江苏省2013届高三最新数学分类汇编9：圆锥曲线

1、k o 圆锥曲线圆锥曲线 一、填空题 1. （南京师大附中 2013 届高三模拟考试 5 月卷）在平面直角坐标系xoy中,已知双曲线c:- x2 a2 =1(ab0)的一条渐近线方程为 y2 b2 y=x,则该双曲线的离心率的值是_. 3 【答案】2 2. （江苏省徐州市 2013 届高三考前模拟数学试题）已知双曲线与椭圆 2 2 1 2 x y有相同的焦点,且它们 的 离心率互为倒数,则该双曲线的方程为_. 【答案】 22 221xy 3. （江苏省常州市金坛四中 2013 年高考数学冲刺模拟试卷 doc）已知椭圆 x2sin -y2cos =1 (00). 若直线x-y-2=0 与该抛物线

2、相切,则实数p的值是_. 【答案】4 9. （武进区湟里高中 2013 高三数学模拟试卷）已知椭圆的上、下顶点分别为 22 22 1(0) xy ab ab ,右顶点为,右焦点为,若,则椭圆的离心率为_.,m naf0an mf 【答案】解析:由题设得即,也就是,. 1 bb ca 2 bac 22 0aacc 2 10ee 51 2 e 10. （江苏省常州市第五中学 2013 年高考数学文科）冲刺模拟试卷）已知双曲线过点(2,1)且一条渐近线方 程为x-y=0,则该双曲线的标准方程为_. 【答案】 - =1 x2 3 y2 3 11. （江苏省常州市金坛市第一中学 2013 年高考冲刺模拟

3、试卷）椭圆(为定值,且)1 5 2 2 2 y a x a5a 的左焦点为 f,直线与椭圆相交于点 a.b,的周长的最大值是 12,则该椭圆的离心率 e 是mx fab _. 【答案】 3 2 12. （江苏省常州市第二中学 2013 年高考数学（文科）冲刺模拟试卷 doc）如图,已知椭圆的方程为: c ,是它的下顶点,是其右焦 点,的延长线与椭圆及其右准线分别交于 22 22 1 xy ab (0)abbfbf 、两点, 若点恰好是的中点,则此椭圆的离心率是_.pqpbq k o x y of b q p 第 12 题 【答案】 3 3 13. （江苏省常州高级中学 2013 年高考数学模拟

4、试卷）在平面直角坐标系 xoy 中,直角三角形 abc 的三个 顶点都在椭圆上, 其中为直角顶点.若该三角形的面积的最大值为,则实 2 2 2 1 (1) x ya a 0 1a （，） 27 8 数的值为_.a 【答案】3 设 ab 的方程为:,则 ac 的方程为:,由得 1(0)ykxk 1 1yx k 2 2 2 1 1 ykx x y a ， ,解得用“”替换“”得 2222 (1)20a kxa kx 2 22 2 1 b a k x a k ， 1 k k 2 22 2 c a k x ak ， 故 22 2 22222 221 11 1 a ka k abkac a kakk ，

5、 所以, 4 42 2222 224 2 1 2 2(1) 1 21 (1)() 1 abc ak a kk k sab ac a kak aka k 令,则(当且仅当时等号成立), 1 2tk k 43 222 2 2 (1)1 abc aa s aa a t t 2 1 2 a t a 由得解得或(舍去),所以. 3 2 27 8 1 a a 2 (3)(839)0aaa3a ， 3297 16 a 3a 14. （江苏省常州市横山桥中学 2013 年高考数学冲刺模拟试卷 doc）已知双曲线-=1 (a0,b0) 的焦 x2 a2 y2 b2 点到渐近线的距离是a,则双曲线的离心率的值是_

6、. 【答案】 2 15. （江苏省常州市金坛四中 2013 年高考数学冲刺模拟试卷 doc）已知 a(1,4),f 是双曲线-=1 的左 x2 4 y2 12 焦点,p 是双曲线右支上的动点,则|pf|+|pa|的最小值为_ 【答案】9 16. （江苏省常州市武进高级中学 2013 年高考数学文科）冲刺模拟试卷 doc）已知双曲线的顶点与焦点分别 是椭圆的 22 22 1 yx ab (0ab)焦点与顶点,若双曲线的两条渐近线与椭圆的交点构成的四边形恰 为正方形,则椭圆的离心率为_ 【答案】 2 2 17. （江苏省常州市金坛四中 2013 年高考数学冲刺模拟试卷 doc）已知点p是双曲线 k

7、 o 22 22 1(0,0) xy ab ab 右支上一点, 1 f、 2 f分别是双曲线的左、右焦点. i为 12 pff内心,若 121 2 1 2 ipfipfif f sss ,则双曲线的离心率为_. 【答案】2 18. （江苏省启东中学 2013 届高三综合训练（2） ）已知抛物线,过定点(p,0)作两条互相)0(2 2 ppxy 垂直的直线与抛物线交于 p、q 两点,l2与抛物线交于 m、n 两点,l1斜率为 k.某同学已正确求 121 ,lll 得弦 pq 的中点坐标为(),请你写出弦 mn 的中点坐标:_. k p p k p , 2 【答案】 ),( 2 pkppk 19.

