四川省成都市蓉城名校联盟2017级高三第二次联考理科数学试题(解析版

1、2019-2020学年高三下期第二次联考数学试卷（理科）、选择题1.已知集合 A= - 1 , 1, 3, 4,集合 B = xx2- 4x+3 0,则 A B =()A . - 1, 4 B. - 1 , 1, 4 C. - 1, 3, 4 D .(- , 1 )( 3, +)412已知复数z= . I 一 j ,则Zl=()A . 1B .C. 2D . 33.已知实数0v aV b,则下列说法正确的是()A . B . ac2v bc2C .Ina V Inb D. () av() bm的取值范围为a b224.已知命题p： XV 2m+1 , q： x2- 5x+6 V 0,且P是q的

2、必要不充分条件，则实数A 1C1A . m B.m访C . m 1D . m15 .若数列 a为等差数列，且满足 3+a5= a3+a8, SI为数列a的前n项和，贝U Sn =（）A . 27B. 33C. 39D . 446.已知, 是空间中两个不同的平面,m, n是空间中两条不同的直线，则下列说法正确的是（若 m? a, n? 且 贝U m nB.若 m?a, n? a ,且 m / , n / 贝U all 若 m a, n 且 贝U m nD.若 m, n/ ,且 all ,则 m n已知抛物线y2 = 20x2的焦点与双曲线a（a0, b 0）的一个焦点重合，且抛物线的准线被双曲线

3、截得的线段长为-,那么该双曲线的离心率为（5 B .一9.已知实数a0 , b 1满足a+b= 5 ,则亍的最小值为（）md = j-J ,则实数m的值为（10.已知集合 A = 1 , 2, 3, 4, 5, 6的所有三个元素的子集记为Bi, B2, B3, Bn, n N* .记bi为集合Bi中的最大元素，贝V bl + b2+b3+ bn=()A . 45B . 105C. 150D . 210m名同学每人随机写下一个都小于1的X, y）的个数a；最后再根据统计数 a11.关于圆周率 数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如著名的浦丰实验和查理斯实验.受其启发，我们也可以通过设计下面的实

4、验来估计的值：先请全校 正实数对（X, y）；再统计两数能与1构成钝角三形三边的数对（估计的值，那么可以估计 的值约为（）4aTLa+2a+2m4arL12.已知.,= （2si门丄上，coLm),= -:COCX,2CO,函数f （X）=L阳在区间0,上恰有3个极值点，则正实数的取值范围为（7 5了，一C .L,2二、填空题,则Z= 2x+y的最大值为13.实数 x, y 满足，-ylO2014.成都市某次高三统考，成绩X经统计分析，近似服从正态分布 XN （100,孑），且P （ 86V X 100=0.15,若该市有8000人参考，则估计成都市该次统考中成绩X大于114分的人数为15.已

5、知函数 f(x)=- x3+x+a, x 匚,e与 g (x)=3lnx - X- 1的图象上存在关于X轴对称的点，则a的取值范围为16.在四面体 ABCD中，AB= CD =.,AC= BD =V壬:,AD = BC= 5, E, F 分别是 AD, BC 的中点.则下述结论：四面体 ABCD的体积为20;异面直线 AC, BD所成角的正弦值为 一;25四面体ABCD外接球的表面积为 50 ;若用一个与直线 EF垂直，且与四面体的每个面都相交的平面去截该四面体，由此得到一个多边形截面，则该多边形截面面积最大值为其中正确的有.（填写所有正确结论的编号）三、解答题：共70分17.某企业为了解该企

6、业工人组装某产品所用时间，对每个工人组装一个该产品的用时作了记录，得到大量统计数据.从这些统计数据中随机抽取了9个数据作为样本，得到如图所示的茎叶图（单位：分钟）若用时不超过40 （分钟），则称这个工人为优秀员工.（1）求这个样本数据的中位数和众数；(2)以这9个样本数据中优秀员工的频率作为概率，任意调查4名工人，求被调查的4名工人中优秀员工的数量X分布列和数学期望.18.如图，四棱锥 P - ABCD中，底面ABCD是边长为4的菱形，PA= PC = 5,点M , N分别是AB, PC的中点.MN / 平面 PAD ;(2)若 cos PCD =, DAB = 60 求直线 AN与平面 PA

