专题7.15：圆锥曲线问题中同解思想问题的研究与拓展

1、专题7.15:圆锥曲线问题中同解思想问题的研究与拓展【探究拓展】 探究1:直线li：aix+biy+仁0和b:a2X+b2y+仁0都过点(2,3)，则过点A(ai,bi)、B(a2,b2)的直线l的方程为2x+3y+仁02 拓展：如图，在平面直角坐标系 xOy中，椭圆a21(a b 0)过点(1uui uuu 接四边形ABCD (点A、B、C、D在椭圆上)的对角线AC, BD相交于点P(1,寸)，且AP 2PC ,，离心率为J3，又椭圆内mu iuur BP 2PD .(1)求椭圆的方程;(2)求直线AB的斜率.(1)解:ca依题意，Aa2c2，2 1,解得4b2aa2 =4b2 =1.(2)

2、解:所求椭圆的方程为y21.2设A x,1 ,则讣2y11 .uun 由APuur2PC ,3 x13 4y1整理,2X124y1y12x14y12 号(xy1)1916X2, y2，同理可得X2y2由可得直线AB的方程为x+ y=.代入椭圆方程y21,1，所以AB直线斜率为1.8x2 y22探究已知椭圆c：二+話=1(ab0)经过点M( 2, 1)，离心率为.过点M作倾斜角互补的两条ab2直线分别与椭圆 C交于异于M的另外两点P、Q.(1) 求椭圆C的方程； 试判断直线PQ的斜率是否为定值，证明你的结论.4 1寸 a2 b2 2解：(1)由题设，得刍+占=1,且亠,a ba 2x2 y2由、

3、解得a2= 6, b2 = 3,故椭圆C的方程为x + y = 1.63 设直线MP的斜率为k,则直线MQ的斜率为一k, 假设/ PMQ为直角，则k (-k)=- 1,即k= 1.X2 =1+ 2k2若k= 1,则直线MQ的方程为y+ 1 = - (x+ 2), 与椭圆C方程联立，得x2+ 4x+ 4= 0,该方程有两个相等的实数根-2,不合题意；同理，若k= 1也不合题意.故/ PMQ不可能为直角.记 P(x1, y1)、Q(X2, y2).设直线4k)x + 8k2 8k 4= 0,MP的方程为y + 1 = k(x+ 2)，与椭圆C的方程联立，得(1 + 2k2)x2+ (8 k2则一2

4、, X1是该方程的两根，则一8k2 8k 4 4 k2 + 4k + 22X1 一2 ，即 X1 一2.1 + 2k21 + 2 k2设直线MQ的方程为y + 1 = k(x+ 2)，同理得4k2 4k+ 28k因 y1 + 1 = k(x1 + 2), y2 + 1 = k(x2 + 2)，故 kPQ =1x2k(x1 + 2) + k(x2+ 2)=X1 X2k(x1 + X2+ 4)=X1 x21 + 2k28k=1，因1 + 2k2此直线PQ的斜率为定值.x2拓展1 ：椭圆2 +ab2=1(a b 0)上任意点P(xo,y o)作两条倾斜角互补的两条直线交椭圆分别为A、B两点.求证：直

5、线AB的斜率为定值b2xoa2yo22丘拓展2 :已知椭圆C: X2 +書=1(ab0)的一个焦点为(5, 0)，离心率为龙5 a b3(1)求椭圆C的标准方程;(2) 若动点P(X0, y0)为椭圆C外一点，且点P到椭圆C的两条切线相互垂直，求点P的轨迹方程.解：(1)c5, e - -, a 3,b2 a2 c29 5 4,a a 32 2椭圆c的标准方程为: y 1.94(2)若一切线垂直x轴，则另一切线垂直于y轴，则这样的点P共 4个, 它们的坐标分别为(3, 2),(3, 2).若两切线不垂直于坐标轴，设切线方程为y y0k(x x0),2 2即y k(x x0) y0,将之代入椭圆

6、方程 乂 1中并整理得:94(9k2 4) x2 18k(y0 kx0)x 9 (y0 kx0)2 40,依题意，0,即：(18k)2(y kx。)2 36 (y l)2 4 (9k2 4) 0,即4(y kx。)2 4(9k2 4) 0,(x02 9)k2 2x0y0k y02 4 0,Q 两切线相互垂直，k,k21,即：竺-1,X09x02 y0213,显然(3, 2),(3, 2)这四点也满足以上方 程，点P的轨迹方程为x2 y213.x2 2x b(x R)的图像与两坐标轴有三个交点,探究3:设平面直角坐标系 xOy中，设二次函数f(x)过这三个交点的圆记为 C.求:(1)求实数b的取