8、 （江苏省常州市金坛四中 2013 年高考数学冲刺模拟试卷 doc）椭圆+=1 上一点 m 到焦点 f1的距离 x2 25 y2 9 为 2,n 是 mf1的中点,则|on|等于_ 【答案】4 20. （江苏省启东中学 2013 届高三综合训练（3） ）如图,用一块形状为半椭圆的铁皮截取 1 4 2 2 y x)0(y 一个以短轴为底的等腰梯形,记所得等腰梯形 abcd 的面积为,则的最小值是bcabcds 1 s _. a bc d x y o 【答案】 2 3 9 21. （江苏省西亭高级中学 2013 届高三数学终考卷）已知抛物线 y2=2px(p0)，过定点（p,0）作两条互相 垂直的

9、直线 l1,l2,l1与抛物线交于 p、q 两点，l2与抛物线交于 m、n 两点，l1斜率为 k.某同学已正确 求得弦 pq 的中点坐标为（+p, ） ，请你写出弦 mn 的中点坐标： . p k2 p k 【答案】),( 2 pkppk k o 22. （江苏省常州市戴埠高级中学 2013 年高考数学（文科）冲刺模拟试卷）已知点 p 在抛物线上, 2 4yx 那么点 p 到点 q(2,-1)的距离与点 p 到抛物线焦点距离之和取得最小值时,点 p 的坐标为_. 【答案】答案 1 ( , 1) 4 23. （江苏省常州市戴埠高级中学 2013 年高考数学（文科）冲刺模拟试卷）设椭圆的 22 2

10、2 +=1 xy ab ( 0)a b 左、右顶点分别为,点在椭圆上且异于两点,为坐标原点.若直线与的斜率之,a bp,a boapbp 积为,求椭圆的离心率_. 1 2 【答案】 2 2 24. （江苏省常州市第二中学 2013 年高考数学（文科）冲刺模拟试卷 doc）如图,矩形长为 6,宽为 4,在矩形 内随机地撒 300 颗黄豆,数得落在椭圆外的黄豆数为 60 颗,以此实验数据为依据可以估计出椭圆的面 积约为_. 【答案】19.2 25. （江苏省常州市第二中学 2013 年高考数学（文科）冲刺模拟试卷 doc）已知双曲线中心在原点,渐近线 方程为,一个焦点为,抛物线的焦点为双曲线的一个

11、顶点,则 2 x y)0 , 5(f)0(2 2 ppxy _.p 【答案】 54 26. （江苏省扬州市 2013 届高三下学期 5 月考前适应性考试数学（理）试题）若抛物线 2 8yx的焦点与双 曲线 2 2 1 x y m 的右焦点重合,则双曲线的离心率为_. 【答案】 2 3 3 27. （江苏省南通市海门中学 2013 届高三下学期 5 月月考数学试卷）已知双曲线(1 2 2 2 2 b y a x 的焦距为,离心率为,若点(-1,0)和(1,0)到直线的距离之和为,)0, 1bac2e1 b y a x sc 5 4 则的取值范围是_.e 【答案】 5, 2 5 k o 28. （

12、江苏省扬州中学 2013 届高三最后一次模拟考试数学试题）已知a,b,p是双曲线 22 22 1 xy ab 上不同的 三点,且a,b连线经过坐标原点,若直线pa,pb的斜率乘积 1 2 papb kk,则该双曲线的离心率为 _.来源:学_科_网 【答案】 6 2 29. （江苏省常州市金坛四中 2013 年高考数学冲刺模拟试卷 doc）已知 f1、f2是椭圆的两个焦点,过 f1且与 椭圆长轴垂直的直线交椭圆于 a、b 两点,若abf2是等腰直角三角形,则这个椭圆的离心率是_ 【答案】-1 2 30. （江苏省启东中学 2013 届高三综合训练（1） ）已知为双曲线的左准线与x轴b 22 22

13、 1(0,0) xy ab ab 的交点,点,若满足的点在双曲线上,则该双曲线的离心率为_.(0, )ab2apab p 【答案】; 2 31. （江苏省扬州市 2013 届高三下学期 5 月考前适应性考试数学（理）试题）在平面直角坐标系xoy中,已 知点a是椭圆 22 1 259 xy 上的一个动点,点 p 在线段oa的延长线上,且72oa op ,则点 p 横坐 标的最大值为_. 【答案】15 提示:设(1)opoa ,由 2 72oa opoa ,得 2 72 oa , 22 72 paa aa xxx xy = 22 72 9 9 25 a aa x xx = 2 72 16 9 25

14、 a a x x = 72 916 25 a a x x , 研究点 p 横坐标的最大值,仅考虑05 a x, 72 15 12 2 5 p x (当且仅当 15 4 a x 时取“=”). 32. （江苏省启东中学2013 届高三综合训练（1） ）在平面直角坐标系xoy中,抛物线y2=2x的焦点为f. 设 m是抛物线上的动点,则 mo mf 的最大值为_. 【答案】. 2 3 3 33. （江苏省常州市华罗庚高级中学 2013 年高考数学冲刺模拟试卷）设双曲线的左、右焦点分 22 1 45 xy k o 别为,点p为双曲线上位于第一象限内一点,且的面积为 6,则点p的坐标为_. 1 f 2

15、f 21f pf 【答案】 2 , 5 56 34. （江苏省常州市西夏墅中学 2013 年高考冲刺模拟试卷）等腰中,斜边,一个椭圆以rt abc4 2bc c 为其中一个焦点,另一个焦点在线段 ab 上,且椭圆经过 a,b 两点,则该椭圆的离心率为_. 【答案】 36 35. （江苏省常州市第五中学 2013 年高考数学文科）冲刺模拟试卷）已知椭圆+=1(ab0)的两个焦点 x2 a2 y2 b2 为f1(-c,0),f2(c,0),p为该椭圆上一点,且=c2,则此椭圆离心率的取值范围是_. pf1 pf2 【答案】 32 , 32 36. （2013 年江苏省高考数学押题试卷 ）设一个椭圆

