高中数学 双曲线范例例题

1、主题主题 1双曲线的定义与名词介绍双曲线的定义与名词介绍 例题 1双曲线的定义 如右图，在方格纸中有两组同心圆，圆心分别 为 f1 与 f2，若 p 点在以 f1，f2 为焦点的双曲 在线，试问 a，b，c，d，e 五点中，哪些点 亦在此双曲线上？ 解 2， 3 而 ， ， ， 故 p，c，d 三点位于同一双曲线上 1 pf 2 pf 12 1pfpf 12 2afaf 12 3bfbf 12 1cfcf 12 1dfdf 12 0efef 121212 1pfpfcfcfdfdf 下一题 例题 2（焦点到中心距离)2（半贯轴长)2（半共轭轴长)2 下一题 已知一双曲线的贯轴长为 6，两焦点的

2、距离为 10，试求此双曲线的共 轭轴长。 解由题意知 2a6，2c10，所以 a3，c5 因此 b 故共轭轴长 2b8 2222 534ca 上一题 主题主题 2双曲线的标准式双曲线的标准式 (1) 已知一双曲线的两焦点为（2 , 0）与（2 , 0），贯轴长为 2，试求 此双曲线的标准式。 解 例题 3双曲线的标准式（中心在原点） (1) 如右图所示 因为焦点为（2 , 0），（2 , 0） 所以中心为原点，贯轴在 x 轴上 且方程式形如 又 c2，贯轴长 2a2，所以 a1 而 b2c2a222123 得双曲线方程式为 22 22 1 xy ab 22 1 13 xy (2) 如右图所示

3、因为焦点为（0 , 2），（0 , 2） 所以中心为原点，贯轴在 y 轴上 且方程式形如 又 c2，贯轴长 2a2，所以 a1 而 b2c2a2 22 123 得双曲线方程式为 22 22 1 xy ba 22 1 31 xy 下一题上一题 解 例题 3双曲线的标准式（中心在原点） (2) 已知一双曲线的两焦点为（0 , 2）与（0 , 2），贯轴长为 2，试求 此双曲线的标准式。 (1) 将方程式 4x216y264 改写成 与标准式比较，得知此双曲线的中心在原点 o（0 , 0） 如右图所示，两焦点在 x 轴上 且 a4，b2 c 所以贯轴长 2a8，共轭轴长 2b4 焦点为（ , 0）与

4、（ , 0） 顶点为（4 , 0）与（4 , 0） 22 22 1 42 xy 22 1642 5ab 2 52 5 例题 4双曲线的各要素 (1) 已知一双曲线的方程式为 4x216y264，试求其贯轴长、共轭轴 长、中心、焦点及顶点坐标。 解 (2) 将方程式 16x29y2144 改写成 与标准式比较，得知此双曲线的中心在原点 o（0 , 0） 如右图所示，两焦点在 y 轴上， 且 a4，b3，c 所以贯轴长 2a8，共轭轴长 2b6 焦点为（0 , 5）与（0 , 5） 顶点为（0 , 4）与（0 , 4） 22 1 916 xy 2222 435ab 下一题上一题 解 例题 4双曲线

5、的各要素 (2) 已知一双曲线的方程式为 16x29y2144，试求其贯轴长、共轭 轴长、中心、焦点及顶点坐标。 例题 5双曲线的应用 核电厂的冷却塔很多都是双曲面型的。右图是某冷却塔 的截面图，颈部 4 是双曲线的贯轴长。出风口直径 8，入风口直径 28，已知 ， ， 互相 平行，且 与 的距离为 24，试求 与 的距离。 将此冷却塔的截面图坐标化 设双曲线的中心为 o（0 , 0），贯轴在 x 轴上 2a4 a2 可假设此双曲线的方程式为 ，即 又 28， 与 的距离为 24 故此双曲线通过 d（14 , 24） ab efcdabcdef abcdabef 解 22 22 1 xy ab