7、值范围;(2) 求圆C的方程；(3) 问圆C是否经过某定点(其坐标与 b无关)？请证明你的结论解:由f(0)0解得b 1且b 0 ；(2)设二次函数与x轴的两个交点分别为(X|,0)和(X2,0)，则X和X2是关于x的方程2x b 0的两个不同解，设圆C方程为Dx Ey F 0，将点(Xi，0)，(X2，0)，(0,b)分别代2X1入圆方程有 x2b2Dx1 F 0,Dx2 F 0,Eb F 0,由前两个方程可知X|和X2是关于x的方程x2Dx F0的两个不同解,所以D 2,F b，代入第三个方程解得E b 1 ,所以圆C方程为2 2x y 2x (bi)y b o ；(3 )由(2)圆C方程

8、整理为xy2 2x yb(i y)0，令2x(-2,1)和(0,1).(1)求椭圆的标准方程;(2)证明P,Q两点的横坐标的平方和为定值;(3)解:(1)设椭圆的标准方程为名b=1(ab0).由题意得3 a 2, e c 3 , b 1,2椭圆的标准2方程为y21 ;4(2)证明：设点 P(x1, y1),Q(x2, y2)将丄x m带入椭圆，2化简得:x2 2mx 2(m2 1)0 2x1 x22 m, x1x2 2(m 1),2X1xf (x1 x2)2 2x1x24 ,P,Q两点的横坐标的平方和为定值4.m3PQ中点M(m,),PQ的垂直平分线的方程为：y2x m,2L_2圆心(D,E3

9、E)满足y 2x m，所以3Dm 222 22(3)法1:设圆的一般方程为：x2 y2 Dx Ey F 0 ,则圆心为( 一，一)2 2圆过定点(2,0)，所以4 2D F 0圆过X12 2y1Dx1Ey1F0,两式相加得Ph ,yJ,Q(x2,y2),则122X2y2Dx2Ey2F0,2X12X22y12y2DXtDx2E%Ey22F0,2X12X2(12乞)(12X2)D(X!X2)Ey?)2F 0,44Q y1y2m,5 2mDmE 2F 0 A点重合)所以1因为动直线y x m2C交与P,Q (均不与1,3(m 1)3335D , E m -, F m -,42222代入圆的方程为：2

10、X2y3(m1)4整理得:2(X y2 33Xy5)4222 23350,x y-Xc y所以：4223330,Xy一422由解得所以圆过定点(0,1).X(过点A,P,Q的动圆记为圆 C ,已知动圆C过定点A和B (异于点A),请求出定点 B的坐标.m2i)y3 m2-02333m(Xy)05422法2 :设圆的一般方程为2y DxEy F2 2x2 y2 Dx Ey F 00 ,联立 1消去y得到:y - x m2x24(m D5E)x 4(m2 Em F) 0，由题可知方程和同解252m12m/_k4 一 55 一2E - 2mD E,又有圆过点A ,可得4 2D F由上述三个方程联立可

11、得3(m 1)4拓展：试证明如下定理:x2相交于P,Q两个不同点(也不同于椭圆的右顶2定理 设斜率为k的直线与椭圆笃a点A),则过P,Q,A的圆恒过一个异于点A的顶点Ba2k2 b2 b 2abk22 2 , b 22 2 a k +b a k +b证明：设圆的一般方程为DxEy F 0，直线PQ的方程为：ykxm。将直线方程代入圆的方程得：k2 1x22kmD kE xmE(1)联立直线与椭圆方程得:b2 x2 2a2kmx2b2(2)方程(1)与方程(2)为同解方程，所以k21a2k2 b22kmD kE22a km2 m2 2 2 2 a m a bmE F2又圆过点A a,0，则a2

12、aD F=0从而我们可得到关于 D, E,F的三元一次方程组aDkEmE2a2kmc22 2 2 a k b2 2 2. 2c m a b2 2a ka2b2k2b解得上述方程组的解为:kmc2 ac2k2a2k2 b2mc2 ac2ka2k2 b2a2b2+a2b2k2 akmc2a2k2代入圆的方程为:x2kmc2 ac2k2 a2k2b22 2.me ac k2 2 2a k ba2b2+a2b2k2a2k2akmc200整理得:2 ,2 2 a k b x2 2 2ac k x ac kya2b2c2 kx y ak m 02所以xac2k2x解得:kxa2k2 b2ak 0ac2k a2k2b22 2 2 2 2a b k a ba2k2 b20 （舍）k2 b2| 2 .2