矩阵论习题答案（方保镕编著）习题 1.

1、习题 1.21. 解：因为对r的任一向量()，按对应规则都有r中惟一确定的向量与之对应，所以是r的一个变换.(1) 关于轴的对称变换；(2) 关于轴的对称变换；(3) 关于原点的对称变换；(4) 到轴的投影变换；(5) 到轴的投影变换.2. 解： (1) 不是.因为 ()+k()+k=+ (2) 不是.因为()k()+k (3) 不是.因为取 x=(1 , 0 , 0 ) , 时, (k x)=(k,0, 0)k( x)= k(1, 0, 0)=(k, 0, 0)(4) 是.因为 设x=() , y=() (kx+ky)= =k(x)+k( y)(5) 是.因为 ()=k(f(x)+k(6)

2、是.因为 ()= k(f(x)+k (7) 不是.因为 设x=() , y=() (kx+ky)= (k(x)+k( y)=( .3. 解：(+)= ()+ () (k)= (k(x, x)()所以是线性变换.同理可证也是线性变换. (+)()= (+)(x, x)=(x, x)+(x, x) ()= ()=( x, -x)=(- x, -x) ()= ()=( x, -x)=( x, x) .4. 证：（1）因 (a)+(b)k(a)故是线性变换.（2）(a)b+a(b) (ab) 5. 解：令 即可.6. 证：设，则 (-)(f(x) =(f(x)(f(x)=xf(x)f(x)故是恒等变换

3、.7. 证：设，则，由于 (e)+ (e)=(e+e)=e+e(e)(e)=(ee)=ee所以，(e)=e , (e)= e 于是 ()=k(e)+k(e)= k(e)+k(e)=()故 =.8. 解：(1) 因为在平面上，其投影不变，故有(i)=i , (j)=j , 又垂直平面，则 , 得(i), (j), (k)=(，) 所求矩阵为a= .(2) 因为, 所以, 所求矩阵为 a= .(3) 由的定义知, (i)= (1 ,0 ,0 )= ( 2 ,0 ,1) (j)= (0 ,1, 0 )= ( -1, 1 , 0) (k)= (0 ,0 ,1)= ( 0 ,1 , 0)有 (i), (

4、j), (k)=( 所求矩阵为 a= . (4) 据题设： 则=()=( ) =( )=( ) =() = ( ) =于是 ( , , , , , ) , 所求矩阵为 d= 9. 解：(1) ()=() =()c所求矩阵为 b=cac= (2) ()=() =()c所求矩阵为 b=cac = (3) ()=() =()c所求矩阵为 b=cac= 10. 解：由定义知 所以，所求矩阵为 . 11. 解 ： 因为 所以，所求矩阵为 . 12. 解： (,)=() ()=(,) = (,) c b=cac= = .13. 解：(1) (,) = () c , 过渡矩阵为 c=()(,) = = (2

5、) (,)=(,) = () c故在基下的矩阵就是 c.(3) (,(),() ) = (,) = () c =(,) c= (,) c故在基下的矩阵仍为c. 14. 解：（1） 由于故在该基下的矩阵为类似地，可得在该基下的矩阵为.由于=，所以在该基下的矩阵为同理，可得在该基下的矩阵为 （2）由于由简单基e11，e12，e21，e22改变为给定基e1，e2，e3，e4的过渡矩阵为 于是，在给定基下的矩阵为15. 解： （1）将题给关系式写成矩阵形式为 (,(),() ) 即由于，所以有(故在基（ii）下的矩阵 （2）因为( 所以在基（i）下的坐标为（3，5，9）.16. 解：（1）取的简单基1