6、 22 2 1 4 xy b cdabcd 例题 5双曲线的应用 核电厂的冷却塔很多都是双曲面型的。右图是某冷却塔 的截面图，颈部 4 是双曲线的贯轴长。出风口直径 8，入风口直径 28，已知 ， ， 互相 平行，且 与 的距离为 24，试求 与 的距离。 解代入 可得 b212，而 f 点的 x 坐标为 4， y 坐标即为 与 的距离， 代入双曲线 可得 y6（负不合） 与 的距离为6 2 22 1 4 xy b abef 22 1 412 xy 22 4 1 412 y abef ab efcdabcdef abcdabef 下一题上一题 例题 6求渐近线 下一题 试求双曲线 的两条渐近线

7、方程式。 解 的两条渐近线为 与 即 4x3y0 与 4x3y0 22 1 916 xy 22 1 916 xy 0 34 xy 0 34 xy 上一题 主题主题 3双曲线的渐近线双曲线的渐近线 例题 7双曲线与渐近线 试证：双曲线 ： 上任一点 p 到两直线 l1：bxay0 与 l2：bxay0 的距离乘积为定值 。 證 设 p（x0 , y0）为双曲线 ： 上任一点 可得 b2x02a2y02a2b2 又 p（x0 , y0）到 l1 的距离为 p（x0 , y0）到 l2 的距离为 22 22 1 xy ab 22 22 a b ab 22 22 1 xy ab 00 22 bxay

8、ba 00 22 bxay ba 故 p 到 l1 与 l2 的距离乘积为 222222 000000 2222 2222 bxaybxayb xa ya b abab baba 下一题上一题 例题 7双曲线与渐近线 试证：双曲线 ： 上任一点 p 到两直线 l1：bxay0 与 l2：bxay0 的距离乘积为定值 。 22 22 1 xy ab 22 22 a b ab 證 例题 8共轭双曲线 下一题 试求双曲线 的共轭双曲线。 解 的共轭双曲线为 22 1 916 xy 22 1 916 xy 22 1 916 xy 上一题 主题主题 4共轭双曲线与等轴双曲线共轭双曲线与等轴双曲线 例题

9、9等轴双曲线 下一题 一等轴双曲线的两焦点为 f1（0 , ），f2（0 , ），求此双曲 线方程式。 解此等轴双曲线的中心为 的中点，即（0 , 0）， 且其贯轴在 y 轴上，而 2c ，得 c 又 c2a2b2，且 ab，故 a2b24 故此等轴双曲线的方程式为 2 22 2 12 ff 12 4 2ff 2 2 22 1 44 xy 上一题 主题主题 5双曲线的平移与伸缩双曲线的平移与伸缩 例题 10双曲线的标准式（中心为（h , k） 下一题 已知一双曲线的两焦点为（7 , 1）与（3 , 1），贯轴长为 6，试求此 双曲线方程式。 解如右图所示，因为两焦点为（7 , 1）与（3 ,

10、1） 所以中心（h , k）（2 , 1），贯轴平行 x 轴， 且 c5，又贯轴长 2a6a3 而 b ，代入标准式 得双曲线的方程式为 22 4ca 22 22 1 xhyk ab （ ） （ ） 22 21 1 916 xy（ ） （ ） 上一题 解 (1) 如右图，将双曲线 ： 以原点为中心伸缩 2 倍 可得双曲线 ： （a 与 b 皆成为原来 2 倍） 即 22 22 1 2 22 1 xy （） （） 22 1 164 xy 例题 11双曲线的伸缩 (1) 已知双曲线 ： ，将图形 以原点为中心伸缩 2 倍，得 到一个新双曲线 的图形，试求双曲线 的方程式。 22 1 41 xy 2

11、2 1 41 xy (2) ： 的两条渐近线为 与 ： 的两条渐近线为 与 皆可整理成 x2y0 与 x2y0 故 与 的渐近线相同 22 1 41 xy 0 21 xy 0 21 xy 22 1 164 xy 0 42 xy 0 42 xy 下一题上一题 例题 11双曲线的伸缩 (2) 同(1) ，试比较 与 的渐近线是否相同。 解 主题主题 6双曲线的性质双曲线的性质 例题 12渐近线与双曲线方程式的关系 下一题 试求中心为（2 , 1），一渐近线为 xy30，且过点（4 , 2）的 等轴双曲线方程式。 解等轴双曲线的两条渐近线互相垂直 可假设另一条渐近线的方程式为 xym0 又中心（2

