2020年高考数学复习题：利用空间向量证明平行与垂直关系

1、 利用空间向量证明平行与垂直关系基础训练1设 a(x,4,3)，b(3,2，z)，且 ab，则 xz()a4 b9649c9 d.答案：b 解析：因为 ab，x 4 3所以 ，3 2 z3所以 x6，z ，2所以 xz9.2已知 a(1,0,0)，b(0,1,0)，c(0,0,1)，则平面 abc 的一个单位法向量是() 3 33 33 3a. ， ，b. ， ，3 3333 3 3 3 3 3333c. ， ，d. ， ，3 3 333答案：d 解析：ab(1,1,0)，ac(1,0,1)，设平面 abc 的一个法向量 n(x，y，z)，xy0，xz0.令 x1，则 y1，z1，n(1,1,

2、1) 33 3n单位法向量为： ， ， .|n|3 3 33已知 a(2，3,1)，b(2,0,4)，c(4，6,2)，下列结论正确的是()aab，ac bab，accac，ab d以上都不对 答案：c 解析：因为 ab0，c2a， .所以 a c，a b4若平面 ， 的法向量分别为 n (2,4,5)，n (8,1，4)，则12()abc， 相交但不垂直d以上均不正确答案：b5已知向量 a(2，1,3)，b(1,4，2)，c(7,5，)若 a，b，c 三个向量共面，则实数 ()627637a.b.d.607657c.答案：d 解析：由题意，得 ctab(2t，t4，3t2)，337 ，t72

3、t，175t4，3t2， ，所以解得765 .7故选 d.62019 山东泰安模拟已知长方体 abcda b c d ，下列向量1 1 1 1的数量积一定不为 0 的是() a.ad b cb.bd ac111 c.abadd.bd bc11答案：d 解析：当侧面 bcc b 是正方形时，可得1 1 ad b c0，11所以排除 a.当底面 abcd 是正方形时，ac 垂直于对角面 bd ，1所以排除 b.显然排除 c.由图可得 bd 与 bc 所成的角小于 90.1 7已知ab(1,5，2)，bc(3,1，z)，若abbc，bp(x1，y，3)，且 bp平面 abc，则实数 x，y，z 分别

4、为(33 15 40 15)a. ， ，4b. ， ，47777407407c. ，2,4d4， ，15 答案：b 解析：abbc，abbc0，即 352z0，得 z4，又 bp平面 abc，bpab，bpbc，(x1)5y60，3(x1)y120，又bc(3,1,4)，则 40x ，7解得15 .y78在正方体 abcda b c d 中，e，f，g，h，m 分别是棱1 1 1 1ad，dd ，d a ，a a，ab 的中点，点 n 在四边形 efgh 的四边及其11 11内部运动，则当 n 只需满足条件_时，就有 mna c ；当 n1 1只需满足条件_时，就有 mn平面 b d c.1

5、1答案：点 n 在 eg 上 点 n 在 eh 上 解析：以点 d 为坐标原点，da，dc，dd 所在直线分别为 x 轴 、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，1 12设正方体的棱长为 1，则 m 1， ，0 ，n(x,0，z)，a c (1,1,0)，1 1 因此mna c 1， ， (1,1,0)1x 0，即 x ，121212xz1 1 故点 n 在 eg 上，就有 mna c .1 1设平面 b d c 的一个法向量为 n(1,1,1)，1 1若 mn平面 b d c，1 112则mnn 1， ， (1,1,1)xz12121x z0，即 xz 0，故点 n 在 eh 上，就有 mn平面

6、 b d c.1 19点 b( 3，0,0)是点 a(m,2,5)在 x 轴上的射影，则点a 到原点的距离为_答案：4 2 解析：点 b( 3，0,0)是点 a(m,2,5)在 x 轴上的射影，所以 m 3，所以点 a 到原点的距离为d ( 3)22252 324 2.102019 河南南阳模拟已知平面 内的三点 a(0,0,1)，b(0,1,0)，c(1,0,0)，平面 的一个法向量 n(1，1，1)，则不重合的两个平面 与 的位置关系是_答案： 解析：设平面 的法向量 m(x，y，z)，由 mab0，得x0yz0yz，由 mac0，得 xz0xz，取 x1，所以 m(1,1,1)，mn，所

7、以 m n，所以 .11如图，在四棱锥 pabcd 中，底面 abcd 是边长为 a 的正 22方形，侧面 pad底面 abcd，且 papd ad，设 e，f 分别为pc，bd 的中点(1)求证：ef平面 pad；(2)求证：平面 pab平面 pdc.证明：如图，取 ad 的中点 o，连接 op，of.因为 papd，所以 poad.因为侧面 pad底面 abcd，平面 pad平面 abcdad，所以po平面 abcd.又 o，f 分别为 ad，bd 的中点，所以 ofab.又 abcd 是正方形，所以 ofad.2因为 papd ad，2a2所以 papd，opoa .以 o 为原点，oa

8、，of，op 所在直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间建立直角坐标系，a2a2a2a则 a ，0，0 ， f 0， ，0 ， d ，0，0 ， p 0，0， ，2a2a2b，a，0 ， ，a，0 . c a a a4 2 4因为 e 为 pc 的中点，所以 e ， ， .a2(1)易知平面 pad 的一个法向量为of 0， ，0 ， a4aa2a4a 因为ef ，0， ，且ofef 0， ，0 ，0， 0，44 所以 ef平面 pad.a2a2(2)因为pa ，0， ，cd(0，a，0)， a2a所以pacd ，0， (0，a,0)0，2 所以pacd，所以 pacd.又 papd，pd