7、D1)求证:19.已知数列an满足对任意n N*都有2an+ = an+an+2 ,其前n项和为Sl ,且S7= 49 , a3是a与ai3的 等比中项，aiv a2.( 1 )求数列 an的通项公式 an；( 2)已知数列bn满足bn= 2 - 1 , Cn= anbn ,设9T1,-2Q数列Cn的前n项和为Tn ,求 . 大于1000的最小的正整数 n的值.Qn-520.已知点 P (1,),R=( X- 1, y),=(x+1,y),且 +=4,满足条件的点Q(x,y)的轨迹为曲线C.( 1)求曲线C的方程；(2)是否存在过点(0,- 1)的直线I,直线I与曲线C相交 于A, B两点，直

8、线PA , PB与y轴分别交于M , N两点，使得IPMI= IPNl?若存在，求出直线I的方程； 若不存在，请说明理由.21 .已知函数 f (x)=- In (x+1)- ax- 1 - a (a R) .( 1)若 f (x) 0寸任意 x- 1 恒成立，求 实数a的取值范围；(2)求证：-In (x+1) +xex-1 - x+10.(二)选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。选修4-4:坐标系与参数方程一一CX=2cos d一一22.在直角坐标系Xoy中，曲线Ci的参数方程为-.j ( 为参数，以坐标原点 0为极点，Xy=2+2sCI

9、轴的正半轴为极轴，取相同长度单位建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为 P= 4cos (1)求曲线Ci的极坐标方程和曲线 C2的普通方程；(2)设射线OP : =-与曲线Ci交于不同于极点的点A,与曲线C2交于不同于极点的点 B,求线段AB的长.选修4-5:不等式选讲(10分) 23.设函数f(x)=|x+a|+|x- 1| (a R).( 1)当a = 1时，求不等式f(X)4的解集；(2)若对任意x R都有f (x) 2求实数a的取值范围.参考答案、选择题：本题共 12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合 A= - 1 , 1, 3,

10、 4,集合 B = x|x2-4x+3 0,则 A B =()A . - 1, 4B . - 1,1 , 4C. - 1 , 3, 4D. (- , 1) ( 3, +)解：集合 A = - 1 , 1, 3, 4,集合 B = xx2- 4x+3 0 = xxv 1 或 x3, AB = - 1, 4.故选：A.2 .已知复数Z4i t=匸丁,则 Z|=(B .：4iZl3iWirI=l+3i 2 2解： IzI=故选：C.3.已知实数OV aV b,则下列说法正确的是B . ac2v bc2解:Ina V InbD.L) aV)11C Cab倉b对于 A.实数 OV aV b,（c0不成立

11、），对于B. C= 0不成立.对于C.禾U用对数函数的单调性即可得出.对于故选：C.,因此不成立.4.已知命题P: XV 2m+1, q : x2- 5x+6 V 0,且P是q的必要不充分条件,则实数m的取值范围为（）A . mC. m 1D . m1解：T命题 P: XV 2m+1,q： x2- 5x+6 V 0,即：2v XV 3,P是q的必要不充分条件,( 2, 3) ? (2m+1 , +), 2m+13,解得 m1实数m的取值范围为m1故选：D.5 .若数列an为等差数列，且满足 3+a5= a3+a8, Sn为数列an的前n项和，贝U Sii =()A . 27B . 33C .

