[信息与通信]控制系统的校正研究——频率响应法

1、论文题目: 控制系统的校正研究频率响应法专 业: 电子信息工程专业姓 名： 签 名：_指导老师： 签 名: _ 摘要 摘要：近年来，自动控制系统在如今的工业和生活中，起着越来越重要的作用。所以，据用户要求的性能指标进行自动控制系统的串联校正设计有很重要的现实意义。对于给定的线性定常系统，通常通过加入串联超前、滞后或超前滞后综合校正装置，以达到提高系统的精度和稳定性的目的。该文分别给出基于频率特性法串联校正的具体设计方法，应用matlab对系统进行通用程序设计，并对实例进行仿真。仿真实例结果表明了此设计方法的有效性和实用性。【关键词】：自动控制系统；频率响应法；matlab；伯德图【论文类型】：

2、理论研究型title: correction of control systemfrequency response methodmajor: electronic & information engineeringname: signature: supervisor： signature: in recent years, automatic control systems play an increasingly important role in todays industrial and domestic.therefore, the performance according to

3、 user requirements for the automatic control system series correcting design has a very important practical significance. for a given linear time-invariant systems, usually by joining the series ahead of lag or lead and lag correction device, in order to achieve the purpose to improve the accuracy a

4、nd stability of the system. this paper gives specific design series based on the frequency characteristics correction, matlab system for generic programming, and simulation instance. the simulation results show the effectiveness and practicality of this design method.【key word】：automatic control sys

5、tem;frequency response method，matlab;bode diagram【type of thesis】：theory research 1 绪论1.1 课题研究的背景和意义 自动控制系统广泛的存在于我们的生活中和工业中，比如存在于我们身边的冰箱的温控系统，电视的频道调节系统等等。从这些例子我们可以得出所谓自动控制系统是不需要人的直接参与，利用控制器使被控对象的某些物理量或称被控量按照指定的规律变化的系统。自动控制系统特别是在工业，军事，交通，能源等领域中大量存在。被控量也有温度，压力，电流，电量，功率等。 自动控制系统需要的性能非常重要，这就离不开控制系统的校正，校

6、正是通过引入附加装置使控制系统的性能得到改善的方法 。按校正装置在控制系统中的连接方式，校正方式可分为串联校正和并联校正。 而在控制系统的串联校正中，控制系统的频率响应是反映的是系统对正弦输入信号的响应性能。频率分析法是一种图解分析法，在本文中我们主要采用bode图对系统进行校正研究。1.2 国内外研究状况及成果 自动控制方法发展至今已形成了一门非常成熟的理论和技术。自动控制技术的广泛应用，不仅使生产设备或生产过程实现了自动化，极大地提高了生产效率和产品质量，改善了劳动条件，减少了劳动强度，而且在人类征服大自然、探索新能源、发展空间技术、节能减排、防灾防减和改善人名生活等方面都发挥了重要作用。

7、 在本文中我将采用超前校正，滞后校正和超前-滞后校正的方法对不同的系统进行校正，在本文的第一部分主要对频率响应法的特性，原理和特点进行了介绍，第二部分主要对控制系统的模型和性能指标进行了介绍，第三部分举实例说明理论。1.3 论文主要研究内容及构成此次课程设计就是利用matlab对一单位反馈系统进行超前校正，滞后校正，滞后-超前校正。通过运用matlab的相关功能，绘制系统校正前后的伯德图和阶跃响应曲线，并计算校正后系统的时域性能指标。以下是本文的主要构成： （1） 绪论，阐述了课题研究的目的意义，国内外研究现状及论文的主要研究内容及构成。（2）介绍自动控制系统的基本构成，自动控制系统的校正，自

8、动控制系统的一些性能指标（3）介绍了频率响应的基本原理及其特点和基于频率响应的伯德图的概念。（4）利用频率响应法对控制系统进行超前校正、滞后校正和超前-滞后校正。（5） 总结全文。2 自动控制系统简介2.1 自动控制系统自动控制，就是在没有人直接参与的情况下，利用外加的设备或装置（控制装置），使机器、设备或生产过程（控制对象）的某个工作状态或参数（被控量）自动地按照预定的规律运行。被控对象控制器比较输入输出测量 图2-1 基本控制系统的结构2.2 控制系统的数学模型分析和设计任何一个控制系统，首要任务是建立系统的数学模型。描述系统的输入、输出变量以及系统内部各个变量之间关系的数学表达式称为系统