16、的短轴长、焦距、长轴长成等差数列,则此椭圆的离 心率 e=_. 【答案】. 由a+b=2c, a2-b2=c2, 两式相除得a-b=c, 与a+b=2c相加得 2a=c,从而 e= = . 4 5 1 2 5 2 c a 4 5 二、解答题 37. （江苏省常州市西夏墅中学 2013 年高考冲刺模拟试卷）已知椭圆和圆, 2 2 1: 1 2 x cy 22 2: 1cxy a,b,f分别为椭圆c1左顶点、下顶点和右焦点. 点p是曲线c2上位于第二象限的一点,若apf的面积为,求证:apop; 12 24 点m和n分别是椭圆c1和圆c2上位于y轴右侧的动点,且直线bn的斜率是直线bm斜率的 2

17、倍,证 明直线mn恒过定点. o n m f b p a y x 【答案】 k o 38. （江苏省常州市武进高级中学 2013 年高考数学文科）冲刺模拟试卷 doc）某跳水运动员进行 10 米跳台 跳水训练时,身体(看成一点)在空中的运动路线是如图所示坐标系下经过原点o的一条抛物线(图中 标出的数据为已知条件).在跳某个规定动作时,正常情况下,该运动员在空中的最高处距水面米, 2 10 3 入水处距池边的距离为 4 米,运动员在距水面高度为 5 米以前,必须完成规定的翻腾动作,并调整好入 水姿势,否则就会出现失误. (1)求这条抛物线的解析式; (2)在某次试跳中,测得运动员在空中的运动路线

18、是()中的抛物线,且运动员 在空中调整好入水姿势时,距池边的水平距离为米,问此次跳水会不会失误? 3 3 5 并通过计算说明理由. 水面 x o 3m 10m 1m 跳 台 支 柱 y 【答案】解:(1)在给定的直角坐标系下,设最高点为a,入水点为b, k o 抛物线的解析式为. 2 yaxbxc 由题意,知o(0,0),b(2,-10),且顶点 a 的纵坐标为. 2 3 或 2 25 0 6 4210 433 42100 a c acb b a abcc 3 2 2 0 a b c 抛物线对称轴在y轴右侧,又抛物线开口向下,a0,故有 2510 ,0 63 abc 抛物线的解析式为. 2 2

19、510 63 yxx (2)当运动员在空中距池边的水平距离为米时, 3 3 5 即时, 33 321 55 x 2 25810816 ( ) 65353 y 此时运动员距水面的高为 10-=b0)的左焦点为f1(-3,0),过 x2 a2 y2 b2 点f1作一条直线l交椭圆于a,b两点,点a关于坐标原点o的对称点为a1,两直线ab,a1b的斜率之积 为-. 16 25 (1)求椭圆c的方程; (2)已知d(m,0)为f1右侧的一点,连ad,bd分别交椭圆左准线于m,n两点,若以mn为直径的圆恰好过 点f1,求m的值. 【答案】解:(1)设a(x1,y1),b(x2,y2),则a1(-x1,-

20、y1). 所以,=,=,于是=, ab k y2y1 x2x1 1 a b k y2y1 x2x1 ab k 1 a b k y22y12 x22x12 由得+ =0,所以=- x22x12 a2 y12y12 b2 ab k 1 a b k b2 a2 所以,=,所以 = .设b=4k,a=5k,其中k0.由c=3,得 25k2-16k2=9,所以k=1 b2 a2 16 25 b a 4 5 所以,椭圆c:+ =1 x2 25 y2 16 (2)若l存在斜率k时,设l:y=k(x+3),a(x1,y1),b(x2,y2), 由消去y,得(16+25k2)x2+150k2x+225 k2-4

21、00=0. 所以 222 2 12121212 222 150225400256 ,(3)(3) 162516251625 kkk xxx xy ykxx kkk k o 设,由m、a、d共线,得, 34 2525 (,),(,) 33 myny 1 3 1 (325) 3() my y mx 同理 2 4 2 (325) 3() my y mx 又, 13141111 1616 (,),(,),0 33 fmyf nyfmf nfmf n 由已知得 得=-, 2 12 3434 12 325)256 , 99()() my y y yy y mxmx （ 而，即 2 2 256 1625 k

22、 k 2 12 325) 9()() m mxmx （ 256 9 整理得 ,所以m=5,因为m-3,所以m=5 22 (1)(16400)0km 40. （江苏省 2013 届高三高考压轴数学试题）抛物线yx2 2 上有两点),().,( 2211 yxbyxa且 )2, 0(, 0omoboa(o为坐标原点) (1)求证:amab (2)若mbma2,求 ab 所在直线方程. 【答案】抛物线yx2 2 上有两点),().,( 2211 yxbyxa且)2, 0(, 0omoboa(o为坐标原 点) (1)求证:amab (2)若mbma2,求 ab 所在直线方程. 41. （南京师大附中

