13—立体几何中地向量方法

1、13立体几何中的向量方法【基础巩固】1.a=(X+1,0,2),b=(6,2ti1,2X)，先ag则入与口的值可以是(1 1 1(A)2,2(a) 一匸(0-3,2(D) 2,22 如图所示,PD垂直于正方形ABCD所在平面,AB=2, E为PB的中点,8&v。匕怜二3若以DA, DC, DP所在直线分别为x, y,z轴建立空间直角坐标系则点E的坐标为()(0(1,1,2)J21(A) 6 aJL5(D)3a3.正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为a,点M在AC,上且/1 M=2- MC川为bB的中点，则|MN|( )4 如图所示已知PA丄平面ABC, ZABC=120, PA=AB=BC=

2、6,则丨PC|等于(85.a=(1,A , 2), b= (2, T, 2)且a与b的央角的余孩值为,则入二6.已知 A(4,1,3),B(2,3,1),C(3,7,5),点 P(x,1,3)在平面 ABCJlJ x=【空间三种角】设异面直线餌b所成的角为则cos e二帀其中a, b分别是直线召，6的方向向童.1 异面直线所成角2.直线与平面所成角如图所示设/为平面a的斜线 /n玄刁1山为/的方向向量，a所成的角，则sin p = |cos a,刀丿I = I ：丨I ： I 为平面a的法向量、0为/与图3.二面角(1)若個”分别是二面角(7/0的两个平面与梭/垂直的 异面直线，则二面角(或其

3、补角)的大小就是向量厉与方的夹角. 如图(”平面a与相交于直线人平面a的法向量为g平面0的法向量为几i, ih)=。则二面角如图/方为&或n&设二面角大小为代则|cos 01 = Icos (2)(3).考点一异面直线所成角E人典例引领（2015 全国卷I）如图，四边形财为菱形，Z磁二120。, , F是平面 磁0同一侧的两 点，歴丄平面磁P, DF丄平员ABCD, BE=2DF, AELEC.证明：平面丄平面旳；求直线与 直线防所成角的余孫值.即时应用如图，四面体磁P中，0是少的中点.CA=CB=CD=BD=29 AB=AD二迄求证：AO斗看BCD；求异面直线* 与少所成角的余弦值.考点二直

4、线与平面所成角典例引领（2016全国丙卷）如图，四棱锥只磁0中，刃丄底面力应Q AD/BC, AB=AD =AC=39 PA=BC=X “为线段上一点，AM=2MD为兀的中点.证明剜平面M;（2）求直线/W与平面删所成角的正旅值.即时应用（2016市第二次质量检测）如图，六面体朋CO HEFG中,四边形磁P为菱形，AE ffB。”都垂直于平面磁卩若二DH二DB=A, AE=CG=3.求证:EG丄DF;求空与平面曰瀏 所成角的正呱值.考点三二面角典例引领即时应用（2017省三市联考）如图，三棱柱磁磁中，四边形川财是矩形尸是的中点&丄怨EG AD=AE=EF= I,平面/43G F 丄平 ABCD

5、.求证：丄平面FBC ；（2）求二面角2滋。的正弦值.13立体几何中的向量方法基础巩固1已知a=(X+1,0, 2),b=(6,2m1,2X)，先殆则入与卩的值可以是(A )1 1 1(D) 2,2(A) 2,2 (8)卑(03,20 + 1 _26=ZT解析：由题意知,12A-1 =0,M = 2,- 3,1I1卩二一=.解得I 2或22 如图所示,PD垂直于正方形ABCD所在平面,AB=2, E为PB的中点,cos= 3 ,若以DA, DC, DP所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系，则点E的坐标为(A )13(A) (1,1,1)(B) (1,1,2)(0 (1,1,2)(D)