9、的数学模型。描写各变量动态关系的表达式称为动态数学模型，常用的动态数学模型为微分方程，传递函数，动态结构图等。由于本文设计自动控制系统校正只应用传递函数所以，着重介绍传递函数。2.2.1 传递函数 在零状态下线性非时变系统中指定输出信号与输入信号的拉普拉斯变换之比即为传递函数，线性定常系统的传递函数一般为： （2-1）传递函数的分子多项式和分母多项式经因式分解后可写为如下形式： g(s)= （2-2） 其中，(i1，2，n)是分子多项式的零点，称为传递函数的零点；(j=1,2，n)是分母多项式的零点，称为传递函数的极点。传递函数的零点和极点可以是实数，也可是复数；系数=称为传递系数2.2.2

10、传递函数的基本性质 根据传递函数的概念和一般线性定常系统的传递函数表达式（2-1），可总结出传递函数具有如下性质：1） 传递函数只与系统的结构和参数有关，而与系统的输入信号的形式和大小无关。它描述的使系统的内在特性，即瞬态特性和稳态特性。2） 传递函数只是系统的输入输出描述，它并不提供系统内部的街头信息。3） 传递函数只是用与线性定常系统，这是因为他是由拉普拉斯变换而定义的，而拉普拉斯变换是一种线性变换。4） 传递函数是复变量的有理分式。2.3 自动控制系统的校正。 所谓校正就是在系统不可变部分的基础上，加入适当的校正元部件，使系统满足给定的性能指标。校正方案主要有串联校正、并联校正、反馈校正

11、和前馈校正。确定校正装置的结构和参数的方法主要有两类：分析法和综合法。分析法是针对被校正系统的性能和给定的性能指标，首先选择合适的校正环节的结构，然后用校正方法确定校正环节的参数。在用分析法进行串联校正时，校正环节的结构通常采用超前校正、滞后校正和滞后-超前校正这三种类型。 2.4 自动控制系统的性能指标 在采用频率响应法进行设计时,常选择频率域的性能如相角裕量、增益裕量、带宽等作为设计指标。如果给定性能指标为时间域的形式，则应先化成等价的频率域形式。通常，设计是在波德图上进行的。在波德图上，先画出满足性能指标的期望对数幅值特性曲线，它由三个部分组成：低频段用以表征闭环系统应具有的稳态精度；中

12、频段表征闭环系统的相对稳定性如相角裕量和增益裕量等，它是期望对数幅值特性中的主要部分；高频段表征系统的复杂性。然后，在同一波德图上，再画出系统不可变动部分的对数幅值特性曲线，它是根据其传递函数来作出的。所需串联校正装置的特性曲线即可由这两条特性曲线之差求出，在经过适当的简化后可定出校正装置的类型和参数值。 （1）频域性能指标 穿越频率：系统开环相频特性为-时的频率称为穿越频率，记为。 增益裕量：系统在相角穿越频率处的幅值的倒数定义为增益裕量，记为h，即 （2-3） 如果用分贝表示增益裕量，则有 （2-4） 增益裕量的物理意义在于：对闭环稳定系统，如果系统的开环增益增大h倍，则系统处于临界稳定状

13、态；如果系统的开环增益增大h倍以上，系统将变成不稳定。对于稳定的最小相位系统而言，增益裕量指出了系统在变成不稳定之前，增益能够增大到多少。对于不稳定系统而言，增益裕量指出了使系统稳定增益应当减少多少。 剪切频率：系统开环频率特性的幅值为1时，对应的频率称为剪切频率，记为。 相位裕量：幅值穿越频率的相角与之和定义为相位裕量。记为，即 （2-5） 相位裕量的物理意义在于：对于闭环稳定系统，如果开环系统频率特性的相角再滞后角度。则系统处于临界状态。若开环系统频率特性的相角滞后大于角度，系统将变成不稳定。 各个频域性能指标如下图所示 图2-2 频域性能指标具体位置 （2）时域性能指标 延迟时间：它是系

14、统阶跃响应第一次达到终值的50%所需的时间。 上升时间：对无振 荡的系统，它被定义为阶跃响应从终值的10%上升到终值90%所需的时间。对有振荡的系统，它被定义为从零到第一次达到终值所需的时间。 峰值时间：它定义为阶跃响应越过稳态值达到第一个峰值所需的时间。 调节时间：它是阶跃响应达到并保持在终值的正负5%误差带内所需的最短时间。 超调量：他是峰值超出终值的百分比，即 （2-6）3 频率响应法的原理及其特点3.1 频率响应的基本概念 频率响应法的基本思想是把控制系统中的各个变量看成是一些信号，而这些信号又是由许多不同频率的正弦信号合成的，各个变量的运动就是系统对各个频率的信号的响应总和。这种方法