23、2013 届高三模拟考试 5 月卷）在平面直角坐标系xoy中,椭圆c: + =1(ab0)的 x2 a2 y2 b2 上顶点到焦点的距离为 2,离心率为. (1)求a,b的值. (2)设p是椭圆c长轴上的一个动点,过点p作斜率为k的直线l交椭圆c于a、b两点. ()若k=1,求oab面积的最大值; ()若pa2+pb2的值与点p的位置无关,求k的值. 【答案】解(1)由题设可知a=2,e= =,所以c=,故b=1. c a 3 k o 因此,a=2,b=1 (2)由(1)可得,椭圆c的方程为 +y2=1. x2 4 设点p(m,0)(-2m2),点a(x1,y1),点b(x2,y2). ()若

24、k=1,则直线l的方程为y=x-m. 联立直线l与椭圆c的方程,即 .将y消去,化简得 x2-2mx+m2-1=0.解之得x1=, x2=, 5 4 从而有,x1+x2=, x1 x2=, 8m 5 4(m21) 5 而y1=x1-m,y2=x2-m, 因此,ab|= (x1x2)2(y1y2)2 2(x1x2)2 2 (x1 +x2)24 x1x2 =, 4 5 2 5m2 点o到直线l的距离d=, 所以,soab= |ab|d=|m|, 1 2 2 5 5m2 因此,s2oab=( 5-m2)m2()2=1. 4 25 4 25 5m2m2 2 又-2m2,即m20,4. 所以,当 5-m

25、2=m2,即m2= , m=时,soab取得最大值 1. 5 2 ()设直线l的方程为y=k(x-m). 将直线l与椭圆c的方程联立,即 . 将y消去,化简得(1+4k2)x2-8mk2x+4(k2m2-1)=0,解此方程,可得, x1+x2=,x1x2= . 8mk2 14k2 4(k2m21) 14k2 所以, pa2+pb2=(x1-m)2+y12+(x2-m)2+y22= (x12+x22)-2m(x1+x2)+2m2+2 3 4 = (*) m2(8k46k22)(14k2)(8k28) (14k2)2 因为pa2+pb2的值与点p的位置无关,即(*)式取值与m无关, 所以有-8k4

26、-6k2+2=0,解得k= . 1 2 所以,k的值为 1 2 42. （江苏省南通市通州区姜灶中学 2013 届高三 5 月高考模拟数学试题 ）设椭圆 22 22 +=1 xy ab ( 0)a b的左、 右顶点分别为,a b,点p在椭圆上且异于,a b两点,o为坐标原点. ()若直线ap与bp的斜率之积为 1 2 ,求椭圆的离心率; ()若|=|apoa,证明直线op的斜率k满足| | 3k. k o 【答案】法一:(1)取(0, )pb,(,0), ( ,0)aab a;则 22 1 ()2 2 apbp bb kkab aa 22 2 2 12 22 ab ee a (2)设( cos

27、 , sin )(02 )p ab;则线段op的中点(cos ,sin ) 22 ab q |=|apoa1 aq aqopkk sin sincos2 2cos aqaqaq b kbakak aa 2222 3 213 3 aqaqaqaq akba kakkk 方法二:依题意,直线op的方程为ykx,可设点 00 (,)p x kx,由点p在椭圆上,有 222 00 22 1 xk x ab , 因为 0 0,0abkx,所以 222 00 22 1 xk x ab 即 222 0 (1)kxa 由| |, (,0)apoa aa,得 2222 00 ()xak xa整理得 22 00

28、(1)20kxax,于是 0 2 2 1 a x k , 代入得 2 222 2 4 (1)3|3 1 a kakk k . 43. （江苏省常州市奔牛高级中学 2013 年高考数学冲刺模拟试卷）在平面直角坐标系 xoy 中,已知椭圆 ,m 是椭圆上任一点,面积的最大值为 1,椭圆 21 2 2 2 2 ,)0( 1ffba b y a x 的左右焦点为 21f mf 的内接矩形(短形的边与椭圆的对称轴平行)面积的最大值为.22 (1) 求椭圆的方程; (2) 设 m、a、b 是椭圆上异于顶点的三点,且存在锐角oboaomsincos,使得 求证:直线 oa 与 ob 斜率乘积为定值 求的值.

29、 22 oboa k o 【答案】 44. （江苏省常州市华罗庚高级中学 2013 年高考数学冲刺模拟试卷）如图,已知抛物线m: 的准线为l,n为l上的一个动点,过点n作抛物线m的两条切线,切点分别为a,b,04 2 ppyx 再分别过a,b两点作l的垂线,垂足分别为c,d. (1)求证:直线ab必经过y轴上的一个定点q,并写出点q的坐标; (2)若的面积依次构成等差数列,求此时点n的坐标.anbbdnacn, 【答案】 k o 45. （江苏省常州市西夏墅中学 2013 年高考冲刺模拟试卷）某跳水运动员在一次跳水训练时的跳水曲线为 如图所示的抛物线一段.已知跳水板ab长为 2m,跳水板距水面

30、cd的高bc为 3m.为安全和空中姿态优 美,训练时跳水曲线应在离起跳点a处水平距hm(h1)时达到距水面最大高度 4m.规定:以cd为横轴, bc为纵轴建立直角坐标系. (1)当h=1 时,求跳水曲线所在的抛物线方程; (2)若跳水运动员在区域ef内入水时才能达到比较好的训练效果,求此时h的取值范围. a c d b fe 2 3 5 6 2+h 【答案】 则,答,此时h的取值范围. 3 4 , 1h 3 4 , 1h 46. （2013 年江苏省高考数学押题试卷 ）在平面上,给定非零向量b,对任意向量c,定义c=a-b. 2(ab) |b|2 (1)若a=(2,3), b=(-1,3),

