正余弦定理知识点总结及题型分析

1、正弦定理和余弦定理（一）正弦定理：其中是三角形外接圆半径.a=2rsina, b=2rsinb, c=2rsinc（二）余弦定理： 由此可得：注：a是钝角；=a是直角；a是锐角；（三）三角形面积公式：（1）题型一：正余弦定理的基本应用：（四种题型：）（1）已知两角一边用正弦定理；（2）已经两边及一边对角用正弦定理；（3）已知两边及两边的夹角用余弦定理；（4）已知三边用余弦定理例1、在中，已知求例2已知下列各三角形中的两边及一角，判断三角形是否有解，并作出解答（1） （2）（3） （4）例3（1）在中，已知，则a= ；（2）若abc的周长等于20，面积是，60，则边= （3）、已知锐角三角形的边

2、长分别为2、3、，则的取值范围是= （4）在abc中，已知，则= 题型二：判断三角形的形状例4（1）在中，若试判断的形状。（2）在中，若试判断的形状。例5（1）在中，已知，且，判断三角形的形状；（2）在中，且，判断其形状；例、已知关于的方程的两根之和等于两根之积的一半，则一定是 （ ）（a）直角三角形（b）钝角三角形（c）等腰三角形（d）等边三角形.题型三：三角形的面积的问题例6、（1）已知中， ，, 求、及外接圆的半径。（2）在中，已知 （）求角； （）若，的面积是，求题型四、正余弦定理的综合应用1、在中，角的对边分别为，.k.（）求的值；（）求的面积2、设的内角a、b、c所对的边长分别为a

3、、b、c，且a cosb=3，b sina=4（）求边长a；（）若的面积，求的周长高考题一、求解斜三角形中的基本元素是指已知两边一角(或二角一边或三边)，求其它三个元素问题，进而求出三角形的三线(高线、角平分线、中线)及周长等基本问题例1(2005年全国高考江苏卷) 中，bc3，则的周长为（ ）a bc d例2(2005年全国高考湖北卷) 在abc中，已知，ac边上的中线bd=，求sina的值二、判断三角形的形状：给出三角形中的三角关系式，判断此三角形的形状例3(2005年北京春季高考题)在中，已知，那么一定是（ ）a直角三角形 b等腰三角形 c等腰直角三角形 d正三角形三、 解决与面积有关问

4、题主要是利用正、余弦定理，并结合三角形的面积公式来解题例4(2005年全国高考上海卷) 在中，若，则的面积s_四、求值问题例5(2005年全国高考天津卷) 在中，所对的边长分别为，设满足条件和，求和的值例6、（06全国卷i）的内角a、b、c的对边分别为a、b、c，若a、b、c成等比数列，且，则a b c d五、正余弦定理解三角形的实际应用利用正余弦定理解斜三角形，在实际应用中有着广泛的应用，如测量、航海、几何等方面都要用到解三角形的知识，例析如下：（一.）测量问题图1abcd例7 如图1所示，为了测河的宽度，在一岸边选定a、b两点，望对岸标记物c，测得cab=30，cba=75，ab=120c

5、m，求河的宽度。1。解：，由正弦定理，。例1.分析：由正弦定理，求出b及c，或整体求出bc，则周长为3bc而得到结果 解：由正弦定理得：， 得bcsinbsin(b)故三角形的周长为：3bc，d例2. 解：设e为bc的中点，连接de，则de/ab，且，设bex在bde中利用余弦定理可得：，解得，（舍去）故bc=2，从而，即又，故，例3. 解法1：由sin(ab)sinacosbcosasinb，即sinacosbcosasinb0，得sin(ab)0，得ab故选(b)解法2：由题意，得cosb，再由余弦定理，得cosb ，即a2b2，得ab，故选(b)评注：判断三角形形状，通常用两种典型方法：

6、统一化为角，再判断(如解法1)，统一化为边，再判断(如解法2)例4. 分析：本题只需由余弦定理，求出边ac，再运用面积公式sabacsina即可解决解：由余弦定理，得cosa，解得ac3 sabacsina abacsinaach，得hab sina，故选(a)例5. 分析：本题给出一些条件式的求值问题，关键还是运用正、余弦定理解：由余弦定理，因此， 在abc中，c=180ab=120b.由已知条件，应用正弦定理解得从而2、【答案】由题意可知：，从而，又因为所以，所以一定是等腰三角形选c例6解：中，a、b、c成等比数列，且，则b=a，=，选b.例7. 分析：求河的宽度，就是求abc在ab边上的高，而在河的