传递性.综上所证，知是一个等价关系.（）由于是的一个等价关系，考虑集合关于的等价划分，易知集合是包含的一个等价类，并且为的不动点，即记关于的等价划分的代表元集为，则.定理1得证.推论11 设是个有限集合，是个素数，是到的映射，满足，即是上的恒等映射，则.其中是的不动点集，即.证明 不妨设，由于，故是可逆映射，从而是双射，由定理1得，由于，则作为集合的变换群中元素，其阶是的一个因数，又，故，于是.对，由定理1的证明即知，则，于是，即得.推论2 设是个有限集合，是个素数，是到的映射，满足，为正整数

7、，则.证明 对，易知存在，使，其余完全仿引理1的证明可得结论成立.下面，我们按照定理1的思路证明gallagher定理：推论33（gallagher） 设为素数，则 .证明 令是一个阶循环群，以表示的全部元子集组成的集族，则.考虑在上的作用：，（这里，是的对称群）。则分拆成一些轨道之并，其中是轨道中任一元素的固定子群.由，从而可分拆成：，因此，所以。如果，则.如果，则。于是.现在计算（即长为的轨道的个数）.注意到：，于是阶子群与在同一轨道之中，并且若，则，于是，所以轨道中个元素即是对于阶子群的个陪集.注意这个陪集之中除外其余陪集不包含1，从而不会是子群.这就表明，的每个阶子群均恰好在一个长为的

8、轨道之中，但是循环群，它的阶子群恰好只有一个，从而 .证毕.推论4 设为素数，则.证明 只需主要到，又由推论3即得.进一步的，我们利用以上结论获得文献4,5中的一些主要结果，证明方法比原文方法更为简单：推论44 ，是素数，是自然数.推论54 ，是素数，是自然数，是非负整数，.推论66 设，。于是，但.证明 因为，由推论3得，所以有，但由，得到.推论75 设为素数，若，则存在使.证明 由，即，因此可设，.若结论不成立，则，从而，由定理3得，与假设矛盾. 有限群的互补定理首先，我们利用前面的结论，给出下列引理引理1 定义群到自身的映射为:，则当且仅当为交换群.证明 （必要性）若，则，有，而，所以，

9、对此式两边同时取逆则得，所以为交换群.（充分性）若为交换群，则，所以.引理2 是有限群，且满足，若无非单位元的不动点，则是奇数阶交换群.证明 先证是奇数阶群.若没有非单位元的不动点，则，而，因此根据定理1或推论1有，即是奇数阶群.再证是交换群.因为为有限群，则可设，其中，从而有，而，故.又由于，因此，所以.现令，则，而，所以.因此，使得，则，于是根据引理1可知为交换群.引理3 设是奇数阶群，对给定，则方程在中有唯一解.证明 先证存在性.为奇数，则，根据lagrange定理知必为奇数，则存在，使得.再证唯一性.设有两解，并设.同样由lagrange定理知道均为奇数.因为，从而，由于为奇数，故，因

10、此，同理，所以，则.在文献7中，给出了群的互补子群的定义：定义27 设、是群的两个子群，若，则称、是群的互补子群.而在线性代数中，关于线性空间的对合变换，有如下结论：设是线性空间的一个线性变换，满足（为恒等变换），则有，其中，.有了以上的准备工作，下面我们把线性空间的对合变换的分解定理推广到一般的奇数阶群中：定理2 设为奇数阶群，且满足，令，则，并且中每个元素的分解唯一.特别地，当满足交换律时，与是互补子群.证明 由知，使得.又因为为奇数阶群，故根据引理3知存在唯一，使得，从而，且有，所以，于是.再根据引理3解的唯一性知，故.又因为，所以.再设，.，则，故有，则，于是，再根据引理3解的唯一性知

11、，而，所以.通过上面的证明可知，并且中每个元素的分解式唯一.下证.事实上设，则，故，由引理1解的唯一性知，所以.若满足交换律，要证与是互补子群，只须验证和.事实上，有，即，所以.而，有，即，所以.至此，定理2全部证完.推论8 设为奇数阶群，且满足，令，则.证明 根据定理2，得，又，故得.推论9 是有限群，且满足，若无非单位元的不动点，则，有.证明 根据引理2知是奇数阶有限群，因此根据定理2有，其中，.而由无非单位元的不动点知，所以，即，有.3 应用应用1：frobenius定理的证明现在我们来用定理1及推论来证明有限群论中的一个著名定理frobenius定理. 关于frobenius定理，在文

12、献1,2,3中分别给出了的不同证法，利用我们的结果，可以给出该定理的一种巧妙的证明，该证法比1,2都更为简单.frobenius定理1,2,3 设为素数，有限群的阶，则必有阶为的子群，且中阶之子群的个数满足.证明 以表示的全部元子集组成的集族，类似于推论3的证明，考虑在上的作用，并注意到，得到 又由引理1的结论，得 ，由此得到.应用2：素数判定定理的推广在初等整数论中，关于素数有判定定理：为素数的充分必要条件是 .利用我们的结论，可以把这一重要命题推广为定理5 设，则为素数的充分必要条件是存在正整数，使得（）.证明 （必要性）若为素数，则取即得.（充分性）利用反证法。若不为素数，分两种情况讨论

13、：（1）若至少含有两个不同的素因子，由，得到，由推论5，存在正整数，使，矛盾.（2）若仅含一种素因子，设（），则由及推论7，存在正整数，使（），特别取，得，与推论6矛盾.参考文献1 沈华.有限群的sylow定理的一种处理方式j.湖北大学学报(自然科学版)，2004，26(2):93-97.2 张远达.有限群构造(上册)m.北京:科学出版社，1982.3 gallagher p x. on the p-subgroups of a finite group j.arch.math, 1967,18:469.4 侯国荣,籍靠山.关于组合数的同余j.天津师范大学学报（自然科学版）， 1998,18(

14、3):1-5.5 胡付高，王七容. 环的幂自同态与frobenius同态j.宁夏大学学报，2002,23(4):301-311.6 聂灵沼，丁石孙.代数学引论m.北京：高等教育出版社,1988.95.7 李世荣，赵先鹤，蒙忠传.关于有限群的补子群j.广西科学，2004，11(3):161-164.8 邱维敦.有限群中阶方程解的数目j.山东师范大学学报(自然科学版)，2002，范院17(2):17-19.9 mckay jh.another proof of cauchys group theoremj.amer math monthly，1959，66(2):119.10 刘绍学.近世代数基础m.北京:高等教育出版