12、39D . 44解：设等差数列an的公差为d ,且满足3+a5= a3+a8, a6= 3.Sn为数列an的前n项和，则 Sii= 11a6= 33.故选：B.m , n / 且 贝U m与n的位置关系不定，故错;6 .已知, 是空间中两个不同的平面，m ,n是空间中两条不同的直线，则下列说法正确的是(A .若m?n?且 ,贝U m丄nB .若m?n?,且m / ,n / 贝U / C .若mn/且 ,贝U mnD .若mn/且/ ,贝U m丄n解：对于A,当m?n? 且 ,则m与对于B,当m1 / n时,不能判定all ,故错；对于C,n的位置关系不定，故错;若对于D,m , / 可得 m丄

13、,又n / ,贝U mn故正确.故选：D.7 .已知抛物线护=1 (a 0, b 0)2y2 = 20x的焦点与双曲线 的一个焦点重合，且抛物线的准线被双曲线截得的线段长为,那么该双曲线的离心率为(D .丁x=_ 5,解：由抛物线y2= 20x,可得2p= 20,则P = 10,故其准线方程为22Xy2I 2ab抛物线y2= 20x的准线过双曲线=1 (a 0, b 0)的左焦点,抛物线y2= 20x的准线被双曲线截得的线段长为-1=律,又 c2= 25= a2+b2,a 2. a= 4, b= 3,则双曲线的离心率为 e=二-.a 4故选：A.8.如图，在 ABC中,A .C2 解：依题意，

14、 u -二二-一肚-工Ar j,.,1B.2-P是BN上的一点，若m. =J-二J ,则实数m的值为（解：集合M含有3个元素的子集共有=20,所以k= 20 .-亠，解得9 .已知实数a 0,2b 1 满足 a+b= 5,则一I +亡的最小值为（A .盼解：因为a 0,b 1 满足 a+b= 5,2I -b-l则I 1b-l()a+ (b-I) ,当且仅当a2(b-l) _ 呂a b-l时取等号,又B, P, N三点共线,1IrI=T故选：B.故选：A.Bi, B2, B3 , Bn, n N* .记 bi 为10.已知集合A = 1 , 2, 3, 4, 5, 6的所有三个元素的子集记为集合

15、Bi中的最大元素，贝y b1+b2+b3+ bn=（A. 45B. 105C. 150D . 210在集合Bi (i = 1, 2, 3,k)中:最大元素为3的集合有C= 1个；最大元素为4的集合有Cl= 3；最大元素为5的集合有C= 6;最大元素为6的集合有Cf= 10;所以 B+ b2+b3+b4+b5= 3 +4 3+5 6+6 0= 105. 故选：B.11.关于圆周率 数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如著名的浦丰实验和查理斯实验.受其启发，我们也可以通过设计下面的实验来估计的值：先请全校m名同学每人随机写下一个都小于1的正实数对（X,y）;再统计两数能与1构成钝角三形三边的数对

16、（X,y）的个数a；最后再根据统计数a估计的值，那么可以估计 的值约为（）A .4ara+2B .Inm解:根据题意知，m名同学取m对都小于C.a+2mC 4a+jiLmDInl的正实数对（X, y),即r0xlOyl0lLCKCyw 1其面积则有4a2mTtL解得故选：D.12.已知-i=(2sin,cos ),2cos .,函数f ( X)=L在区间0 ,上恰有3个极值点，则正实数 的取值范围为（）857557A .口 0 B .（孑刁 C .叵，孑解：f (x) =V3sin 2o2 3 HsTcos x+l=2in( h7)+1，TT Tr一 -/ : ，解得O 2令 CKT-0 -y

17、l020,则Z= 2x+y的最大值为解：作出可行域如图所示,则当直线Z= 2x+y过点C时直线的截距最大，Z取最大值.叶叫*-y+l=01K=23 y=- r 2 C (丄，二)，Z取最大值：2匚+1 .3514.成都市某次高三统考，成绩X经统计分析，近似服从正态分布 XN (100, ),且P ( 86V X 100=0.15 ,若该市有8000人参考，则估计成都市该次统考中成绩X大于114分的人数为3400解：根据正态分布 XN ( 100, ),且P (86vX 100 = 0.15,所以 P (X114)= - 1-1. k -I . IJS故该市有8000人参考，则估计成都市该次统考