31、求c; (2)若b=(2,1),证明:若位置向量a的终点在直线ax+by+c=0 上,则位置向量c的终点也在一条直线上; k o (3)已知存在单位向量b,当位置向量a的终点在抛物线c:x2=y上时,位置向量c终点总在抛物线c: y2=x上,曲线c和c关于直线l对称,问直线l与向量b满足什么关系? 【答案】(1) c=(2,3)-(-1,3)=(,- ). 2(29) 10 17 5 6 5 (2)设a=(x,y), c=(x,y),则(x,y)=(x,y)- (x+2y)(2,1)=(-x-y, -x+y), 2 5 3 5 4 5 4 5 3 5 所以, 于是, 故a(-x-y)+b(-x

32、+y)+c=0, 3 5 4 5 4 5 3 5 从而, - (3a+4b)x+ (-4a+3b)y+c=0. 1 5 1 5 由于a, b不同时为零,所以 3a+4b, -4a+3b也不同时为零.于是向量c的终点在一条直线- (3a+4b) 1 5 x+ (-4a+3b)y+c=0 上. 1 5 (3)设b=(b1, b2), 则b+b=1,对任意实数t, 取a=(t,t2), 则 1 22 2 c=(t,t2)-(2(t,t2)(b1, b2)(b1, b2)=(t,t2)-(2tb1+2t2b2)(b1, b2) =(1-2b)t-2b1b2t2, -2b1b2t+(1-2b)t2).

33、2 21 2 因为c的终点在曲线c上,所以(1-2b)t-2b1b2t2)2=-2b1b2t+(1-2b)t2. 2 21 2 1 由于t为任意实数,比较式两边t的系数得 1 1 1-2b=0, (-2b1b2)2=-2b1b2, 1-2b=0, 2 21 2 从而, b=b= , b1b2b0)的离心率为 ,且经过点 x2 a2 y2 b2 1 2 p(1, ). 3 2 (i)求椭圆c的方程; (ii)设f是椭圆c的右焦点,m为椭圆上一点,以m为圆心,mf为半径作圆m.问点m满足什么条件时, 圆m与y轴有两个交点? ()设圆m与y轴交于d、e两点,求点d、e距离的最大值. 【答案】解:()

34、椭圆+=1(ab0)的离心率为 ,且经过点p(1, ), x2 a2 y2 b2 1 2 3 2 ,即 ,解得 , a2 = 4 b2 = 3) k o 椭圆c的方程为+=1 x2 4 y2 3 ()易求得f(1,0).设m(x0,y0),则+=1, x02 4 y02 3 圆m的方程为(x-x0)2+(y-y0)2=(1-x0)2+y02, 令x=0,化简得y2-2y0y+2x0-1=0,=4y02-4(2x0-1)20. 将y02=3(1-)代入,得 3x02+8x0-160,解出 -4x0 , x02 4 4 3 又 3 4 222 00 xx ()设d(0,y1),e(0,y2),其中

35、y1b0),双 x2 a2 y2 b2 曲线-=1 的两条渐近线为 l1,l2,过椭圆 c 的右焦点 f 作直线 l,使 ll1,又 l 与 l2交于 p 点,设 l x2 a2 y2 b2 与椭圆 c 的两个交点由上至下依次为 a,b. (1)当 l1与 l2夹角为 60,双曲线的焦距为 4 时,求椭圆 c 的方程及离心率; (2)求的最大值. |fa| |ap| 【答案】解(1)双曲线的渐近线为 y= x,两渐近线夹角为 60,又 b0)的上顶 22 22 1 xy ab 点为a,左,右焦点分别为f1,f2,且椭圆c过点p( , ),以ap为直径的圆恰好过右焦点f2. 4 3 b 3 (1

36、)求椭圆c的方程; (2)若动直线l与椭圆c有且只有一个公共点,试问:在轴上是否存在两定点,使其到直线l的距离之x 积为 1?若存在,请求出两定点坐标;若不存在,请说明理由. x y of2 (第 18 题图) p a f1 1 【答案】解:(1)因为椭圆过点p( , ),所以=1,解得a2=2, 4 3 b 3 16 9a2 + 1 9 k o 又以ap为直径的圆恰好过右焦点f2.所以af2f2p,即 =1, b2=c(43c) b c b 3 4 3c 而b2=a2c2=2c2,所以c22c+1=0,解得c2=1, 故椭圆c的方程是+y2=1 x2 2 (2)当直线l斜率存在时,设直线l方

37、程为y=kx+p,代入椭圆方程得 (1+2k2)x2+4kpx+2p2-2=0. 因为直线l与椭圆c有只有一个公共点,所以 来源:学+科+网 =16k2p2-4(1+2k2)(2p2-2)=8(1+2k2p2)=0, 即 1+2k2=p2 设在x轴上存在两点(s,0),(t,0),使其到直线l的距离之积为 1,则 =1, |ks+p| k2 + 1 |kt+p| k2 + 1 |k2st+kp(s+t) +p2| k2 + 1 即(st+1)k+p(s+t)=0(*),或(st+3)k2+(s+t)kp+2=0 (*). 由(*)恒成立,得解得,或, st + 1 = 0， s + t= 0.

