半角模型专题专练

1、AD半角模型例题已知，正方形ABCD,/ EAF两边分别交线段 BC DC于点E、F,且/ EAF= 45结论 1： BE+ DF= EF结论2： Sabe + Sa adf= Sa aef结论 3: AH= AD结论4:ACEF的周长=2倍的正方形边长=2AB结论5:当BE= DF时， CEF的面积最小结论 6： bM+ dN = mN结论7:三角形相似，可由三角形相似的传递性得到结论8: EA卩人是厶CEF的外角平分线结论9:四点共圆结论10: ANEPA AMF是等腰直角三角形（可通过共圆得到）结论11: MN=EF （可由相似得至U） 结论12: SAAEF= 2SAAMN（可由相似的

2、性质得至U） 结论5的证明：设正方形ABCD勺边长为1贝卩 Sx aef= 1 S1 S S3y (1=1 x)(1 y)= xy所以当x = y时， AEF的面积最小 结论6的证明： 将厶ADN顺时针旋转90使AD与AB重合 DN= BN易证 AMIA AMN MN= MN在Rt BMN中，由勾股定理可得：bM + BN2= MN2即 bM+ dN= mN结论7的所有相似三角形:Word文档DpsLDBEAs占ADEDC AMN AFE结论9的证明:Word文档 AMN DFN结论8的证明:AMNDMA因为 AMNA AFE/ 3=/ 2因为 AMNA BAN因为AB/ CD1 = / 41

3、 = / 2因为/ EAN=/ EBN= 45 A、B、E、N四点共圆(辅圆定 理：共边同侧等顶角)同理可证C E、N F四点共圆A、M F、D四点共圆C、E、M F四点共圆已知：正方形EAF 45，AE、*必会结论图形研究正方形半角模型 AMN BME AMN BAN3=/ 42=/ 4ABCD , E、F分别在边 BC、CD上，且 AF分别交BD于H、G，连EF .、全等关系(1)求证：DF、相似关系BE EF ; DG+ BH= HG; AE 平分(2)求证：CE一 2DG ； CF 2BH ； EF 2HG .(3)求证：三、垂直关系AB2BGDH 飞 AG2 BGHG ； H 烽寸B

4、EF ,AF平分 DFE .FECBC(4) 求证： AG EG : AH FH : tan HCFBE(5) 、和差关系求证： BG DG 2BE : AD DF 2DH ; | BE DF |. 2 | BH DG |.例1、在正方形 ABCD中，已知/ MAX 45，若 M N分别在边 CB DC的延长线上移动， 试探究线段MN BM、DN之间的数量关系. .求证：AB=AH.例 2、在四边形 ABC中, Z B+Z D= 180, AB=AD 若 E、F分别 在边BC CD上，且满足EF=BE +DF.求证：Z EAF=Z BAD例 3、在厶 ABC中, AB=AC Z BAC=Z D

5、AE=120，若 BD=5CE=8求DE的长。例4、请阅读下列材料： 已知：如图1在Rt ABC中，BAC 90，AB AC，点D、E分别为线段BC上两动点，若 DAE 45 .探 究线段BD、DE、EC三条线段之间的数量关系.小明的思路是：把 AEC绕点A顺时针旋转90，得到ABE，连结ED， 使问题得到解决.请你参考小明的思路探究并解决下列问题：(1) 猜想BD、DE、EC三条线段之间存在的数量关系式，并对你的猜想给予证明;(2) 当动点E在线段BC上，动点D运动在线段CB延长线上时，如图2,其它条件不变，中探 究的结论是否发生改变？请说明你的猜想并给予证明.图1Word文档例5、探究:(

6、1) 如图1,在正方形ABCD中, E、F分别是BC CD上的点，且/ EAM45,试判断BE、DF与EF三条线段之间的数量关系，直接写出判断结果： ;(2) 如图2,若把 问中的条件变为“在四边形 ABCD中A吐AD / B+Z D= 180, E、F分别是边BC CD上的点，且Z EAFZ BAD,则(1)问中的结论是否仍然成立？若成立， 请给出证明，2若不成立，请说明理由；(3) 在(2)问中，若将 AEF绕点A逆时针旋转，当点分别E、F运动到BC CD延长线上时,如图3所示，其它条件不变，则(1)问中的结论是否发生变化？若变化， 请给出结论并予以证明期L练习巩固1：如图，在四边形 AB

