(完整版)七年级下册数学三角形全等动点问题

1、初一数学全等三角形之动点问题专题（b类）一、考点、热点回顾动点型问题是近年来中考的一个热点问题。动态几何问题就是以几何知识和具体的几何图形为背景，渗透运动变化的观点，通过点、线、形的运动，图形的平移、翻折、旋转等，对运动变化过程伴随的数量关系和图形的位置关系等进行探究。动点型问题集几何与代数知识于一体,数形结合,有较强的综合性,题目灵活多变,动中有静,动静结合,能够在运动变化中发展学生空间想象能力,综合分析能力。，等边三角形中的动点问题是首先从三角形一边上的单动点运动，引起三角形的边与角的变化，判断三角形的形状变化；其次探讨三角形两边上的双动点运动，引起三角形的角与边的变化，再从在三角边上运动

2、到三角形的边的延长线上运动，由三角形的形状探究到三角形的面积的探究等。本设计是以等边三角形为主线，点的运动引起边、角的变化，三角形的形状的判断及三角形面积的大小，抓住图形中“变”和“不变”以“不变的”来解决“变”以达到“以静制动”，变“动态问题”为“静态问题”来解。对学生分析问题的能力，对图形的想象能力，动态思维能力的培养和提高有着积极的促进作用。本节课的教学设计，注意到了问题的层次性，由浅入深，由简单到复杂，从给定结论到结论开放，以等边三角形为载体，动点在三角形的边、延长线上运动等问题串的形式，层层递进，环环相扣，让不同的学生都有收收获，有所成功，还体现出了分类讨论、等积变换、三角函数等思想

3、方法。二、典型例题1、单动点问题a引例：已知，如图abc是边长3cm的等边三角形.动点p以1cm/s的速度从点a出发，沿线段ab向点b运动.设点p的运动时间为（s），那么t=_时，pbc是直角p三角形？bc2、双动点问题引例：已知，如图abc是边长3cm的等边三角形.动点p从点a出发，沿ab向点b运动，动点q从点b出发，沿bc向点c运动，如果动点p、q都以1cm/s的速度同时出发.设运动时间为t（s），那么t为何值时，pbq是直角三角形?apbqc巩固练习，拓展思维已知，如图abc是边长3cm的等边三角形.动点p从点a出发，沿ab向点b运动，动点q从点c出发，沿射线bc方向运动.连接pq交ac

4、于d.如果动点p、q都以1cm/s的速度同时出发.设运动时间为t（s），那么当t为何值时，dcq是等腰三角形?apdbcq变式练习：1、已知，如图abc是边长3cm的等边三角形.动点p从点a出发，沿ab向点b运动，动点q从点c出发，沿射线bc方向运动.连接pq交ac于d.如果动点p、q都以1cm/s的速度同时出发.设运动时间为t（s），连接pc.请探究：在点p、q的运动过程中pcd和qcd的面积是否相等？apdbcq变式练习：、已知等边三角形abc，（1）动点p从点a出发，沿线段ab向点b运动，动点q从点b出发，沿线段bc向点c运动，连接cp、aq交于m，如果动点p、q都以相同的速度同时出发，

5、则amp=_度。(2)若动点p、q继续运动，分别沿射线ab、bc方向运动，.amp=60的结论还成立吗？aapmbmcqbqcp二、实战训练bf、如图，在等腰acb中，acbc5，ab8，d为底边ab上一动点（不与点a，重合），deac，dfbc，垂足分别为e，则dedfcefadb2、如图，在等腰rtabc中，acb=90，ac=cb，f是ab边上的中点，点d、e分别在ac、bc边上运动，且始终保持ad=ce连接de、df、ef（）求证：adfcef（）试证明dfe是等腰直角三角形3、如图，在等边dabc的顶点a、c处各有一只蜗牛，它们同时出发，分别以每分钟1各单位的速度油a向b和由c向a爬

6、行，其中一只蜗牛爬到终点时，另一只也停止运动，经过t分钟后，它们分别爬行到d,e处，请问（1）在爬行过程中，cd和be始终相等吗？（2）若蜗牛沿着ab和ca的延长线爬行，eb与cd交于点q，其他条件不变，如图（2）所示，蜗牛爬行过程中cqe的大小条件不变，求证：cqe=60（3）如果将原题中“由c向a爬行”改为“沿着bc的延长线爬行，连接de交ac于f”，其他条件不变，则爬行过程中，df始终等于ef是否正确4、如图1abcade为等边三角形，m，n分别eb，cd的中点，易证：cd=beamn是等边三角形（1）当把ade绕a点旋转到图2的位置时，cd=be是否仍然成立？若成立请证明，若不成立请说

