高中数学竞赛定理

1、重 心 定义：重心是三角形三边中线的交点， 可用燕尾定理证明，十分简单。证明过程又是塞瓦定理的特例。 已知：abc中，d为bc中点，e为ac中点，ad与be交于o，co延长线交ab于f。求证：f为ab中点。 证明：根据燕尾定理，saob=saoc，又saob=sboc，saoc=sboc，再应用燕尾定理即得af=bf，命题得证。 重心的性质： 1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。 2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。 3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。 4、三角形内到三边距离之积最大的点。 5、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均，即其坐

2、标为()/3,()/3)；空间直角坐标系横坐标：()/3 纵坐标：()/3 竖坐标：（）/3 外 心 定义：外心是三角形三条边的垂直平分线的交点，即外接圆的圆心。 外心定理：三角形的三边的垂直平分线交于一点，该点叫做三角形的外心。 外心性质：三角形的外心是三边中垂线的交点,且这点到三角形三顶点的距离相等。 设,分别是三角形三个顶点连向另外两个顶点向量的数量积 =，=，=；c=+ 重心坐标：( (）/2c，()/2c，()/2c ) 垂 心 定义：三角形的三条高的交点叫做三角形的垂心。 性质： 锐角三角形垂心在三角形内部 直角三角形垂心在三角形直角顶点 钝角三角形垂心在三角形外部设,分别是三角形

3、三个顶点连向另外两个顶点向量的数量积。 =，=，=；c=+垂心坐标：( /c，/c，/c ) 九点圆 三角形三边的中点,三高的垂足和三个欧拉点连结三角形各顶点与垂心所得三线段的中点九点共圆，这个圆为九点圆 或欧拉圆 或 费尔巴哈圆. ） 九点圆性质： 1.三角形的九点圆的半径是三角形的外接圆半径之半; 即：=2：1 2.九点圆的圆心在欧拉线上,且恰为垂心与外心连线的中点; 3.三角形的九点圆与三角形的内切圆,三个旁切圆均相切设,分别是三角形三个顶点连向另外两个顶点向量的数量积=，=，=；c=+垂心坐标：( ()/4c，()/4c，()/4c )欧拉线 定义：三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心

4、，依次位于同一直线上，这条直线就叫三角形的欧拉线。 欧拉线定理：三角形的重心在欧拉线上，即三角形的重心、垂心和外心共线。欧拉线的性质： 1、在任意三角形中，以上四点共线。 2、欧拉线上的四点中，九点圆圆心到垂心和外心的距离相等，而且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半。欧拉线的证法1如图 作abc的外接圆，连结并延长bo，交外接圆于点d。连结ad、cd、ah、ch、oh。作中线am，设am交oh于点g bd是直径 bad、bcd是直角 adab，dcbc chab，ahbc da/ch，dc/ah 四边形adch是平行四边形 ah=dc m是bc的中点，o是bd的中点 om= dc om=

5、ah om/ah omg hag = g是abc的重心 g与g重合 o、g、h三点在同一条直线上 欧拉线的证法2 如图 设h,g,o,分别为abc的垂心、重心、外心。连接ag并延长交bc于d, 则可知d为bc中点。 连接od o为外心odbc连接ah并延长交bc于eh为垂心 aebcod/ae，有oda=ead。由于g为重心，则ga:gd=2:1。 连接cg并延长交ba于f则可知f为ab中点同理，of/cmofc=mcf 连接fdfd/ac,df:ac=1:2dfc=fca，fda=cad又ofc=mcf，oda=ead相减可得 ofd=hca,odf=eacofdhcaod:ha=df:ac

6、=1:2又ga:gd=2:1od:ha=ga:gd=2:1 又oda=eadogdhgaogd=agh又连接ag并延长agh+dgh=180ogd+dgh=180即o、g、h三点共线欧拉线的证法3 设h,g,o,分别为abc的垂心、重心、外心. 则oh=oa+ob+oc og=（oa+ob+oc）/3， 3 og=oh o、g、h三点共线 (注：oh, oa, ob , oc ,og 均为向量）费马点 定义：在一个三角形中，到3个顶点距离之和最小的点叫做这个三角形的费马点。费马点的判定 （1）对于任意三角形abc，若三角形内或三角形上某一点e,若ea+eb+ec有最小值,则e为费马点。 （2）

7、如果三角形有一个内角大于或等于120，这个内角的顶点就是费马点；如果3个内角均小于120，则在三角形内部对3边张角均为120的点，是三角形的费马点。费马点性质： （1）平面内一点p到abc三顶点的之和为pa+pb+pc，当点p为费马点时，距离之和最小。 （2）.特殊三角形中，三内角皆小于120的三角形，分别以 ab,bc,ca，为边，向三角形外侧做正三角形abc1,acb1,bca1,然后连接aa1,bb1,cc1,则三线交于一点p,则点p就是所求的费马点. (3).特殊三角形中，若三角形有一内角大于或等于120度,则此钝角的顶点就是费马点 (4)特殊三角形中，当abc为等边三角形时,此时外心

8、与费马点重合证明(1)费马点对边的张角为120度 在和中 bc=,ba=,=b+=, 和是全等三角形 pcb= 同理可得cbp= 由+=，得pcb+cbp=, cpb= 同理,apb=，apc= (2) pa+pb+pc= 将bpc以点b为旋转中心旋转与重合，连结pd，则pdb为等边三角形 bpd= 又bpa= 因此a、p、d三点在同一直线上 又cpb=，pdb=，= a、p、d、四点在同一直线上故pa+pb+pc=(3) pa+pb+pc最短 在abc内任意取一点m（不与点p重合），连结am、bm、cm，将bmc以点b为旋转中心旋转与重合，连结am、gm、(同上)，则ag/pf=1=2 a.g.c.p共圆=2=3 p