6、，x，x2，则有 从简单基改变到基f1，f2，f3和g1，g2，g3的过渡阵分别为 ， 故有 (g, g, g)= (1, x, x )c= 即在基（ii）下的矩阵 （2）因为 所以 (f(x)= . 17. 证：设在给定基下的矩阵为，并设c为从旧基到新基的过渡矩阵，由于在任一组基下的矩阵相同，则有，即ac=ca，根据“a与一切满秩矩阵可变换”性质，即可定出a必为数量矩阵.18. 解：由基到基的过渡矩阵为故 下的矩阵为.那么，+ ， ， ， (+ )在基下的矩阵分别为 ， , ， .19. 证：设有可逆方阵p与q，使 b=pap , d=qcq 则 = = = 即 与 相似.20. 证：设，则

7、a，b的行向量的极大无关组中分别含有个行向量，设分别为和，则a的每个行向量均可由线性表示，b的每个行向量均可由线性表示.又可a+b的每个行向量是a与b的相应行向量的和，故a+b的每个行向量均可由，线性表示.因此a+b的行向量组的极大无关组中所含向量的个数不超过，即.21. 证：设，则，所以，.这就说明b的列向量都是以a为系数矩阵的齐次方程组的解.由于，所以解空间的维数为，从而知的极大无关组所含向量的个数，即，因此有 . 22. 证：设a，b为同一数域上的与阶矩阵，显然，方程组bx=的解向量x也满足方程组，记 ， 则，于是即.又由于 因此 .23. 证：由上题知，现在只需证明即可.考虑线性方程组

8、，设是方程组的一组解，将两边左乘xt，得，即，所以，即.于是 即有，故有 ，并且有即有.注：对复矩阵a，上式不一定成立.例如 ,.由于 故.此时，相应的关系式应为 . 24. 证：必要性.由上题已证得，充分性只要在ax=两边左乘at即可.25. 证：（1）因为，故，不妨设a的前n行线性无关，且构成的n阶满秩方阵为a1，后行构成的矩阵为a2，则 所以，但，故.（2） 同理可证.26. 解：（1）， ； （2）， ； （3）， .27. 证：因为，但，故m阶方阵c的秩，所以c是降秩的.28. 解：先求矩阵a的特征值和特征向量为 ， , 故的特征值和特征向量为 ， ， ， ， .29. 解：（1），

9、.(2), ，（3），；（4），.以上分别求出了在不同基下所对应矩阵a的特征值和特征向量，则类似于上题的方法，可求出不同基下所对应的特征值和特征向量.30. 解：（1），（2），（4）为非亏损矩阵（单纯矩阵），其变换矩阵p分别为 （1）； （2） ; （4）.31. 证 ： 设在给定基下的矩阵为a，则 32. 证：设，则存在满秩矩阵p与q，使得，故有 其中， 这说明ab与diag（）相似.另一方面，有，说明ba与相似.不难验证有 故ab与ba有相同的特征多项式，因此有相同的特征值和迹.33. 证：设a的任一特征值为，的对应于的特征子空间记为.对中任意向量z有 故，因此为线性变换的不变子空间，即

10、为中的线性变换，此线性变换的特征向量即为b的特征向量，但它又属于，由的定义知它又是a的特征向量，即a与b有公共的特征向量.34. 证：设a的特征值为，则a2的特征值为，由有，若所有，则a+i为满秩矩阵，故由（a+i）（a-i）=a2-i2=0，有a=i.35. 证：不失一般性，设b非奇异，有ab=b-1（ba）b即ab与ba相似，所以它们有相同的特征多项式.36. 证：设a为n阶方阵，具其秩为，由于a2=a，知a的列向量都是a的对应于特征值1的特征向量.因，故特征值1的几何重复度为r，其代数重复度至少为r.又的基础解系中的向量个数为，即a的特征值0的几何重复度为，其代数重复度不小于.由于一个n