12、, 1）为两条渐近线的交点 2（1）m0 m1 可知等轴双曲线的两渐近线为 xy30 与 xy10 设双曲线的方程式为（xy3）（xy1）k 此方程式过点（4 , 2） （4（2）3）（4（2）1）k k3 即等轴双曲线的方程式为（xy3）（xy1）3 上一题 例题 13由双曲线的一般型态求诸要素 已知双曲线 的方程式为 4x2y28x4y40，试求其贯轴长、共 轭轴长、中心、焦点、顶点及渐近线方程式。 解将方程式 4x2y28x4y40，依 x，y 配方 得 4（x22x1）（y24y4）4 整理得 ，其中 a1，b2 所以方程式的图形是一个贯轴平行于 x 轴的双曲线 中心为（1 , 2），

13、贯轴长 2a2，共轭轴长 2b4， c 22 12 1 14 xy（ ） （ ） 22 5ab 两顶点为（0 , 2）与（2 , 2） 两焦点为（1 , 2）与（1 , 2） 渐近线方程式为 2xy0 与 2xy40 55 上一题 例题 13由双曲线的一般型态求诸要素 已知双曲线 的方程式为 4x2y28x4y40，试求其贯轴长、共 轭轴长、中心、焦点、顶点及渐近线方程式。 解 右图是以 f1，f2 为圆心的两组同心圆，各组 4 个同心圆的半径分别为 1，2，3，4。已知有一 双曲线以 f1，f2 为焦点，且通过 p 点，则此双 曲线的贯轴长为。 主题主题 1双曲线的定义及标准式双曲线的定义及

14、标准式 范例 1双曲线的定义 解由图可知 3， 4 下一题 由双曲线的定义可知贯轴长 341 2 pf 1 pf 2 pf 1 pf 故贯轴长为 1 若一双曲线的贯轴长为 12，两焦点间的距离为 13，则此双曲线的共轭 轴长为。 解由题意知 2a12，2c13 上一题下一题 范例 2双曲线的基本概念运算 a6，c b 13 2 2 222 513 6 22 ca 故共轭轴长 2b5 (1) 已知双曲线的两焦点为（5 , 0），（5 , 0），贯轴长为 6，则此 双曲线方程式为。 范例 3求双曲线方程式 (1) 两焦点为（5 , 0），（5 , 0） 中心为（0 , 0），贯轴在 x 轴上，且

15、c5 又贯轴长 2a6 a3 解 b 22 4ca 故双曲线方程式为 22 1 916 xy (2) 已知双曲线的中心为（0 , 0），一焦点为（0 , 5），共轭轴长为 8，则此双曲线方程式为。 范例 3求双曲线方程式 上一题下一题 (2) 中心为（0 , 0），焦点为（0 , 5） c5 又共轭轴长 2b8 b4 解 a 22 3cb 故双曲线方程式为 22 1 169 xy c 范例 4求双曲线的各要素 已知一双曲线方程式为 1，则： (1) 中心坐标为。 (2) 顶点坐标为。 1 解 22 94 xy 此为中心在原点的双曲线，焦点在 x 轴上 22 94 xy 且 a 3，b 2，94

16、 9 413 (1) 中心坐标为（0 , 0） (2) 顶点坐标为（3 , 0），（3 , 0） 范例 4求双曲线的各要素 已知一双曲线方程式为 1，则： (3) 焦点坐标为。 (4) 贯轴长为。 (5) 共轭轴长为。 (6) 对称轴方程式为。 (3) 焦点坐标为 f1（ , 0）， f2（ , 0） 解 22 94 xy (4) 贯轴长 2a6 (5) 共轭轴长 2b4 (6) 对称轴方程式为 x0 及 y0 1313 c 此为中心在原点的双曲线，焦点在 x 轴上 且 a 3，b 2，949 413 1 22 94 xy 已知一双曲线方程式为 1，则： (7) 渐近线方程式为。 范例 4求双