38、) s= 1 t= 1) s= 1 t= 1) 而(*)不恒成立. 当直线l斜率不存在时,直线方程为x=时, 2 定点(-1,0)、f2(1,0)到直线l的距离之积d1 d2=(-1)(+1)=1. 22 综上,存在两个定点(1,0),(1,0),使其到直线l 的距离之积为定值 1 57. （江苏省启东中学 2013 届高三综合训练（2） ）在平面直角坐标系xoy中,已知点,p是动点,且( 1,1)a 三角形poa的三边所在直线的斜率满足kop+koa=kpa. (1)求点 p 的轨迹c的方程; (2)若q是轨迹 c 上异于点p的一个点,且,直线op与qa交于点m,问:是否存在点ppqoa 使

39、得pqa和pam的面积满足?若存在,求出2 pqapsm ss 点p的坐 标;若不存在,说明理由. 【答案】解:(1)设点为所求轨迹上的任意一点,则由( , )p x y opoapa kkk 得, ,整理得轨迹的方程为(且 11 11 yy xx c 2 yx0 x ) 1x (2):学设 22 1122 ( ,),(,),p x xq x x 由可知直线,则, pqoa /pq oa pqoa kk 故,即, 22 21 21 10 10 xx xx 21 1xx 直线op方程为: ; 1 yx x 直线qa的斜率为:, 2 1 1 1 (1)1 2 1 1 x x x x y of2 (

40、第 18 题图) p a f1 1 k o 直线qa方程为:, 1 1(2)(1)yxx 即 11 (2)1yxxx 联立,得,点m的横坐标为定值 1 2 x 1 2 由,得到,因为,所以, 2 pqapam ss 2qaam/pq oa2opom 由,得,的坐标为. 2poom 1 1x p(1,1) 存在点p满足,的坐标为 2 pqapsm ss p(1,1) 58. （江苏省南通市海门中学 2013 届高三下学期 5 月月考数学试卷）已知椭圆的焦 22 22 1(0) xy ab ab 距为 4,设右焦点为,离心率为. 1 fe (1)若,求椭圆的方程; 2 2 e (2)设、为椭圆上关

41、于原点对称的两点,的中点为,的中点为,若原点在以线段ab 1 afm 1 bfno 为直径的圆上.mn 证明点在定圆上;a 设直线的斜率为,若,求的取值范围.abk3k e 【答案】解:()由,c=2,得,b=2 , 2 2 e 2 2a 所求椭圆方程为. 22 1 84 xy ()设,则,故,. 00 (,)a xy 00 (,)bxy 00 +2 22 xy m ， 00 2 22 xy n ， 由题意,得. 0om on 化简,得,所以点在以原点为圆心,2 为半径的圆上. 22 00 4xya 设,则. 00 (,)a xy 00 222 22002 200 22 2222 22 220

42、0 00 , 1,11 1,(1) 4 4 4 ykx xk x xyk kab abab xkx xy 将,代入上式整理,得 2c e aa 222 2 4 4bac e 2242 (21)21.keee 因为,k20,所以, 所以 . 42 210ee 2 210e 42 2 2 21 3 21 ee k e k o 化简,得解之,得, 42 2 840, 210. ee e 2 1 42 3 2 e 2 31, 2 e 故离心率的取值范围是. 2 ,31 2 59. （江苏省启东中学 2013 届高三综合训练（1） ）在平面直角坐标系xoy中,椭圆c:+=1(ab0)的左、 x2 a2

43、y2 b2 右顶点分别为a,b,离心率为 ,右准线为l:x=4.m为椭圆上不同于a,b的一点,直线am与直线l交于 1 2 点p. (1)求椭圆c的方程; (2)若=,判断点是否在以pm为直径的圆上,并说明理由; am mp b (3)连结pb并延长交椭圆c于点n,若直线mn垂直于x轴,求点m的坐标. a b p m n x y o (第 18 题) 【答案】解:(1)由解得所以b2=3. a2， c1) 所以椭圆方程为+=1. x2 4 y2 3 (2)因为=,所以xm=1,代入椭圆得ym= ,即m(1, ), am mp 3 2 3 2 所以直线am为:y= (x+2),得p(4,3),

44、1 2 所以=(-1, ),=(2,3). bm 3 2 bp 因为= 0,所以点b不在以pm为直径的圆上. bm bp 5 2 (3)因为mn垂直于x轴,由椭圆对称性可设m(x1,y1),n(x1,-y1). 直线am的方程为:y=(x+2),所以yp=, y1 x12 6y1 x12 直线bn的方程为:y=(x-2),所以yp=,所以=.因为y10,所以=-.解 y1 x12 2y1 x12 6y1 x12 2y1 x12 6 x12 2 x12 k o 得x1=1.所以点m的坐标为(1,). 3 2 60. （江苏省常州市金坛市第一中学 2013 年高考冲刺模拟试卷） 已知椭圆)0( 1

45、 2 2 2 2 ba b y a x 的左右焦点分别为 21,f f,短轴两个端点为ba,且四边形 baff 21 是边长为 2 的正方形. (1)求椭圆的方程; (2)若dc,分别是椭圆长轴的左右端点,动点m满足cdmd ,连接cm,交椭圆于点p.证明: om op 为定值; (3)在(2)的条件下,试问x轴上是否存在异于点c的定点q,使得以mp为直径的圆恒过直线 mqdp,的交点,若存在,求出点q的坐标;若不存在,请说明理由. y x p b cd a f1of2 m 【答案】解:(1) 222 , 2cbacba,2 2 b,椭圆方程为1 24 22 yx (2)0 , 2(),0 ,

