大工12秋《工程力学》辅导资料十1

1、工程力学（二）辅导资料十 主 题：第三章结构力学知识回顾（第5节） 学习时间：2012年12月3 日- 12月9日 内 容： 这周我们将学习本周我们将学习结构力学中位移法和力矩分配法部分的内 容，希望通过下面的学习，使同学们掌握位移法和力矩分配法求解超静定结构的 基本思路和方法。 基本要求与重点： 1. 掌握位移法的基本概念，能够正确判断位移法基本未知量的个数； 2. 熟悉等截面杆件的转角位移方程，熟记一些常用的形常数和载常数； 3. 掌握位移法典型方程的建立、位移法方程中系数和自由项的计算及其物理 意义； 4. 掌握转动刚度、分配系数和传递系数的物理意义； 5. 掌握单节点的力矩分配。 一、

2、位移法的基本概念 1. 位移法的基本概念和解题要点 结构的内力和位移之间，恒具有一定的关系。因此，也可把结构的某些位移 作为基本未知量，首先求出这些位移，然后再据以确定结构的内力，这就是位移 法。 位移法是以独立的节点位移作为基本未知量， 根据平衡条件，并利用物理条 件、变形协调条件建立求解节点位移的方程。首先求出位移，然后求出杆端力， 绘制内力图。 位移法的基本结构是单跨超静定梁的组合体系。应用位移法时，需要解决三 个问题： 确定单跨梁在各种因素作用下的杆端力。 确定结构独立的结点位移。 建立求解结点位移的位移法方程。 上述解题过程，主要有两步： （1）拆散结构，分析各根杆件（单跨超静定梁）

3、，用杆端位移表示杆端力； （2）各根杆件联结组成结构，利用变形谐调条件和平衡条件，建立求解结点 位移的方程。 位移法是以独立结点位移作为基本未知量，根据平衡条件，并利用物理条件、 变形谐调条件建立求解结点位移的方程， 首先求出位移。然后利用转角位移方程 求出杆端力，绘制内力图。 下面先看第一个问题：确定单跨梁在各种因素作用下的杆端力。 2. 位移法的正负符号规定 （1 ）杆端弯矩对杆端以顺时针为正，对结点或支座以逆时针为正。 （2）剪力使分离体有顺时针转动趋势时为正，否则为负。（与材料力学相同） （3 ）杆端转角BA、BB，弦转角都以顺时针为正。 3.单跨超静定梁的内力分析 (1) 形常数 由

4、单位杆端位移引起的单跨超静定梁的杆端力，详见下表 率隽趣靜定梁简图 Qae Qra N1 Ib M 2/ 肱詞 -% - 3/ 0 -呀 為一-乜 0 fl i -i 0 (2) 载常数 由跨中荷载引起的固端力，详见下表 单跨超挣定梁简图 12 PI 12 PI T 3PI I6- 二、位移法基本未知量数目 位移法的基本未知量为独立的结点角位移和独立的结点线位移。确定基本未 知量及其数目的方法两种附加约束装置：（1 ）附加刚臂，只能阻止结点转动， 不能阻止结点移动；（2）附加链杆，只能阻止结点沿某一方向的移动，不能阻 止结点转动。 确定刚架结构独立结点线位移的数目时，可先将原结构的刚结点改为铰

5、结 点，固定支座改为固定铰支座，然后对所得铰结链杆体系作几何组成分析， 是几 何可变体系或瞬变体系，则加入附加链杆，使其成为几何不变体系，所需附加链 杆的最少数目，就是原结构独立结点线位移数目。 三、位移法的基本体系和典型方程 1.位移法的基本体系 在原结构上增加附加约束（刚臂、链杆）则可得到结构，基本结构在荷载和 基本未知量共同作用下的体系称为原结构的基本体系。 基本姑构 基本体系 2.位移法典型方程 (1) 有一个基本未知量的位移法方程 式中，Rp为固定结点后附加刚臂上产生的反力矩；弘为结点位移乙引起的约 束反力矩；R为附加约束的总反力矩。 (2)有两个基本未知量的方程 ri1 乙 ri2

6、Z2 Rp = 0 r21 Z1 r22 Z2 R2P =0 (3 )有门个基本未知量的方程 11乙ri2Z2 . rinZn R1P = 0 D1Z1 22Z 2 .2nZn R?p = 0 rnlZi -环2乙2 - . - rnnZn RnP = 0 式中，rii为主系数，基本未知量Zi =1时引起的Zi处附加约束的反力；rij为副系 数，基本未知量Zj =1时引起的乙处附加约束的反力，由反力互等定理知rj =ji， rj反映结构的刚度，因此称为刚度系数；Rp为自由项，是荷载作用时引起的乙处 附加约束的反力。 （4 ）位移法方程的物理意义 基本体系在荷载等外因和各结点位移共同作用下产生的

