(完整版)八个有趣模型——搞定空间几何体的外接球与内切球(教师版)

1、八个有趣模型搞定空间几何体的外接球与内切球一、有关定义1球的定义：空间中到定点的距离等于定长的点的集合（轨迹）叫球面，简称球.2外接球的定义：若一个多面体的各个顶点都在一个球的球面上，则称这个多面体是这个球的内接多面体，这个球是这个多面体的外接球.3内切球的定义：若一个多面体的各面都与一个球的球面相切，则称这个多面体是这个球的外切多面体，这个球是这个多面体的内切球.二、外接球的有关知识与方法1性质：性质1：过球心的平面截球面所得圆是大圆，大圆的半径与球的半径相等；性质2：经过小圆的直径与小圆面垂直的平面必过球心，该平面截球所得圆是大圆；性质3：过球心与小圆圆心的直线垂直于小圆所在的平面（类比：

2、圆的垂径定理）性质4：球心在大圆面和小圆面上的射影是相应圆的圆心；性质5：在同一球中，过两相交圆的圆心垂直于相应的圆面的直线相交，交点是球心（类比：在同圆中，两相交弦的中垂线交点是圆心）.a1d1po2b1c1coocmo1baao1bdenf初图1初图22结论：结论1：长方体的外接球的球心在体对角线的交点处，即长方体的体对角线的中点是球心；结论2：若由长方体切得的多面体的所有顶点是原长方体的顶点，则所得多面体与原长方体的外接球相同；结论3：长方体的外接球直径就是面对角线及与此面垂直的棱构成的直角三角形的外接圆圆心，换言之，就是：底面的一条对角线与一条高（棱）构成的直角三角形的外接圆是大圆；结

3、论4：圆柱体的外接球球心在上下两底面圆的圆心连一段中点处；结论5：圆柱体轴截面矩形的外接圆是大圆，该矩形的对角线（外接圆直径）是球的直径；结论6：直棱柱的外接球与该棱柱外接圆柱体有相同的外接球；结论7：圆锥体的外接球球心在圆锥的高所在的直线上；结论8：圆锥体轴截面等腰三角形的外接圆是大圆，该三角形的外接圆直径是球的直径；结论9：侧棱相等的棱锥的外接球与该棱锥外接圆锥有相同的外接球.3终极利器：勾股定理、正定理及余弦定理（解三角形求线段长度）；三、内切球的有关知识与方法1若球与平面相切，则切点与球心连线与切面垂直.（与直线切圆的结论有一致性）.2内切球球心到多面体各面的距离均相等，外接球球心到多

4、面体各顶点的距离均相等.（类比：与多边形的内切圆）.3正多面体的内切球和外接球的球心重合.4正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上，但不一定重合.5基本方法：（1）构造三角形利用相似比和勾股定理；（2）体积分割是求内切球半径的通用做法（等体积法）.四、与台体相关的，此略.1五、八大模型第一讲柱体背景的模型类型一、墙角模型（三条棱两两垂直，不找球心的位置即可求出球半径）ppppccccbaabcacbabaabbcaabbc图1-1图1-2图1-3图1-4方法：找三条两两垂直的线段，直接用公式(2r)2=a2+b2+c2，即2r=a2+b2+c2，求出r例1（1）已知各顶点都在同一球面上的正四棱柱

5、的高为4，体积为16，则这个球的表面积是（c）a16pb20pc24pd32p解：v=a2h=16，a=2，4r2=a2+a2+h2=4+4+16=24，s=24p，选c；（2）若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的表面积是9p解：4r2=3+3+3=9，s=4pr2=9p；（3）在正三棱锥s-abc中，m、n分别是棱sc、bc的中点，且ammn,若侧棱sa=23,则正三棱锥s-abc外接球的表面积是.36p解：引理：正三棱锥的对棱互相垂直.证明如下：如图（3）-1，取ab,bc的中点d,e，连接ae,cd，ae,cd交于h，连接sh，s则h是底面正三角形abc的中心，acs