15、克服了直接用微分方程研究控制系统带来的种种困难，从而形成了在频域中分析和综合控制系统的整套方法，即频率响应法。 系统的频率响应由幅频特性和相频特性组成。幅频特性表示增益的增减同信号频率的关系；相频特性表示不同信号频率下的相位畸变关系。根据频率响应可以比较直观地评价系统复现信号的能力和过滤噪声的特性。在控制理论中，根据频率响应可以比较方便地分析系统的稳定性和其他运动特性。频率响应的概念在系统设计中也很重要。引入适当形式的校正装置，可以调整频率响应的特性，使系统的性能得到改善。建立在频率响应基础上的分析和设计方法。3.2 频率响应的一般表达式线性定常系统在正弦信号作用下，系统的稳态输出是于输入同频

16、率的正弦信号，且幅值和相位的变化是频率的函数，并且与系统的数学模型有关。为此，将系统的频率特性定义为：当系统输入正弦信号时，系统的稳态输出信号与输入信号之比。其中稳态输出与输入的幅值之比称为系统的幅频特性，记为，即 = （3-1）稳态输入与输入的相位差称为系统的相频特性，记为，即 = （3-2）3.3 基于频率响应的几何表示方法-伯德图 伯德图又称对数坐标图或对数频率特性图，包括对数幅频特性曲线和对数相频特性曲线，是频域中广泛使用的一组曲线。 波特图由频率响应的对数幅值特性图和相角特性图组成（图1）。在对数幅值特性图中,频率轴采用对数分度;幅值轴取为，单位为分贝(db),采用线性分度。在相角特

17、性图中，频率轴也采用对数分度；角度轴是线性分度，单位为度。波特图的优点是可将幅值相乘转化为对数幅值相加，而且在只需要频率响应的粗略信息时常可归结为绘制由直线段组成的渐近特性线，作图非常简便。如果需要精确曲线，则可在渐近线的基础上进行修正，绘制也比较简单。 图3-1 伯德图 伯德图（图 1）有如下有点：（1） 方便计算和绘图，特别是对于频域中各个参数的计算，同时还可以用对数幅频特性的渐近线近似表示曲线，绘图方法简便，便于工程应用。（2） 便于扩展宽图示的频率范围。这对系统分析和设计是很有利的。 4 自动控制系统的校正4.1 超前校正设计 超前校正设计是指利用校正器对数幅频曲线有正斜率（即幅频曲线

18、的渐近线与横坐标夹角的正切值大于零）的区段及其相频曲线具有正相移（即相频曲线的相角值大于零）区段的系统校正设计。基于伯德图的超前校正，其基本原理是：利用超前校正网络的相位超前特性。让其最大的相位超前叫出现在系统新的幅值穿越频率处，从而增大系统的相位裕量，达到改善系统瞬态响应的目的。4.1.1 超前校正的一般步骤具体设计步骤如下：（1） 求开环增益k值（2） 根据k值，绘制满足稳态误差要求的开环系统伯德图，求出未校正系统的相位裕量（3） 增加一些安全裕量，确定需要附加的超前相位角（4） 由求得（5） 计算超前校正网络处的幅值，据此在未校正的伯德图上找出幅值为-10lg对应的，这就是穿越频率（6）

19、 由（4-1-1）计算超前校正网络的零极点参数：p=，z=p/（4-2-2）（7） 为了保证系统的稳态性能，应插入一个增益为的放大器，或将系统放大器增益调大到原来的倍。（8） 绘制校正后系统的伯德图，校验相位裕量是否满足要求。若不满足，则重复步骤3以后的步骤。例 已知单位负反馈系统被控对象的传递函数为： 试用bode图设计方法对系统进行超前串联校正设计，使之满足：1在斜坡信号r(t)=vt作用下，系统的稳态误差；2系统校正后，相角稳定裕度有：解（1） 求由题可知本题系统为i型系统。系统的稳态误差为： （4-1-3）被控对象的传递函数为： （2） 作原系统的bode图与阶跃响应曲线，检查是否满足

20、题目要求。程序： k0=1000;n1=1; d1=conv(conv(1 0,0.1 1),0.001 1); s1=tf(k0*n1,d1);figure(1);margin(s1);hold on 图4-1 校正前的阶跃图图4-2 校正前的伯德图由图4-1，图4-2可知系统的：模稳定裕度：0.0864db 穿越频率100rad/s 相稳定裕度=剪切频率99.5rad/s由计算数据可知模稳定裕度和相稳定裕度几乎为0，这样的系统根本不坑能工作，起阶跃响应曲线剧烈震荡，同样不能工作。（3） 求超前校正器的传递函数 根据要求相稳定裕度要取设超前校正器的传递函数为 根据超前校正的原理，可知kv=k