46、 2(dc ,设),(), 2( 110 yxpym,则), 2(),( 011 yomyxop . 直线cm: 0 0 4 2 y yyx ,即 0 0 2 1 4 yx y y, 代入椭圆42 22 yx得 04 2 1 2 1 ) 8 1 ( 2 0 2 0 2 2 0 yxyx y 8 )8(2 , 8 )8(4 )2( 2 0 2 0 1 2 0 2 0 1 y y x y y x, 8 8 2 0 0 1 y y y. ) 8 8 , 8 )8(2 ( 2 0 0 2 0 2 0 y y y y op, k o 4 8 324 8 8 8 )8(4 2 0 2 0 2 0 2 0

47、2 0 2 0 y y y y y y omop(定值). (3)设存在) 0 , (mq满足条件,则dpmq . ), 2( 0 ymmq ,) 8 8 , 8 4 ( 2 0 0 2 0 2 0 y y y y dp, 则由0 dpmq得 0 8 8 )2( 8 4 2 0 2 0 2 0 2 0 y y m y y ,从而得0m. 存在)0 , 0(q满足条件 61. （江苏省徐州市 2013 届高三考前模拟数学试题）过直线1y = -上的动点( ,1)a a -作抛物线 2 yx=的两 切线,ap aq,p q为切点. (1)若切线,ap aq的斜率分别为 12 ,k k,求证: 12

48、 kk为定值; (2)求证:直线pq过定点. 【答案】(1)设过a作抛物线 2 yx的切线的斜率为k,则切线的方程为1()yk xa , 与方程 2 yx联立,消去y,得01 2 akkxx. 因为直线与抛物线相切,所以0) 1(4 2 akk, 即044 2 akk. 由题意知,此方程两根为 21,k k, 所以 12 4k k (定值) (2)设 1122 ( ,),(,)p x yq xy,由 2 yx,得xy2 . 所以在p点处的切线斜率为: 1 2| 1 xy xx ,因此,切线方程为:)(2 111 xxxyy. 由 2 11 yx,化简可得, 11 20 x xyy. 同理,得在

49、点q处的切线方程为 22 20 x xyy. 因为两切线的交点为( , 1)a a ,故 11 210 x ay , 22 210 x ay . 所以qp,两点在直线210axy 上,即直线pq的方程为:210axy . 当0 x时,1y ,所以直线pq经过定点(0,1) 62. （江苏省常州市第二中学 2013 年高考数学（文科）冲刺模拟试卷 doc）轮滑是穿着带滚轮的特制鞋在坚 硬的场地上滑行的运动.如图,助跑道 abc 是一段抛物线,某轮滑运动员通过助跑道获取速度后飞离跑 道然后落到离地面高为 1 米的平台上 e 处,飞行的轨迹是一段抛物线 cde(抛物线 cde 与抛物线 abc 在

50、k o 同一平面内),d 为这段抛物线的最高点.现在运动员的滑行轨迹所在平面上建立如图所示的直角坐标 系,轴在地面上,助跑道一端点 a(0,4),另一端点 c(3,1),点 b(2,0),单位:米.x ()求助跑道所在的抛物线方程; ()若助跑道所在抛物线与飞行轨迹所在抛物线在点 c 处有相同的切线,为使运动员安全和空中姿态 优美,要求运动员的飞行距离在 4 米到 6 米之间(包括 4 米和 6 米),试求运动员飞行过程中距离平台 最大高度的取值范围? (注:飞行距离指点 c 与点 e 的水平距离,即这两点横坐标差的绝对值.) 2 4 y ox e d c b a 【答案】解:()设助跑道所在

51、的抛物线方程为, 2 000 ( )f xa xb xc 依题意: 0 000 000 4, 420, 931, c abc abc 解得, 0 1a 0 4b 0 4c 助跑道所在的抛物线方程为 2 ( )44f xxx ()设飞行轨迹所在抛物线为(), 2 ( )g xaxbxc0a 依题意:得解得 (3)(3), (3)(3), fg fg 931, 62, abc ab 26 , 95, ba ca , 22 311 ( )(26 )95()1 a g xaxa xaa x aa 令得, ( )1g x 2 2 311 () a x aa 0a 3112 3 a x aaa 当时,有最

52、大值为, 31a x a ( )g x 1 1 a 则运动员的飞行距离, 22 33d aa 飞行过程中距离平台最大高度, 11 11h aa 依题意,得, 2 46 a 1 23 a 即飞行过程中距离平台最大高度的取值范围为在 2 米到 3 米之间 k o 63. （江苏省扬州市 2013 届高三下学期 5 月考前适应性考试数学（理）试题）椭圆c的右焦点为f,右准线 为l,离心率为 3 2 ,点a在椭圆上,以f为圆心,fa为半径的圆与l的两个公共点是,b d. (1)若fbd是边长为2的等边三角形,求圆的方程; (2)若,a f b三点在同一条直线m上,且原点到直线m的距离为2,求椭圆方程.