17、曲线的各要素 上一题下一题 解(7) 渐近线方程式为 4x29y20 (2x3y)(2x3y)0 2x3y0 或 2x3y0 故渐近线方程式为 2x3y0 与 2x3y0 22 94 xy 22 0 94 xy 范例 5双曲线的平移 将双曲线： 1 平移（3 , 1）后，所得的双曲线 的方程式 为。 上一题下一题 双曲线： 1 平移（3 , 1）后 解 主题主题 2双曲线的平移与伸缩双曲线的平移与伸缩 22 94 xy 22 94 xy 所得双曲线 之方程式为 22 31 1 94 xy（ ） （ ） 范例 6双曲线的标准式 已知双曲线：4x2y216x6y30 ，则： (1) 顶点坐标为。

18、解4x2y216x6y30 4 (x2)2 (y3)24 ： (1) 中心点 o（2 , 3），a1 顶点（2 1 , 3），即（3 , 3）与（1 , 3） 22 23 1 14 xy（ ） （ ） 范例 6双曲线的标准式 已知双曲线：4x2y216x6y30 ，则： (2) 渐近线方程式为。 (3) 双曲线上任一点到两渐近线距离的乘积为。 上一题下一题 解 (3) 所求为 22 22 1 44 1 45 a b ab (2xy1)(2xy7)0 2xy10 或 2xy70 即渐近线方程式为 2xy1 与 2xy7 (2) 渐近线为 0 4 (x2)2 (y3)20 22 23 14 xy（

19、 ） （ ） 2（x2）（y3）2（x2）（y3）0 已知双曲线： 1 将图形以原点为中心伸缩 2 倍，得到 一个新双曲线，则： (1) 双曲线 的方程式为。 范例 7双曲线的伸缩 解(1) 将双曲线： 1 以原点为中心伸缩 2 倍后 可得双曲线： 1， 即 22 49 xy 22 49 xy 22 22 2429 xy 22 1 1636 xy 已知双曲线： 1 将图形以原点为中心伸缩 2 倍，得到 一个新双曲线，则： (2) 的渐近线方程式为。 范例 7双曲线的伸缩 解(2) 令 22 49 xy 22 0 1636 xy 36x216y20 9x24y20 (3x2y)(3x2y)0 3

20、x2y0 或 3x2y0 故渐近线方程式为 3x2y0 与 3x2y0 上一题下一题 共轭轴长为 试求以椭圆： 1 的焦点为顶点，以长轴之顶点为 两焦点之双曲线 方程式为。 范例 8求双曲线方程式 解椭圆中心（1 , 1）且为上下型 c 3，a225 a5 则双曲线两焦点的距离为 10 且贯轴长6 故双曲线 方程式为 22 11 1625 xy（ ） （ ） 22 11 1 169 xy（ ） （ ） 25 16 22 1068 上一题下一题 (1) 二次曲线： 1（t 为实数） 表一椭圆，则 t 的范围为。 表一双曲线，则 t 的范围为。 范例 9椭圆与双曲线标准式的判别 解(1) t4 (

21、t1)(t4)0 1t4 22 14 xy tt 1 0 4 0 t t (2) 设 k 为实数，若方程式 1 为双曲线，则此双曲线 的焦点坐标为。 范例 9椭圆与双曲线标准式的判别 解(2) 10k5k10k0，5k0 此为左右型双曲线，其中心点为（0 , 1） 22 1 105 xy kk （ ） ： 22 1 1 105 xy kk （ ） c2（10k）（k5）5 c 5 焦点为（0 , 1）（ , 1） 55 故双曲线的焦点坐标为（ , 1）与（ , 1） 55 上一题下一题 若双曲线与 1 有共同的渐近线，且通过点 m（5 , 8）， 则此双曲线方程式为。 范例 10双曲线的渐近线

22、 解有共同渐近线 令新双曲线为 下一题 m（5 , 8）代入 k 故双曲线方程式为 22 2516 xy 22 2516 xy k 22 58 2516 2222 31 25167548 xyxy 22 1 7548 xy 143 上一题 一双曲线的两焦点为 f1（10 , 0）与 f2（10 , 0），其一渐近线的 斜率为 ，试求此双曲线的方程式为。 范例 11利用双曲线渐近线斜率解题 解由焦点可知为左右型，且 2c10（10）20 c10，中心在（0 , 0） 下一题 可设双曲线方程式为 又渐近线斜率为 令 a3r，b4r（r0） 则 (3r)2 (4r)2102 r 2（负不合）a6，b8 22 22 1 xy ab 4 3 b a 故双曲线方程式为