18、中成绩X大于114分的人数为80000.425 = 3400.故答案为：3400.15已知函数 f (x)=- x3+x+a, x , e与 g (x)=3lnx - X- 1的图象上存在关于X轴对称的点，则a的取值范围为 2 , e3- 2解：根据题意，若函数 f (x)=- x3+x+a (s)与g (X)= 3lnx - X- 1的图象上存在关于 X轴对称的点,则方程-x3+x+a=- 3lnx+x+1在区间右,e上有解,即方程a - 1 = x3- 3lnx在区间二,e上有解,设函数 g (X)= x3- 3lnx,其导数 g(x)= 3x2g又由X ,e,可得：当 0, g (x)为

19、增函数,g (X)= x3- 3lnx 有最小值 g (1)= 1,(T)V g (e), g (X)= X3 - 3lnx 有最大值 g ( e) = e3- 3 ,必有 1a - 1e3- 3,则有 2a3-2,即a的取值范围是2 , e3- 2;16.在四面体 ABCD中，AB= CD =(忑故答案为：2 , e3- 2;,AC= BD =- , AD = BC= 5, E, F 分别是 AD, BC 的中点.则下述结论:四面体ABCD的体积为20 ；异面直线AC,BD所成角的正弦值为四面体ABCD外接球的表面积为 50 ;若用一个与直线 EF垂直，且与四面体的每个面都相交的平面去截该四

20、面体，由此得到一个多边形截面，则该多边形截面面积最大值为6 .其中正确的有 .（填写所有正确结论的编号）解：补成长，宽，高分别为3, 4, 5的长方体，在长方体中：，四面体 ABCD的体积为 V= 345- 4 _：. = 20,故正确LJ5, 3的矩形的对角线夹角正弦值，可得正弦值，异面直线 AC, BD所成角的正弦值等价于边长为，四面体ABCD外接球就是长方体的外接球，半径R=,其表面积为50 ,故正确;，由于EF 故截面为平行四边形 MNKL ,可得KL+KN = 5,设异面直线 BC与AD所成的角为 ,贝U Sin = Sin HFB = Sin LKN ,算得Sin,25 S四边形M

21、NKL = NK?KL?Sin NKL KL+KN(2故答案为：.1721题为必考题，每个试题三、解答题：共 70分。解答应写岀文字说明、证明过程或演算步骤。第考生都必须作答。第 22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。17某企业为了解该企业工人组装某产品所用时间，对每个工人组装一个该产品的用时作了记录，得到大量统计数据从这些统计数据中随机抽取了9个数据作为样本，得到如图所示的茎叶图（单位：分钟）.若用时不超过 40 （分钟），则称这个工人为优秀员工.（1）求这个样本数据的中位数和众数；（2） 以这9个样本数据中优秀员工的频率作为概率，任意调查4名工人，求被调查的 4名

22、工人中优 秀员工的数量X分布列和数学期望.众数为47(2)被调查的4名工人中优秀员工的数量X= 0,1, 2,3,任取一名优秀员工的概率为故 XB (4 ,二)P (X= k)= C眷(*)k (l-y) d t,k= 0,2,3, 4,X的分布列如下:P16328?丽X01224818814181故 E (X)IX 亞+ZX 24+3 K 8+4X .二481亍18.如图，四棱锥P - ABCD中，底面ABCD是边长为4的菱形,PA= PC = 5,点 M , N 分别是 AB, PC(1)求证：MN / 平面 PAD ；的中点.AN与平面PAD【解答】(1)证明：取PD的中点H ,连接NH