6、h平面abc，shab，dheqac=bc，ad=bd，cdab，ab平面scd，absc，同理：bcsa，acsb，即正三棱锥的对棱互垂直，本题图如图（3）-2，qammn，sb/mn，b(3)题-1(引理）samsb，qacsb，sb平面sac，sbsa，sbsc，qsbsa，bcsa，msa平面sbc，sasc，ac故三棱锥s-abc的三棱条侧棱两两互相垂直，(2r)2=(23)2+(23)2+(23)2=36，即4r2=36，正三棱锥s-abc外接球的表面积是36p.2nb(3)题-2（解答图）a.11pb.7pc.10（4）在四面体s-abc中，sa平面abc，bac=120,sa=

7、ac=2,ab=1,则该四面体的外接球的表面积为（d）40pd.p33解：在dabc中，bc2=ac2+ab2-2abbccos120o=7，bc=7，dabc的外接球直径为2r=，(2r)2=(2r)2+sa2=(bc72727=)2+4=sinbac33340340p，s=，选d3bc=8，abc=24，a=3，b=4，c=2，(2r)2=a2+b2+c2=29，s=4pr2=29p，ac=62（5）如果三棱锥的三个侧面两两垂直，它们的面积分别为6、4、3，那么它的外接球的表面积是解：由已知得三条侧棱两两垂直，设三条侧棱长分别为a,b,c（a,b,cr+），则ab=12（6）已知某几何体的

8、三视图如图所示，三视图是腰长为1的等腰直角三角形和边长为1的正方形，则该几何体外接球的体积为3382解：(2r)2=a2+b2+c2=3，r2=44333v=pr3=p=p，球34，r=p32(6)题图acb（6）题直观图类型二、对棱相等模型（补形为长方体）题设：三棱锥（即四面体）中，已知三组对棱分别相等，求外接球半径（ab=cd，ad=bc，ac=bd）第一步：画出一个长方体，标出三组互为异面直线的对棱；第二步：设出长方体的长宽高分别为a,b,c，ad=bc=x，axab=cd=y，ac=bd=z，列方程组，yzzdycc2+a2=z2a2+b2=x2b2+c2=y2(2r)2=a2+b2+

9、c2=x2+y2+z22，xba图2-1bc补充：图2-1中，va-bcd11=abc-abc4=abc.633+b+c第三步：根据墙角模型，2r=a222=x2+y2+z22，r2=x2+y2+z28，r=x2+y2+z28，求出r.思考：如何求棱长为a的正四面体体积，如何求其外接球体积？例2（1）如下图所示三棱锥a-bcd，其中ab=cd=5,ac=bd=6,ad=bc=7,则该三棱锥外接球的表面积为.解：对棱相等，补形为长方体，如图2-1，设长宽高分别为a,b,c，2(a2+b2+c2)=25+36+49=110，a2+b2+c2=55，4r2=55，s=55pabdc(1)题图（2）在

10、三棱锥a-bcd中，ab=cd=2，ad=bc=3，ac=bd=4，则三棱锥a-bcd外接球的表面积为.292p解：如图2-1，设补形为长方体，三个长度为三对面的对角线长，设长宽高分别为a,b,c，则a2+b2=9，b2+c2=4，c2+a2=162(a2+b2+c2)=9+4+16=29，2(a2+b2+c2)=9+4+16=29，a2+b2+c2=292929，4r2=，s=p222（3）正四面体的各条棱长都为2，则该正面体外接球的体积为pacb（3）解答题解：正四面体对棱相等的模式，放入正方体中，2r=3，r=324333，v=p=p382（4）棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个球面

11、上，若过该球球心的一个截面如下图，则图中三角形(正四面体的截面)的面积是.4o2cpoao1b(4)题(4)题解答图解：如解答图，将正四面体放入正方体中，截面为pco，面积是2.1类型三、汉堡模型（直棱柱的外接球、圆柱的外接球）a1o2b1c1fa1c1o2b1a1b1c1o2fooocccao1beao1babo1e图3-1图3-2图3-3题设：如图3-1，图3-2，图3-3,直三棱柱内接于球（同时直棱柱也内接于圆柱，棱柱的上下底面可以是任意三角形）第一步：确定球心o的位置，o是abc的外心，则oo11平面abc；22第二步：算出小圆o的半径ao11r，oo111aa1h（aa1；h也是圆柱