7、CD中, Z B=Z D= 90, AB= AD,若E、F分别在边BC CD上的点，且Z EAF=Z BAD .求证：EF=BE +DF.练习巩固2:/ CAD=/ BAE求/ BAE的度数如图，在五边形 ABCD中，AB= BC= CD= DE= EA,练习巩固3:已知：正方形ABCD中，MAN 45。，绕点A顺时针旋转，它的两边分别交 CB DC(或它们的延 长线)于点M N.(1) 如图1,当 MAN绕点A旋转到BM DN时，有BM DN MN 当 MAN 绕点A旋转到BM DN时，如图2，请问图1中的结论还是否成立？如果成立，请给予证明，如果不成立，请 说明理由；A(2) 当 MAN绕

8、点A旋转到如图3的位置时，线段BM，DN和MN之间有怎样的等量关系？请写 出你的猜想，并证明.练习巩固4(1)如图，在四边形 ABC冲，AB= AD / B=Z D= 90, E、F分别是边BC CD上的点，且/ EAM求证：EF BE FD;(2)如图在四边形 ABC冲，AB= AD / B+/ D= 180, E、F分别是边BCCD上的点，且/ EAM/ BAD(1)中的结论是否仍然成立？不用证明.(3) 如图，在四边形 ABCDK AB= AD, / B+/ ADO 180, E、F分别是边BC CD延长线上的点，且/ EAF=/ BAD (1)中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不

9、成立，请写出它们之间的数量关系，并证明.(4) 如图，将边长为4cm的正方形纸片ABC沿 EF折叠(点E、F 分别在边AB CD上)，使点B落在AD边上的点M处，点C落在点N处,MN与 CD交于点P,连接EP.(1)如图，若M为AD边的中点, 厶AEM的周长二 cm 求证：EP= AE+ DPAEF(2)随着落点M在AD边上取遍所有的位置(点 PDM的周长是否发生变化？请说明理由.(5).如图17,正方形ABCD E、F分别为BC CD边上一点.(1) 若/ EAF= 45o.求证：EF= BE+ DF.(2) 若厶AEF绕A点旋转，保持/ EAF= 45o,问/ CEF的周长是否随 AEF位

10、置的变化而变化？(3) 已知正方形 ABCD的边长为1,如果/CEF的周长为2.求/ EAF 的度数.练习巩固5、如图，已知在正方形 ABCD中, MAN= 45,连接BD与AM, AN分别交于E、F两点求证：(1) MN= M申 DN(2) 点A到MN的距离等于正方形的边长；(3) VCMN勺周长等于正方形ABCDi长的2倍;(4)SWABCDSVCMN2ABMN(5) 若 MAB= 20,求 AMIN(6) 若 MAB 0 p p 45o，求 AMN(7) EF E宵 DF2;(8) VAENWVAFM等腰三角形；(9)SVAEFSVAMN练习巩固6、在等边 ABC的两边AB , AC所在

11、直线上分别有两点M ,N ,D为ABC外一点，且 MDN 60 ,BDC 120 , BD CD，探究：当点M ,N分别爱直线AB , AC上移动时，BM , BN , MN之间的数量 关系及AMN的周长Q与等边ABC的周长L的关系.ACD图(1)如图，当点M ,N在边AB , AC上，且DMDN时,BM , NC , MN之间的数量关系式(2)如图，当点M , N在边AB ,AC上，且DMDN时，猜想(1)问的两个结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明;(3)如图，当点M ,N分别在边AB ,CA的延长线上时，若AN x，贝U Q练习巩固7、如图所示， ABC是边长为1的等边三角形， BDC是顶角为120的等腰三角形，以D为顶点作一个60的/ MDN点M N分别在AB AC上，求 AMN勺周长练习巩固8女口图，在正方形 ABC冲，BE=3 EF= 5，DF= 4,求/ BA曰/DCF为多少度。巩固练习9、如图 1，Rt ABCRt EDF / ACB=Z F= 90,/ A=Z E= 30。厶 EDF绕着边