21、o1000用以下程序求超前校正器的传递函数。cleark0=1000;n1=1;d1=conv(conv(1 0,0.1 1),0.001 1);sope=tf(k0*n1,d1);mag,phase,w=bode(sope);gama=50;mu,pu=bode(sope,w);gama1=gama+5;gam=gama*pi/180;alfa=(1-sin(gam)/(1+sin(gam);adb=20*log10(mu);am=10*log10(alfa);ca=adb+am;wc=spline(adb,w,am);t=1/(wc*sqrt(alfa);alfat=alfa*t;gc=t

22、f(t 1,alfat 1)运行后结果为：transfer function: 0.0167 s + 1-0.002213 s + 1运行后得到校正器传递函数 (4) 校验系统校正后是否满足题目要求根据校正后系统的结构与参数，给出以下matlab程序：k0=1000;n1=1;d1=conv(conv(1 0,0.1 1),0.001 1);s1=tf(k0*n1,d1);n2=0.0167 1;d2=0.002213 1;s2=tf(n2,d2);sope=s1*s2;margin(sope)。 图4-3 校正后系统的伯德图 由图4-3可知：幅值稳定裕度17.6db 穿越频率699rad/s

23、相角稳定裕度 剪切频率177rad/s由程序算出的相角稳定裕度 ，已经满足的要求。幅值稳定裕度0.0864db提高到17.6db，非常好。(5) 计算系统校正后阶跃给定响应曲线及其性能指标cleark0=1000;n1=1;d1=conv(conv(1 0,0.1 1),0.001 1);s1=tf(k0*n1,d1);n2=0.0167 1;d2=0.002213 1;s2=tf(n2,d2);sope=s1*s2;sys=feedback(sope,1);step(sys);y,t=step(sys);sigma,tp,ts=perf(1,y,t);mp,tp,b1,b2,n,pusi,t

24、,f=targ(y,t);图4-4 校正后的阶跃响应图 运行后由图4-4和计算结果可得校正后系统的阶跃响应品质指标：超调量25.7707%；峰值时间0.0158s；调节时间（5%）：0.0316s；过程控制的余差：1.11022-016；过程控制单位速度响应余差：-0.0036；过程控制第一波峰值：0.2593；过程控制第二波峰值0.2593；过程控制衰减比：n=1;过程控制的衰减率为0；过程控制的振荡频率：；过程控制的衰减振荡周期：t=0s. 滞后校正。4.2 频率响应法的滞后校正滞后校正就是在前向通道中串联传递函数为的校正装置来校正控制系统，的表达式如下所示。 （4-2-1） 其中，参数a

25、、t可调。滞后校正的高频段是负增益，因此，滞后校正对系统中高频噪声有削弱作用，增强了抗干扰能力。可以利用滞后校正的这一低通滤波所造成的高频衰减特性，降低系统的截止频率，提高系统的相位裕度，以改善系统的暂态性能。滞后校正的基本原理是利用滞后网络的高频幅值衰减特性使系统截止频率下降，从而使系统获得足够的相位裕度。或者，是利用滞后网络的低通滤波特性，使低频信号有较高的增益，从而提高了系统的稳态精度。可以说，滞后校正在保持暂态性能不变的基础上，提高开环增益。也可以等价地说滞后校正可以补偿因开环增益提高而发生的暂态性能的变化。4.2.1滞后校正设计的一般步骤与方法 （1）按稳态性能指标要求的开环放大系数

26、绘制未校正系统的伯德图。如果未校正系统需要补偿的相角较大，或者在截止频率附近相角变化大，具有这样特性的系统一般可以考虑用滞后校正。 （2）在未校正系统的伯德图上找出相角为的频率作为校正后系统的截止频率，其中为要求的相位裕度，为补偿滞后校正在产生的相位滞后，一般取。 的选取：是为了补偿滞后校正的相位滞后的，一般限制滞后校正的滞后相角小于，所以可以取小于的值。应取一个尽量小，但又能补偿滞后校正在处的滞后相角的值。一般，若较大，可取小一些。反之，若小，则取大一些。 （3）在未校正系统的伯德图上量取量取（或由求取）的分贝值，并令，由此确定参数a(a0,幅值裕度h0,系统是稳定的，并且满足，幅值裕度为h