12、的高）第三步：勾股定理：oaoa2212oor21h()22r2rhr2()2，解出r2例3（1）一个正六棱柱的底面上正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为98，底面周长为3，则这个球的体积为正六棱柱的底面积为s63428881解：设正六边形边长为a，正六棱柱的高为h，底面外接圆的半径为r，则a，2133339()2，vshh，h3，4r212(3)24柱也可r2(314)2()21），r1，球的体积为v球223；（2）直三棱柱abcabc的各顶点都在同一球面上，若abacaa111球的表面积等于.512,bac120，则此解：bc=23，2r=23

13、=4，r=2，r=5，s=20p；sin120oe（3）已知deab所在的平面与矩形abcd所在的平面互相垂直，ea=eb=3,ad=2,aeb=60，则多面体e-abcd的外接球的表面积为.16po1mr1r1aroo2rr2d解：折叠型，b（3）题c法一：deab的外接圆半径为r=13，oo=1，r=1+3=2；12244法二：om=1313313，r=od=，r2=+=4，r=2，s=16p；22表法三：补形为直三棱柱，可改变直三棱柱的放置方式为立式，算法可同上，略.换一种方式，通过算圆柱的轴截面的对角线长来求球的直径：(2r)2=(23)2+22=16，s表=16p；3,aa=4，则直

14、三棱柱abc-abc的外接（4）在直三棱柱abc-abc中，ab=4,ac=6,a=111p1111球的表面积为.1603p解：法一：bc2=16+36-2461274727=28，bc=27，2r=，r=，23332r2=r2+(aa28表=401601)2=+4=，s2333p；法二：求圆柱的轴截面的对角线长得球直径，此略.第二讲锥体背景的模型类型四、切瓜模型（两个大小圆面互相垂直且交于小圆直径正弦定理求大圆直径是通法）ppppooo111aocaooccaacbbbb图4-1图4-2图4-3图4-41如图4-1，平面pac平面abc，且abbc（即ac为小圆的直径），且p的射影是dabc

15、的外心三棱锥p-abc的三条侧棱相等三棱p-abc的底面dabc在圆锥的底上，顶点p点也是圆锥的顶点.解题步骤：第一步：确定球心o的位置，取dabc的外心o，则p,o,o三点共线；11第二步：先算出小圆o的半径ao=r，再算出棱锥的高po=h（也是圆锥的高）；1116第三步：勾股定理：oa2=oa2+oo2r2=(h-r)2+r2，解出r；11事实上，dacp的外接圆就是大圆，直接用正弦定理也可求解出r.2如图4-2，平面pac平面abc，且abbc（即ac为小圆的直径），且paac，则利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：(2r)2=pa2+(2r)22r=pa2+(2r)2；r2=r2+oo2

16、r=1r2+oo213如图4-3，平面pac平面abc，且abbc（即ac为小圆的直径）oc2=oc2+oo2r2=r2+oo2ac=2r2-oo211114题设：如图4-4，平面pac平面abc，且abbc（即ac为小圆的直径）第一步：易知球心o必是dpac的外心，即dpac的外接圆是大圆，先求出小圆的直径ac=2r；第二步：在dpac中，可根据正弦定理abc=2r，求出r.sinasinbsinc例4（1）正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为1，底面边长为23，则该球的表面积为.解：法一：由正弦定理（用大圆求外接球直径）；法二：找球心联合勾股定理，2r=7，s=4pr2=49p；（

17、2）正四棱锥s-abcd的底面边长和各侧棱长都为2，各顶点都在同一球面上，则此球体积为解：方法一：找球心的位置，易知r=1，h=1，h=r，故球心在正方形的中心abcd处，r=1，v=4p3方法二：大圆是轴截面所的外接圆，即大圆是dsac的外接圆，此处特殊，rtdsac的斜边是球半径，2r=2，r=1，v=4p3.（3）一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是（）bcda3343333412解：高h=r=1，底面外接圆的半径为r=1，直径为2r=2，设底面边长为a，则2r=asin60o=2，a=3，s=33313a2=，三棱锥的体

18、积为v=sh=4434；apb.p（4）在三棱锥p-abc中，pa=pb=pc=3,侧棱pa与底面abc所成的角为60o，则该三棱锥外接球的体积为（）4pc.4pd.33解：选d，由线面角的知识，得dabc的顶点a,b,c在以r=32为半径的圆上，在圆锥中求解，r=1；（5）已知三棱锥s-abc的所有顶点都在球o的求面上,dabc是边长为1的正三角形,sc为球o的直径,且sc=2，则此棱锥的体积为（）a7a3222bcd6632333436解：oo=r2-r2=1-(136)2=3326113262，h=，v=sh=球类型五、垂面模型（一条直线垂直于一个平面）1题设：如图5，pa平面abc，求