11、阶矩阵的特征值的代数重复度之和恰为n，故特征值1和0的代数重复度分别为r和.可见a除了1和0外无其它特征值，而1和0的几何重复度之和为n，故a为非亏损矩阵，所以a相似.37. 证：用反证法.若a可相似于对角矩阵，对角元素即为a的特征值，且至少有一个不为0.但是，由于，于是，因为，所以，故，即a的特征值都等于0，矛盾.38. 证：由，有，从而有，即x也是的特征向量.显然的特征值为，即为的多项式.39. 解：取r3中的自然基，计算得()=(0 , -2 ,-2 ) , ()=(-2 , 3 ,-1 ) , ()=(-2 , -1 ,3 )则在基下的矩阵为 而a的特征值为，与之对应的特征向量为，则有

12、，其中.由=（）c求得的另一组基为，显然在该基下的矩阵为对角阵.40. 解：（1）因为 ，所以在基1，x，x2下的矩阵.（2）由于a原特征值为，相应的特征向量为，存在可逆阵，使，故所求的基为 .41. 解：（1）对任意的及，有 =k()+l()故是线性变换.（2）取v的简单基 由于, ,所以在基下的矩阵为 r的特征值为，对应的线性无关的特征向量为（1，1，0）t，（0，1，1）t，（0，1，-1）t，令 ， 则有，由（b1，b2，b3）=（a1，a2，a3）c求得v的另一组基为，在该基下的矩阵为.42. 证：（1）取vn的一组基，设 （）=（）a （）=（）b则有 ()（）=（）（ab） (+

13、)（）=（）（a+b）由=+，可得ab=a+b，从而有btat=at+bt.若1是的特征值，则 1也是a的特征值，从而1也是at的特征值，设at对应于特征值1的特征向量为，即，由（btat）=（at+bt），可得bt=+bt，即=0，这与是at的特征向量矛盾，故1不是的特征值.（2）因有几个不同的特征值，所以有n个线性无关的特征向量.记的对应于特征值的线性无关的特征向量为x1，x2，xn，即 （i=1，2，n），则x1，x2，xn作为vn的基时，的矩阵a=diag（）.再由ab=a+b及知 即与在该基x1，x2，xn下的矩阵都为对角阵.43. 证：对任意，有(.由于()= ()=()所以, 故

14、是的不变子空间.44. 解：(1) ( )=( )c=() b=cac = (2) 先求核) . 设=在基下的坐标为()，(在此基下的坐标为(0,0,0,0)，于是 a = 此时a的秩为，解之，得基础解系 ,作 . 显然，为核)的一组基，故核由所张成，即 )=span() .再求值域(v) . 由于(e),(e),(e),(e) = () a 而a的秩为，所以(e),(e),(e),(e)的秩也为，且(e),(e)线性无关，故组成( v)的基，从而( v)=span(e),(e) .(3) 由(2)知是核)的一组基，易知为v的一组基，由于有()=() = () d 所以在此基下的矩阵为b=da

15、d= (4) (2)知(e),(e)是值域 (v)的一组基，又知(e),(e),为v的一组基，有 (e),(e),)=() =() t所以在此基下的矩阵为 b=ta t = .45. 证：取r3中的自然基，因为(+ )()=()+ ()=（1，0，0）+（0，0，1）=（1，0，1）同理有(+ )()=（2，0，0），(+ )() =（1，1，0）这表明+ 将基变换成r3中的另一组基=（1，0，1），=（2，0，0），=（1，1，0）（易证它们线性无关）.又因（+ ）（r3）是r3的子空间，而是（+ ）（r3）的最大无关组，故这个子空间的维数为3，再由习题1.1中第22题的结果知（+ ）（r3）=r3（此时取v2=r3）.46. 解：因为()=()= =（0，0，）所以的像子空间为 r()核子空间为n()因此，dimr()=1，其一组基为（0，0，1）；dim n()=2，其一组基为（0，1，0），（0，0，1）.47. 证 ：（1）由的定义容易验证满足可加性和齐次性，所以它为线性变换.又因()=， 推知，即（零变换）.（2）若，则=0即为由一切形如（0，0，）的向量构成的子空间，它是一维子空间，则（0，0，1）是它的基. 又由维数关系 dim(v)+dim()=n便得