53、来源:学.科.网 【答案】解:设椭圆的半长轴是a,半短轴是b,半焦距离是c, 由椭圆c的离心率为 3 2 ,可得椭圆c方程是 22 22 1 4 xy bb , (只要是一个字母,其它形式同样得分,) 焦点( 3 ,0)fb,准线 4 3 b x ,设点 00 (,)a xy, (1)fbd是边长为2的等边三角形, 则圆半径为2,且f到直线l的距离是3, 又f到直线l的距离是 22 3 abb fmc cc , 所以,3 3 b ,3b , 所以3 3c 所以,圆的方程是 22 (3 3)4xy (2)因为,a f b三点共线,且f是圆心,所以f是线段ab中点, 由b点横坐标是 4 3 b 得

54、, 2 0 42 22 333 33 a xcbbb c , 再由 22 00 22 1 4 xy bb 得: 2 222 0 0 2 43 x ybb, 0 6 3 yb, k o 所以直线m斜率 0 0 6 3 2 3 3 b y k xcb 直线m:2()yxc ,220 xyc 原点o到直线m的距离 2 3 c d , 依题意 2 2 3 c ,6c ,所以2b , 所以椭圆的方程是 22 1 82 xy 64. （江苏省常州市第二中学 2013 年高考数学（文科）冲刺模拟试卷 doc）平面直角坐标系xoy中,已知 m经过点f1(0,-c),f2(0,c),a(c,0)三点,其中c0.

55、3 (1)求m的标准方程(用含的式子表示);c (2)已知椭圆(其中)的左、右顶点分别为d、b, 22 22 1(0) yx ab ab 222 abc m与x轴的两个交点分别为a、c,且a点在b点右侧,c点在d点右侧. 求椭圆离心率的取值范围; 若a、b、m、o、c、d(o为坐标原点)依次均匀分 布在x轴上,问直线mf1与直线df2的交点是否在 一条定直线上?若是,请求出这条定直线的方程;若不是,请说明理由. 【答案】解:(1)设m的方程为, 0 22 feydxyx 则由题设,得解得 2 2 2 0, 0, 330. cecf cecf cdcf 2 2 3 , 3 0, . dc e f

56、c m的方程为, 0 3 32 222 ccxyx m的标准方程为 222 3 4 ) 3 3 (cycx (2)m与轴的两个交点,又, x( 3 ,0)ac) 0 , 3 3 (cc ) 0 , (bb)0 ,( bd k o 由题设 即 所以 3, 3 , 3 cb cb 3, 3 . 3 cb cb 222 222 3, 1 . 3 cac cac 解得,即 . 2 3 2 1 a c 2 3 2 1 e 所以椭圆离心率的取值范围为 ) 2 3 , 2 1 ( (3)由(1),得.由题设,得. ) 0 , 3 3 (cmccbbc 3 3 3 3 3 ,. 2 3 3 bc 2 3 (,

57、0) 3 dc 直线mf1的方程为, 1 3 3 xy c c 直线df2的方程为. 1 2 3 3 xy c c 由,得直线mf1与直线df2的交点,易知为定值, )3 , 3 34 (ccq 4 33 oq k 直线mf1与直线df2的交点q在定直线上 xy 4 33 65. （江苏省常州市武进高级中学 2013 年高考数学文科）冲刺模拟试卷 doc）在平面直角坐标系xoy中,已 知三点(0,0)o,( 1,1)a ,(1,1)b,曲线c上任意点( , )m x y满足: 1 4() 2 mambomoaob . (l)求曲线c的方程; (2)设点p是曲线c上的任意一点,过原点的直线l与曲

58、线相交于m,n两点,若直线 pm,pn的斜率都存在,并记为 pm k, pn k.试探究 pmpn kk的值是否与点p及直线l有关,并证明你的结 论; (3)设曲线c与y轴交于d.e两点,点m (0,m)在线段de上,点p在曲线c上运动. 若当点p的坐标为(0,2)时,mp 取得最小值,求实数m的取值范围. 【答案】解:(1)由题意可得, )22 ,2()1 ,1 ()1 ,1(yxyxyxmbma, 所以4844)22()2(| 2222 yyxyxmbma, 又yyxoboaom4)2 , 0(),( 2 1 4)( 2 1 4, 所以yyyx44844 22 ,即1 43 22 yx .

59、 k o (2)因为过原点的直线l与椭圆相交的两点nm,关于坐标原点对称, 所以可设),(),(),( 0000 yxnyxmyxp. 因为nmp,在椭圆上,所以有 1 43 22 yx , 1 43 22 00 yx , -得 3 4 2 0 2 2 0 2 xx yy . 又 0 0 xx yy kpm , 0 0 xx yy kpn , 所以 3 4 2 0 2 2 0 2 0 0 0 0 xx yy xx yy xx yy kk pnpm , 故 pnpm kk的值与点p的位置无关,与直线l也无关. (3)由于),(yxp在椭圆c上运动,椭圆方程为1 43 22 yx ,故22y,且

60、22 4 3 3yx. 因为),(myxmp,所以 32 4 1 )(| 2222 mmyymyxmp 33)4( 4 1 22 mmy. 由题意,点p的坐标为)2 , 0(时,| mp取得最小值,即当2y时,| mp取得最 小值,而22y,故有24m,解得 2 1 m. 又椭圆c与y轴交于ed、两点的坐标为)2 , 0(.)2, 0( ,而点m在线段de上, 即 22m,亦即2 2 1 m,所以实数m的取值范围是2 , 2 1 . 66. （武进区湟里高中 2013 高三数学模拟试卷）已知椭圆两个焦点 12 ,f f 的坐标分别为,并且 ( 2,0)(2,0) k o 经过点.过左焦点 1