19、外接球半径.pocao1b图5d解题步骤：第一步：将dabc画在小圆面上，a为小圆直径的一个端点，作小圆的直径ad，连接pd，则pd必过球心o；第二步：o为dabc的外心，所以oo平面abc，算出小圆o的半径od=r（三角形的外接圆直1111径算法：利用正弦定理，得asinasinbsinc2，bc1=2r）oo=1pa；第三步：利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：(2r)2=pa2+(2r)22r=pa2+(2r)2；r2=r2+oo2r=1r2+oo2.12题设：如图5-1至5-8这七个图形，p的射影是dabc的外心三棱锥p-abc的三条侧棱相等三棱锥p-abc的底面dabc在圆锥的底上，顶

20、点p点也是圆锥的顶点.ppppooooccccao1bao1babo1ao1bd图5-1图5-2图5-3图5-48ppp2bao2dcbao2cabodooo图5-6图5-7图5-8解题步骤：第一步：确定球心o的位置，取dabc的外心o，则p,o,o三点共线；11第二步：先算出小圆o的半径ao=r，再算出棱锥的高po=h（也是圆锥的高）；111第三步：勾股定理：oa2=oa2+oo2r2=(h-r)2+r2，解出r11方法二：小圆直径参与构造大圆，用正弦定理求大圆直径得球的直径.例5一个几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球的表面积为()ca3pb2pc16p3d以上都不对2222p22r正

21、视图侧视图2or2m1o11n俯视图解答图解：选c，法一：（勾股定理）利用球心的位置求球半径，球心在圆锥的高线上，(3-r)2+1=r2,r=2316,s=4pr2=p；3圆，于是2r=2法二：（大圆法求外接球直径）如图，球心在圆锥的高线上，故圆锥的轴截面三角形pmn的外接圆是大4=，下略；sin60o3第三讲二面角背景的模型类型六、折叠模型题设：两个全等三角形或等腰三角形拼在一起，或菱形折叠(如图6)9aoh2daeh1cb图6第一步：先画出如图6所示的图形，将dbcd画在小圆上，找出dbcd和dabd的外心h和h；12第二步：过h和h分别作平面bcd和平面abd的垂线，两垂线的交点即为球心

22、o，连接oe,oc；12第三步：解doeh，算出oh，在rtdoch中，勾股定理：oh2+ch2=oc211111注：易知o,h,e,h四点共面且四点共圆，证略.12例6（1）三棱锥p-abc中，平面pac平面abc，pacabc均为边长为2的正三角形，则三棱锥p-abc外接球的半径为.sin60o333解：如图，2r=2r=122421=，r=r=，oh=122，p333145r2=oh2+r2=+=，r=21153；o2ao法二：oh=13331，oh=，ah=1，215r2=ao2=ah2+oh2+oo2=，r=11153；bho1（1）题c（2）在直角梯形abcd中，ab/cd，a=9

23、0o，c=45o，ab=ad=1，沿对角线bd折成四面体a-bcd，使平面abd平面bcd，若四面体a-bcd的顶点在同一个球面上，则该项球的表面积为4psa2ad2r2ddo2or1c1o1b(2)题-1cbm(2)题-2ocr12ab(3)题2解：如图，易知球心在bc的中点处，s表=4p；10（3）在四面体s-abc中，abbc，ab=bc=面体s-abc的外接球表面积为6p2，二面角s-ac-b的余弦值为-33，则四解：如图，法一：cossob=cos(ooo+112p2)=-33，sinooo=3336，cosooo=，1212cosooooo=o1o2112=2213，r2=1+=，

24、s=4pr2=6p；22法二：延长bo到d使do=bo=r，由余弦定理得sb=11116，sd=2，大圆直径为2r=sb=6；（4）在边长为23的菱形abcd中，bad=60o，沿对角线bd折成二面角a-bd-c为120o的四面体abcd，则此四面体的外接球表面积为28par2od2ro2rdmdeb1o1r1c(4)题图解：如图，取bd的中点m，dabd和dcbd的外接圆半径为r=r=2，dabd和dcbd的外心o,o1212到弦bd的距离（弦心距）为d=d=1，12法一：四边形oomo的外接圆直径om=2，r=127，s=28p；法二：oo=13，r=7；法三：作出dcbd的外接圆直径ce