27、=14.1db。满足题目要求4.3 控制系统的超前-滞后校正基于伯德图的超前滞后校正，其基本原理也是分别利用超前校正和滞后校正的各自特点同时改善系统的瞬态和稳态性能，滞后-超前校正的频域设计实际是超前校正和滞后校正频域法设计的综合，基本方法是利用滞后校正将系统校正后的穿越频率调整到超前部分的最大相角处的频率。具体方法是先合理地选择截止频率，先设计滞后校正部分，再根据已经选定的设计超前部分。超前校正通常可以改善控制系统的快速性和超调量，但增加了带宽，而滞后校正可以改善超调量及相对稳定度，但往往会因带宽减小而使快速性下降。滞后-超前校正兼用两者优点，并在结构设计时设法限制它们的缺点。4.3.1 超

28、前-滞后校正的一般步骤应用频率法确定滞后超前校正参数的步骤：1、根据稳态性能指标，绘制未校正系统的伯德图；2、选择校正后的截止频率；3、确定校正参数；4、确定滞后部分的参数；5、确定超前部分的参数；6、将滞后部分和超前部分的传递函数组合在一起，即得滞后-超前校正的传递函数；7、绘制校正后的伯德图，检验性能指标。 已知控制系统的传递函数为试用bode图设计方法对系统进行超前-滞后校正，使满足：1 系统的速度误差系数kv=10；2 系统校正后剪切频率wc1.5；3 系统校正后相角稳定裕度；4 计算校正后系统时域性能指标：解：（1） 求k 已知单位负反馈系统被控对象为i系统。根据响应的速度误差系统k

29、v=k=10s-1，根据速度误差的定义，则ko=20.（2检查原系统是否满足要求绘制系统的bode图，检查性能。程序如下：cleark0=20;n1=1;d1=conv(conv(1 0,1 1),1 2);sope=tf(k0*n1,d1);figure(1);margin(sope) 图 4-7 校正前的伯德图由图可知：模稳定裕量l=10.5db，-穿越频率=1.41rad/s;相角稳定裕度r=-28.1；剪切频率2.43rad/s.有图形可以看出在幅度为0处，相位量小于了-，系统是不稳定的，而且计算的相稳定裕度和模稳定裕度也为负值，系统是不可能工作的。（3） 对系统进行超前滞后校正。、求

30、滞后校正器的传递函数。取剪切频率1.5rad/s，=9.5，滞后校正传递函数如下：clearwc=1.5;k0=20;n1=1;d1=conv(conv(1 0,1 1),1 2);sope=tf(k0*n1,d1);gc1=later(2,sope,wc)运行后结果为transfer function:6.667 s + 1-19.72 s + 1运行后校正补偿器传递函数为： 6.667 s + 1gc1（s）= - 63.33 s + 1求超前校正器的传递函数，其程序为：n1=conv(0 20,6.667 1);d1=conv(conv(conv(1 0,1 1),1 2),63.33

31、1);sope=tf(n1,d1);wc=1.5;gc=before(2,sope,wc)结果为：transfer function: 2.13 s + 1-0.2087 s + 1程序运行后，得超前校正器的传递函数： 2.13 s + 1 gc2（s）= - 0.2087 s + 1（4） 计算系统校正后阶跃响应曲线及其性能指标根据求得的结构参数，求阶跃响应及其性能的程序如下：n1=20;d1=conv(conv(1 0,1 1),1 2);s1=tf(n1,d1);s2=tf(6.667 1,63.33 1);s3=tf(2.13 1,0.2087 1);sope=s1*s2*s3;sys

32、=feedback(sope,1);step(sys)y,t=step(sys);sima,tp,ts=perf(1,y,t);图4-8 校正后的阶跃响应图程序运行后参数如下：超调量21.8863%。峰值时间1.9151s，调节时间5.9850.符合题目给出的时域要求。（6） 校验系统校正后频域性能给出如下程序检验系统校正后频域性能是否满足题目要求：n1=20;d1=conv(conv(1 0,1 1),1 2);s1=tf(n1,d1);s2=tf(6.667 1,63.33 1);s3=tf(2.13 1,0.2087 1);sope=s1*s2*s3;margin(sope) 图4-9 校正后系统的伯德图程序运行后，由图可知系统的：模稳定裕量l=12db，-穿越频率=3.48rad/s;相角稳定裕度r=47；剪切频率1.5rad/s.校正后大于45的要求。剪切频率=1.5rad/s满足题目要求。 结论本次论文主要就是通过对系统控制的目的及意义的研究，与所学数字信号处理和信号与系统知识联系，应用经典的频率响应发，对超前校正、滞后校正和超前-滞后校正进行matlab仿真，设计符合要求的控制系统，并