例谈均值不等式的运用条件和技巧

1、例谈均值不等式的运用条件和技巧 运用均值不等式 若a1,a2,K an R ,贝U?竺_K空 n a1a2K an,当且仅当 n ai a2an （n 2且n N）时等号成立”求最值是中学数学求最值的基本方法之一， 许多外形与它截然相异的函数式，常常也能利用它巧妙地求出最值且运用均值定理求最值 是历年来高考的热点内容，因此必须熟练掌握他的运用条件和运用技巧 一、重视运用过程中的三个条件：“一正、二定、三相等”，三者缺一不可。 （1）注意“正数” 1 例1、求函数y x 的值域. X 误解：Qx 1 2x丄 2 （当且仅当x 1时取等号），所以值域为 2,. X X 这里错误在于使用均值定理 a

2、 b 2._ab时忽略了条件：a,b R 正确解法：（a）当x 0时,x 1 2 x 2（仅当x 1时取等号）； (b)当 x 0时，x x) 2 ( x)( 丄) x 2（仅当x1时取等号） 所以函数的值域是 y y 2或y 2 . （2）注意“相等” 1 例2、设x R，求函数y 3x 右的最小值. x 误解：拿到很容易想到用均值定理，所以有 x R , y 2x x 7 33 2x x 1233 2 ymin33 2 . x x 1 这里的错误是没有考虑等号成立的条件.显然要2x x -2，这样的x不存在，故 x 导致错误.此题用均值定理，需要拆项，同时要等号成立，需要配一个系数 正确解

3、法: y 3x 3x 1 2 33 3x 3x ! 33 18(3x12时取等号) 2 2 x 2 2 x22 x 318 3318 所以x ,y min 3 2 例 3、设a,b, x, y R,且有 2 2 a b 3,x2 y2 6,求ax by的最大值. 误解：Q ax 2 2 .22 axby1/2以22、9 ,byax by -(a b x y )-K K (1) 2 2 2 2 所以ax 9 by的最大值为9. 2 这里(1) 取等号的条件是仅当 x a,y b ；由条件知这是不可能的，所以不可能 取到上述的最大值 正确解法: Q a2x2 2 2 2 2 2 2 b y2axb

4、y, (a b )(x y ) 2 (ax by)仅当 ax by 时取等，所以ax by .36 ax 3、2仅当a2 2 x by b2 2 y 3时取等号 如取a .3, (ax by) max 3 . 2 (3) 注意“定值” 例4、 已知x 2y i，x，y R ,求x2y的最大值 误解: (x 3 x y)3 3 (2x y)(当 27 x y时取等),又x 2y 1 y右时x2y 1 27 1 可这种似是 1时x2y占但没有任何理由说明 而非的错误解法，关键在于运用重要不等式放缩后的式子不是定值，致使得不出正确的结果 以上过程只能说明当 正确解法： 2 1 x, y R , x

5、yx x 4y 4 所以仅当x 4y ,即x - , y x 2y 13 1/X x 4y、3 1 x 2y、3 2 2)4(2 F 刃， 1时取等号，灯最大值为寻 二、常用的处理方法和技巧 (1) 拆项：为了创设使用不等式的条件，有时需将一些项作适当的变形，拆为多项之积, 从而达到凑积或和为定值的目的。为了使等号成立，常遵循“平均分拆”的原则 2 y 2x (x 0)的最小值. x 例5、求函数 解: y 2x2 33 33 2x2 3 33 3 36(2x2 时取等号)， 2x 2x 22x 2x 2x 所以仅当 x 于，血 2336. 3 （目标求和的最值， 所以凑积为定值，因此拆一为相

6、同两项，同时使得含变量的因子 x x 的次数和为零） 且分子所含变量因子的次数比分母的含变量因子的次数大 （2） 裂项：常用于分式形式, 或相等时用此方法。 例6、设x 1求函数y (x 5)(x2)的最小值. 解: y (x 1) 4(x 1) 1 4 2(x 1)x 1 9(x 角取等号） 所以仅当 x 1 时，ymin （先尽可能的让分子变量项和分母相同，然后裂项转化为求和的最值，进而凑积为定 值。即使得含变量的因子 x 1的次数和为零，同时取到等号） （3） 添项：求和的最小值时，为了使积为定值，需添加某个项 例7、求函数y 3x2 16 2的最小值. x 解：y 3(2 x2) 当且

7、仅当3（2 x2) 16 2 x2 16 2x2 6 2 3(2 取等号 所以当x I；、32,ymin 836 X2)(216x2)836 （求和的最值，尽可凑积为定值，因此添加 6,再减法6,即使得含变量的因子2 的次数和为零，同时取到等号） 例8若x 口1 0, y 0,且 9 1,则x y.的最小值 x y 解：x y (x y)(1 3) y 9x 1 910 2p 9x 16（处时取等号） x y x y 1 x y x y y 9x x 所以仅当 y x 4 时x y的最小值为16 1 9 1 y 12 x y 所以求变量出现在分子，已知条件变量在分母，为此添上 1 （即乘1即乘

8、-），变 x y 为求和的最值，因此凑积为定值，即使得含变量的因子y的次数和为零，同时取到等号 x 注意：例8这种解法也叫用“ 1 ”的技巧. 4、凑系数：为了求积的最大值，常将因式放入根号内，同乘或同除以某个正数，使含变 量的各因子之和为常数 例9、求函数y x2 .1 x2 （0 x 1）的最大值. 解: x2 ,x4(1x2) 4x； 2 x(i x2) 2 3 9 2 x (仅当 2 2 1 x时取等号）因此仅当 T，y max 2.3 9 （把变量都放在同一条件下的根号里， 同且系数和为零，且取到等号） 求积的最值，凑和为定值，因此配变量 x次数相 例10、已知0 o 2,求函数y

9、6x（4 x ）的最大值 解：0 2, y 0 y36x2(4 x2)2 18 2x2 (4 x2)(4 x2) 18 2 2 2 2x (4 x ) (4 x )3 32l3(2x24 x2取等号) 3 因此仅当x 2晶 ,ymax 3 32 3 3 （求积的最值，凑和为定值, x次数相同，故把变量放到根号内使次数 因此首先配变量 升高，再配次数相同和系数和为零，且取到等号） 5、分子变量常数化：常用于分式形式，且分子所含变量因子的次数比分母的含变量因子的 次数小时用此方法 例、11设求函数y 輕的最大值. x34 解：由题 3x2 3 x 3 4xx x222 3 N 2 x 33 x x 4 3占2 T 3(2 4 字取等号） x 所以仅当 2, y max 可同时除以分子所含变量因子化为 （分子变量因子次数比分母的小且变量因子不为零, 前面形式解） 6、取倒数：已知变量出现在分母，所求为变量积且出现在分子，可取倒数再如前面一 样求解 例12、已知x