25、,则am=cm=3，ce=4，me=1，ae=7，ac=33，274=-cosaec=7+16-27127，sinaec=3327，2r=ac33=27，r=7；sinaec332711(5)在四棱锥abcd中，bda=120o，bdc=150o，ad=bd=2，cd=的平面角的大小为120o，则此四面体的外接球的体积为解：如图，过两小圆圆心作相应小圆所在平面的垂线确定球心，ooa3，二面角a-bd-cc抽象化o2do2dmmbo1bo1(5)题解答图-1(5)题解答图-2ab=23，r=2，弦心距om=3，bc=13，r=13，弦心距om=23，22113oooo=21，om=27，12si

26、n120o12法一：r2=od2=md2+om2=29，r=29，v=11629p球=om-om=25，r=od=r+oo法二：oo2222222=29，r=2222；29，v=球11629p3.类型七、两直角三角形拼接在一起(斜边相同,也可看作矩形沿对角线折起所得三棱锥)模型pbcoa图7题设：如图7，apb=acb=90o，求三棱锥p-abc外接球半径（分析：取公共的斜边的中点o，连接op,oc，则oa=ob=oc=op=1ab，o为三棱锥p-abc外接球球心，然后在ocp中2求出半径），当看作矩形沿对角线折起所得三棱锥时与折起成的二面角大小无关，只要不是平角球半径都为定值.例7（1）在矩

27、形abcd中，ab=4，bc=3，沿ac将矩形abcd折成一个直二面角b-ac-d，则四面体abcd的外接球的体积为（）a125125125125pbpcpdp12963544125125p=解：（1）2r=ac=5，r=，v=pr3=p，选c23386（2）在矩形abcd中，ab=2，bc=3，沿bd将矩形abcd折叠，连接ac，所得三棱锥a-bcd12的外接球的表面积为解：bd的中点是球心o，2r=bd=13，s=4pr2=13p.第四讲多面体的内切球问题模型类型八、锥体的内切球问题p1题设：如图8-1，三棱锥p-abc上正三棱锥，求其内切球的半径.第一步：先现出内切球的截面图，e,h分别

28、是两个三角形的外心；e1第二步：求dh=bd，po=ph-r，pd是侧面dabp的高；3adohc第三步：由dpoe相似于dpdh，建立等式：oepo=dhpd，解出rb图8-12题设：如图8-2，四棱锥p-abc是正四棱锥，求其内切球的半径第一步：先现出内切球的截面图，p,o,h三点共线；p1第二步：求fh=bc，po=ph-r，pf是侧面dpcd的高；2ogpo第三步：由dpog相似于dpfh，建立等式：=，解出hfpfbeaohgcfd图8-23题设：三棱锥p-abc是任意三棱锥，求其的内切球半径方法：等体积法，即内切球球心与四个面构成的四个三棱锥的体积之和相等第一步：先画出四个表面的面

29、积和整个锥体体积；o-pbc第二步：设内切球的半径为r，建立等式：vp-abc=vo-abc+vo-pab+vo-pac+v33333vp-abc11111=sr+sr+sr+sr=(sdabcpabpacpbcdabc+sdpab+spac+sdpbc)r第三步：解出r=3vp-abcs+s+so-abco-pabo-pac+so-pbcpa2例8（1）棱长为a的正四面体的内切球表面积是，6解：设正四面体内切球的半径为r，将正四面体放入棱长为a2的正方体中（即补形为正方体），如图，则bvp-abc11a3a3=v=，3正方体32262d又qvp-abc1133=4sr=4a2r=a2r，3343ca13(1)题2663a2a3r=362apa2，r=，内切球的表面积为s=4pr2=（注：还有别的方法，此略）表（2）正四棱锥s-abcd的底面边长为2，侧棱长为3，则其内切球的半径为71+22s-abcd=解：如图，正四棱锥s-abcd的高h=7，正四棱锥s-abcd的体积为v侧面斜高h=22，正四棱锥s-abcd的表面积为s=4+82，1表473正四棱