9、cdd，所以 pa平面 pdc.又 pa 平面 pab，所以平面 pab平面 pdc.强化训练1在正方体 abcda b c d 中，若 e 为 a c 的中点，则直线1 1 1 11 1ce 垂直于aac()bbd ca d da a11答案：b 解析：以 a 为原点，ab，ad，aa 所在直线分别为 x1轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，设正方体棱长为 1，则 a(0,0,0)，b(1,0,0)，c(1,1,0)，d(0,1,0)，1 12 2a (0,0,1)，e， ，1 ，11212所以ce ， ，1 ，ac(1,1,0)，bd(1,1,0)，a d(0,1，1)，a a(0,0，

10、1)11 1 12 2显然cebd 00， 所以cebd，即 cebd. 22019 河北石家庄模拟 如图所示，正方体 abcda b c d1 1 1 123113中，e，f 分别在 a d，ac 上，且 a e a d，af ac，则()11aef 至多与 a d，ac 之一垂直1befa d，efac1c ef 与 bd 相交1def 与 bd 异面1答案：b解题指南：建立空间直角坐标系，用向量法求解解析：以 d 点为坐标原点，以 da，dc，dd 所在直线分别为 x1轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，设正方体棱长为 1，则 a (1,0,1)，d(0,0,0)，a(1,0,0)，c

11、(0,1,0)，11132 1，0， ， ， ，0 ， (1,1,0)， (0,0,1)，e f bd33 31a d(1,0，1)，ac(1,1,0)，1ef1 13 31， ， ， (1，1,1)， bd31 13ef bd ，a defacef0，11从而 efbd ，efa d，efac.1132019 广东清城区一模已知向量 a(2m1,3，m1)，b(2，m，m)，且 a b，则实数 m 的值等于()3232a. b2 c0 d. 或2 答案：b 解析：向量 a(2m1,3，m1)，b(2，m，m)，且 a b.存在实数 ，使得(2m1,3，m1)(2，m，m)(2，m，m)，2m

12、12，3m，解得 m2.m1m，4已知三点 a(2,1,2)，b(1,2,3)，c(1,1,1)，o 是坐标原点，点 q 在直线 oc 上的运动，则当qaqb取得最小值时，点 q 的坐标是()2 2 211 11 11a. ， ，b. ， ，3 3 36 6 611 11 114 4 43 3 3c. ， ，d. ， ，3 3 3答案：b 解析：设oqoc(，)， 则qaqb(2，1，2) (1，2，3)3 1110，211611 11 11当 时取得最小值，点 q 的坐标为 ， ， .6 6 65已知点 p 是平行四边形 abcd 所在的平面外一点，如果ab(2，1, 4)，ad(4,2,0

13、)，ap(1,2，1)对于结论：ap ab；apad；ap是平面 abcd 的法向量；apbd.其中正确的是_ 答案： 解析：因为abap0，adap0，所以 abap，adap，则正确 又ab与ad不平行， 所以ap是平面 abcd 的法向量，则正确 因为bdadab(2,3,4)，ap(1,2，1)， 所以bd与ap不平行，故错62019 山东济南质检 如图，在三棱锥 pabc 中，abac，d 为 bc 的中点，po平面 abc，垂足 o 落在线段 ad 上已知 bc8，po4，ao3，od2.(1)证明：apbc；(2)若点 m 是线段 ap 上一点，且 am3.试证明平面 amc平面

14、bmc.证明： (1)如图，以 o 为原点，以射线 od 为 y 轴正半轴，以射线 op 为 z 轴正半轴，建立空间直角坐标系 oxyz.则 o(0,0,0)，a(0，3,0)，b(4,2,0)，c(4,2,0)，p(0,0,4)ap(0,3,4)，bc(8,0,0)， 由此可得apbc0，所以apbc，即 apbc.(2)由(1)，知|ap|5，又|am|3，且点 m 在线段 ap 上， 359 12am ap 0， ， ，5 5又ba(4，5,0)， bmbaam 4， ， ，16 125 5 16 12apbm(0,3,4) 4， ， 0.5 5 apbm，即 apbm，又根据(1)的结

15、论，知 apbc，ap平面 bmc，于是 am平面 bmc.又 am平面 amc，故平面 amc平面 bmc.72019 河南洛阳一模如图，正方形 adef 所在平面和等腰梯形abcd 所在的平面互相垂直，已知 bc4，abad2.(1)求证：acbf；(2)在线段 be 上是否存在一点 p，使得平面 pac平面 bcef？|bp|若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由|pe|(1)证明：平面 adef平面 abcd，平面 adef平面 abcdad，afad，af平面 adef，af平面 abcd. ac平面 abcd，afac.过 a 作 ahbc 于 h，则 bh1，ah 3，ch3，ac2 3，ab ac bc ，acab，222abafa，ac平面 fab，bf平面 fab，acbf.(2)解：存在由(1)知，af，ab，ac 两两垂直 以 a 为坐标原点，ab，ac，af的方向分别为 x 轴、y 轴、z 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系 axyz，则 a(0,0,0)，b(2,0,0)，c(0,2 3，0)，e(1， 3，2)假设在线段 be 上存在一点 p 满足题意，则易知点