7、附加约束中的反力 （矩）等于零。实质上是原结构应满足的平衡条件 四、用位移法求解连续梁和无侧移刚架 位移法计算步骤： （1）确定位移法基本未知量及其数目； （2）建立基本体系，在原结构上增加附加约束; （3）建立位移法方程； （4）计算刚度系数和自由项； （5）求解位移方程，得各结点的位移； （6 ）作内力图 五、用位移法求解有侧移刚架 位移法基本未知量包括结点角位移和结点线位移，计算步骤为: （1）确定基本未知量，建立基本体系； （2）列位移法方程； (3) 计算刚度系数和自由项； (4) 解算位移法方程，得各结点位移; (5) 作内力图 六、直接利用平衡条件建立位移法方程 为了计算结点位移

8、，可以先拆散结构，利用转角位移方程用杆端位移表示各 根杆件的杆端力。然后，再将各杆件联结组成原结构，根据各杆端力应满足的平 衡条件，建立位移法方程。最后求出各结点位移。这一方法思路清晰，过程简洁 1. 截面直杆的转角位移方程 各种因素共同作用下杆端弯矩的表达式称为转角位移方程。 两端固定梁转角位移方程: 一端固定一端铰支梁转角位移方程: M AB = 3i A -匚 AB M AB 一端固定一端定向支承梁转角位移方程: M A - i A M AB M ba 二一iA M ba 2. 直接列平衡方程法 位移法方程实质上是静力平衡方程。对于结点角位移，相应的是结点的力矩 平衡方程；对于结点线位移

9、，相应的是截面的投影平衡方程。用基本体系方法计 算时，是借助于基本体系这个工具，以达到分步、分项写出平衡方程的目的。 也可以不用基本体系，直接由转角位移方程，写出各杆件的杆端力表达式， 在有结点角位移处，建立结点的力矩平衡方程；在有结点线位移处，建立截面的 投影平衡方程。这些方程也就是位移法的基本方程。 3. 求解步骤： （1）确定基本未知量； （2 ）由转角位移方程，写出各杆端力表达式； （3）在由结点角位移处，建立结点的力矩平衡方程，在由结点线位移处， 建立截面的剪力平衡方程，得到位移法方程； （4）解方程，求基本未知量； （5）将已知的结点位移代入各杆端力表达式，得到杆端力； （6）按杆

10、端力作弯矩图。 七、位移法与力法的比较 位移法 力法 求解依据 综合应用静力平衡、变形连续及物理关系这三方面的条件，使基 本体系与原结构的变形和受力情况 典型方程求解原结构。 1 一致，从而利用基本体系建立 基本未知量 独立的结点位移，基本未知量 多余未知力，基本未知量的数 与结构的超静定次数无关。 目等于结构的超静定次数。 加入附加约束后得到的一组单 去掉多余约束后得到的静定结 基本体系 跨超静定梁作为基本体系。对 构作为基本体系，同一结构可 同一结构，位移法基本体系是 唯一的。 选取多个不同的基本体系。 基本体系在荷载等外因和各结 基本体系在荷载等外因和多余 典型方程的物 点位移共同作用下

11、产生的附加 未知力共同作用下产生多余未 理意义 约束中的反力（矩）等于零。 知力方向的位移等于原结构相 实质上是原结构应满足的平衡 应的位移。实质上是位移条件。 条件。方程右端项总为零。 方程右端项也可能不为零。 系数的物理意 rij表示基本体系在Zj=1作用卜 3表示基本体系在Xj=1作用卜 义 产生的第i个附加约束中的反 产生的第i个多余未知力方向的 力（矩）； 位移； 自由项的物理 Rip表示基本体系在荷载作用 iP表示基本体系在荷载作用卜 意义 下产生的第i个附加约束中的 产生的第i个多余未知力方向的 反力（矩）； 位移； 方法的应用范 只要有结点位移，就有位移法 只有超静定结构才有多

12、余未知 围 基本未知量，所以位移法既可 力，才有力法基本未知量，所 求解超静定结构，也可求解静 以力法只适用于求解超静定结 定结构。构 八、力矩分配法 力矩分配法是基于位移法的逐步逼近精确解的近似方法。从数学上说，是 种异步迭代法，单独使用时只能用于无侧移（线位移）的结构。 1. 力矩分配法的基本概念 （1）转动刚度和传递系数 转动刚度（劲度系数）S Sti = 41 L：带 MR (IM rxnniw 3 3 (1) 判定基本未知量的个数 n=1 ； (2) 形成基本体系； (3) 建立位移法方程； k11 - F1P 二 0 (4) 计算系数与自由项; Fip 二 M： MiMi：二 Mi

13、 结点不平衡力矩用Mi表示。Mi=VMjF 转动刚度：单跨超静定梁ij，使i端产生单位转角i=1时，所需施加的力矩, 称为ij杆在i端的转动刚度，用Sij表示。它反映杆端对转动的抵抗能力，转动 刚度Sij对近端而言。 Sij与杆的i (材料的性质、横截面的形状和尺寸、杆长)及远端支承有关， 而与近端支承无关。因此，在确定杆端转动刚度时：近端看位移(是否为单位转 动），远端看支承（远端支承不同，转动刚度不同） （5）解方程，求结点位移 Fip M i kii二 S| 结点位移与结点的不平衡力矩、转动刚度有关 （6）作M图 M i2 = 3ii2 M i2 = S2 M1 F 12 S12 IS