23、 , AH .所成角的正弦值. N是PC的中点， NH 1 -DC, 又 AMl -DC , 2Z NH丄AM ,四边形 AMNH是平行四边形. MN / AH ,又 MN?平面 PAD , AH?平面 PAD, MN / 平面 PAD .同理可得：PD 丄 AD ,又 ADCD = D, PD 丄平面 ABCD .(2)解： PC= 5, DC = 4, cos PCD =, PD = 3, PC2= PD2+CD2, PD 丄 DC,连接AC, BD ,设ACBD = 0,贝U AC丄BD ,建立空间直角坐标系 O- Xyz.3A (2 0, 0), C (- 3, 0, 0), D (0

24、,- 2, 0), P (0,- 2, 3), N (-强，-1 ,号)， Ai= (- 3 ,1,二)，.卫=(-2 ：；，一 2, 0),丨：=(o,o, 3).设平面PAD的法向量为ll=( x, y, z),-3, O)则! l = 0 ,则-2 :X- 2y= 0, 3z= 0,取 =( 1,23 Sin = cosv , !,|=23直线AN与平面PAD所成角的正弦值为-23Tr19.已知数列an满足对任意n N*都有2a+1 = a+a+2,其前n项和为Sn,且S7= 49, a3是a1与a13的等比中项，a a2.(1) 求数列an的通项公式an；9T -20(2) 已知数列b

25、n满足bn= 2- , Cn= anbn ,设数列C n的前n项和为Tn,求.J 大于1000的6n-5最小的正整数n的值.解:( 1) 任意 n N* 都有 2an+1= an+an+2,数列an是等差数列,Sz= 49, 7a4 = 49, a4 = 7,又 a3是a1与a13的等比中项，a a2,设数列an的公差为d,且d V 0,则(7-d) 2 =( 7- 3d)( 7+9d),解得 d= 2, a1= 7- 3d = 1, an= 1+2 ( n 1) = 2n 1;(2)由题意可知，二22n二4, cf(加-l)4r, TX牡TX梓十+C2n-D X卩，Hn=I X 42+3X4

26、3-、+ (2n-l) X 严】，-得:Tn=4+2X 42+2 43+2 X 4n- (2-1) X 4nFI T? 2n+2 102n+2 1000, n4满足条件的最小的正整数n的值为4. F1F2,可得Q的轨迹是以F1 (- 1, 0), F2 (1, 0)为焦点，且2a = 4的椭圆,由 C= 1, a= 2,可得 b =V2-cW3,可得曲线C的方程为(2)假设存在过点(0,- 1)的直线I符合题意.当直线I的斜率不存在，设方程为X= 0 ,可得M , N为短轴的两个端点，PM= PN | 不成立；当直线I的斜率存在时，设方程为y= kx - 1, A (X1, k1 - 1),

27、B (2, k2 - 1),由 PM= PN,可得 kPM+kPN= 0,即 kPA+kPB = 0,I55kx +Tl七T可得5=0,化为 2kx1x2 -( k+) ( x+x2) +5= 0,y-kx-LL3x+4y=121R解得k=i或k=由（0,- 1）在椭圆内，可得直线 I与椭圆相交,21 .已知函数 f (x)=- In (x+1) - ax - 1 - a (a R).可得(3+4k2) x2 8kx 8= 0,（1）若f （x） 0寸任意x- 1恒成立，求实数 a的取值范围;(2)求证：-In (x+1) +xex 1 - x+10.解：（1）问题等价于.对任意x- 1恒成立,令 t = x+1 (x- 1),贝U t0, Lrit g （t）在（0, 1）上是减函数，在（1, +）上是增函数,g (t)有最小值 g (1) =- 1 , a- 1;2x+10,(2)由(1)知，In ( x+1) +x0 要证In (x+1) +x* 1 x+10,即证In ( x+1) +x+xex-1 令 h ( X)= XeX-1 - 2x+1 (x- 1), h (x) = ( x+1) ex-1 - 2, h ( x) = ( x+2) ex-1 0, h (X) 在 (- 1, +)是增函数,又 h (