7、明理由；（2ade绕a点旋转到图3的位置时，amn是否还是等边三角形？若是，请给出证明，并求出当ab=2ad时，adeabcamn的面积之比；若不是，请说明理由图1图2图3、如图，已知abc中，ab=ac=10厘米，bc=8厘米，点d为ab的中点（1）如果点p在线段bc上以3厘米/秒的速度由b点向c点运动，同时，点q在线段ca上由c点向a点运动若点q的运动速度与点p的运动速度相等，经过1秒后，bpd与cqp是否全等，请说明理由；若点q的运动速度与点p的运动速度不相等，当点q的运动速度为多少时，能够使bpd与cqp全等？（2）若点q以中的运动速度从点c出发，点p以原来的运动速度从点b同时出发，都

8、逆时针沿abc三边运动，求经过多长时间点p与点q第一次在abc的哪条边上相遇？adqbpc重合），以ad为一边在ad的右侧作ade，使ad=ae，dae=bac，连6、（2009年本溪）在abc中，ab=ac，点d是直线bc上一点（不与b、c接ce（1）如图1，当点d在线段bc上，如果bac=90，则bce=度；（2）设bac=a，bce=b如图2，当点d在线段bc上移动，则a，b之间有怎样的数量关系？请说明理由；当点d在直线bc上移动，则a，b之间有怎样的数量关系？请直接写出你的结论bbcaaecdd图1图2aaebcbc备用图备用图7、如图a，abc和cef是两个大小不等的等边三角形，且有

9、一个公共顶点c，连接af和be.(1)线段af和be有怎样的大小关系?请证明你的结论；(2)将图a中的cef绕点c旋转一定的角度，得到图b，(1)中的结论还成立吗?作出判断并说明理由；(3)若将图a中的abc绕点c旋转一定的角度，请你画出一个变换后的图形c(草图即可)，(1)中的结论还成立吗?作出判断不必说明理由.8、已知，如图所示，在abc和ade中，ab=ac，ad=ae，bac=dae，且点b，a，d在一条直线上，连接be，cd，m，n分别为be，cd的中点（1）求证：be=cd；am=an；（2）在图的基础上，将ade绕点a按顺时针方向旋转180o，其他条件不变，得到图所示的图形请直接

10、写出（1）中的两个结论是否仍然成立.ccnmnebdabadme图图9、直线cd经过bca的顶点c，ca=cbe、f分别是直线cd上两点，且bec=cfa=a“（1）若直线cd经过bca的内部，且e、f在射线cd上，请解决下面两个问题：如图1，若bca=90o,a=90o，则efbe-af（填“”，”或“=”号）；如图2，若0obca180o，若使中的结论仍然成立，则a与bca应满足的关系是；（2）如图3，若直线cd经过bca的外部，a=bca，请探究ef、与be、af三条线段的数量关系，并给予证明bfeaeefdcacadbbdcf图1图2图310、如图1，已知正方形abcd的边cd在正方形

11、defg的边de上，连接ae，gc.（1）试猜想ae与gc有怎样的位置关系，并证明你的结论；（2）将正方形defg绕点d按顺时针方向旋转，使e点落在bc边上，如图2，连接ae和gc.你认为（1）中的结论是否还成立？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由.附加题之等腰三角形（中考重难点之一）考点1：等腰三角形性质的应用1.如图，dabc中，ab=ac，bac=90，d是bc中点，edfd，ed与ab交于e，fd与ac交于f求证：be=af，ae=cfafebdc2.两个全等的含30o，60o角的三角板ade和三角板abc，如图所示放置，e,a,c三点在一条直线上，连结bd，取bd的中点m，连结m

12、e,mc试判断demc的形状，并说明理由mdbeac考点2：等腰直角三角形（45度的联想）1.如图1，四边形abcd是正方形，m是ab延长线上一点。直角三角尺的一条直角边经过点d，且直角顶点e在ab边上滑动（点e不与点a，b重合），另一条直角边与cbm的平分线bf相交于点f.如图141，当点e在ab边的中点位置时：通过测量de，ef的长度，猜想de与ef满足的数量关系是；连接点e与ad边的中点n，猜想ne与bf满足的数量关系是；请证明你的上述两猜想.如图142，当点e在ab边上的任意位置时，请你在ad边上找到一点n,使得ne=bf，进而猜想此时de与ef有怎样的数量关系并证明2.在rtabc中，acbc，acb90，d是ac的中点，dgac交ab于点g.（1）如图1，e为线段dc上任意一点，点f在线段dg上，且de=df，连结ef与cf，过点f作fhfc，交直线ab于点h求证：dg=dc判断fh与fc的数量关系并加以证明（2）若e为线段dc的延长线上任意一点，点f在射线dg上，(1)中的其他条件不变，借助图2画出图形。在你所画图形中找出一对全等三角形，并判断你在(1)中得出的结论是否发生改变（本小题直接写出结论，不必证明）abbhggfdecadce图图同类变式：已知：abc为等边三角形，m是bc延长线上一点，直角三角尺的一条直角边