14、- Mi Mi； -i2 -Mi Mi2 M i3 = ii3 = i M i - Si3 些 1+Mi； S13 ZS - Mi MR = Ji3 -Mi Mi3 M i4 = 4ii4 M ： = Si4 I+Mi4 -Si4 -Mi Mi； ZS = J14 - Mi Mi： Sij（自已杆的转动刚度） 各杆的弯矩分配系数% X （各杆的转动刚度） j =i 传递系数Cj：当杆的近端有转角时，远端弯矩与近端弯矩的比值，称为由 i 向j端传递弯矩时的传递系数。 M C Cj - M I/2 远端固定 Cij - * 0 远端铰支 厂i 远端疋向 近端弯矩： M * =M + Mj 远端弯矩

15、： M = M C + M F M C 二 Cj M ； 各杆端弯矩得到以后，利用弯矩图的区段叠加法，可得到各杆的弯矩图。 固定结点：在结点处加入刚臂，计算固端弯矩和结点不平衡力矩。 放松结点：即取消刚臂，相当施加反向不平衡力矩，各杆近端得分配弯矩， 各杆远端得到传递弯矩，将各杆端固端弯矩与所得分配弯矩或传递弯矩叠加，得 到各杆端的最后弯矩，然后用区段叠加法即可得到原结构的弯矩图。 3. 力矩分配法的解题步骤 （1 ）计算结点处各杆件的弯矩分配系数； 口S（自已杆的转动刚度） % 一 Sj （各杆的转动刚度之和） （2）计算各杆的固端弯矩MijF （查表）和结点的不平衡力矩MjF ； （3）计

16、算分配弯矩Mj与传递弯矩M,； Mij -MiF M jC 二 Cj Mi/ （4 ）计算最后各杆端弯矩； M j （杆端弯矩）八M ：（各分配弯矩） a M C（各传递弯矩）Mj （固端弯矩） （5）作内力图； （6）校核（结点平衡）。 4. 用力矩分配法计算连续梁和无结点线位移的刚架 （1）单结点分配 设有如图所示单结点（位移）结构。 首先锁定结点使无位移。 由载常数可获得AC、CB杆的固端弯矩，此时附加刚臂上产生不平衡力矩 mCa mcb 放松结点（反向加不平衡力矩）使产生实际结点位移，此时可分配和传递计算 分配和传递弯矩。 锁定结果和放松结果叠加，结点达到平衡、产生实际结点位移，这就是

17、位移 法的结果 因此杆端最终弯矩由固端弯矩和分配弯矩 （或传递弯矩）相加得到，这时结 果是精确解 （2 ）多结点力矩分配 对多结点（位移）结构，力矩分配法的思路是：首先将全部结点锁定，然后从 不平衡力矩最大的一结点开始，在锁定其他结点条件下放松该结点使其达到平 衡”包括分配和传递）。 接着重新锁定该结点，放松不平衡力矩次大的结点，如此一轮一轮逐点放松， 直至不平衡力矩小到可忽略。 最后累加固端、分配和传递得结果。 因为分配系数小于1,传递系数也小于1（因为定向支座处不分配），因此一 轮分配、传递后，新的不平衡力矩一定比原来的小，理论上经过无限次分配、传 递结构一定达到平衡，也即可以获得问题的精

18、确解。 由力矩分配法思路可知，对多结点问题它是一种逐渐逼近精确解的近似方 法。实际应用时，一般只进行二、三轮的分配和传递 (考试只进行二轮即可)。 分配和传递可从任意一点开始，前述从不平衡力矩最大点开始，经验证明这样可 加速收敛。 附：相关习题 解：(1)有两个基本未知量，基本体系如图 (2) 位移法方程 kn1k122Rp= 0 k2i1k222F2P= 0 4/ 2i 2/ I 4; (3) 计算系数项 (4)计算自由项 4i 灯二 4 4i 二 8i k21 = 2i 3i k22 = 4i 3i i = 8i k12 =2i (5 )代入位移法方程，得 ql2 8i 2i 0 2 3q|2 2L：28l：20 16 29ql2 厶 i - 480i ：2 20i (6 )作弯矩图 M 二Mi M2JMP 2 ql 3J qt 1 理 、a 石显 29g严 120 产 240 2.用力矩分配法计算图示结构，并作M图。EI=常数。 =*ElElKCEl r7皿Tzz皿 3m亠3m亠3 m- rn rt 解(1)简化悬臂端如图(a)所示，视BC段为左端固定右端铰支 30kN m445kNa) (2)计算分配系数：设iAB =iBB号1 B节点 -BA SBA SBC SBC SBA SB