6、(1,1,2)解析:设 P (0,0, z),依题意知 A(2,0, 0), B(2, 2,0),則E1,2),于是 DP= fOQz)/=(-i,i,2),. - |z|仝+2 空C0S=|DP|/11= J 4=3.解得z=2,由题图知z=2,川为缶B的中点，則I MN1 MC 3.正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为a,点M在AC,且4M=2(A)03 荷 715(A)6 a (B)6 a (C)6 a (D)3 a解析：以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz,WA(a, 0,0),C, (0, a, a),N (a, a, 2).设 M (x, y, z) 1MCV点M在AC

7、,上且/1 M=2:.(xa, y, z)=2 (-x, a-y, a-z)2 a a /.x=Aa,y=A, z=3.2a a aAM(3,3,3),=6 a.故选A.4 如图所示已知 PA丄平面 ABC, ZABC=1203PA=AB=BC=6,则 |PC| 等于(c ) (A) 3(B)6(C)12(0)1444 44解析：因为 PC二 PA+AB+BC,aPC2=PA2+ABbC2aBbc=36+36+36+2 X36cos 60 =44.所以 PC|=12.5. 若向量a= (1,A , 2), b= (2,-1,2)且a与b的夹角的余脈值为。，则斤二.8 a-b 2久+ 4解析：由

8、已知得e|a|b|5 + ”.J2.85 + A=3(6-),2解得入=2或入=55.2答案:2或556. 已知 A (4,1,3), B (2, 3,1), C(3,7,5),点 P (x, T, 3)在平面 ABCJlJ x=-4解析:根据共面向量定理设/!PB+u/IC,即(x4, -2,0) = X (-2, 2,2)+u (-1,6, -8),x4 = _2久耳 2 = 2久+ 6内 由此得228/t解得入=_4, u=1,所以 x=4+8-1=11 答案：们1.异面直线所成角设异面直线a, 0所成的角为则cos 0 =总其中a, 6 分别是直线a, 6的方向向童.72.直线与平面所

9、成角如图所示设/为平面a的斜线/n a=A9玄为/的方向向量，为平而a的法向量，0为/与 a所成的角则 sin 0 = |cos (a, I = I ： I I ： I 3.二面角(1)若少分别是二面角，/0的两个平面与棱/垂直的异面直线，则二面角(或其补角)的大小就是向量 牙与方的夹角，如图(1).图平面a与0相交于直线/,平面a的法向量为m平面”的法向量为肪(m rh) = &,则二面角a/3为&或TI &设二面角大小为久则|cos考点一异面直线所成角典例引领如图(2X3) (2015 全国卷I )如图，四边形“财为菱形，Z磁=120, , F是平面磁P同一侧的两点砖丄平面磁込DF丄平&

10、ABCD. BE二2DF9 AE1.EC.(1)证明：平面磁丄平面(2)求直线人与直线旷所成角的余弦值.解：证明：连接80设勿D“于点G,连接尬FG,莎在菱形磁P中不妨设锯I .由Z磁=120。,可得AG=GC=y由处丄平面磁9, AB=BC、可知AE=EC.久AE丄EC,所以日二审且EG丄AC.在RSEBG中，可得5二&2、氐DF=在Rt磁中，可得刖二乎.在直角梯形皿应中，由BD=2： BE二迄，护仝，可得吕从而 eC+f&=eF、所以曰?丄弘又ACrFG=Gt所以FG丄平面g因为FG匕平面所以平而*日？丄平面(2) 以G为坐标原点，分别以方，的方向为“轴，y轴正方向，|F|为单位长度，建立

11、空间直角坐标系&刃么由可得0(1)，0), (1,0,迈)，彳一 1,0,谢，C(0,W,0),所以迈，) 卞二（T , 7, ）故cos 4丄“ 且肛=7朋_80过府(野=& 以川为坐标原点，兔的方向为轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系4 X”.由题意知 P(0,0,4), ”(0,2,0), G(逅 2, 0),看=(0,2, 4),百二俘,1, 一 2)万二俘,1,2)设n (x, y9 n)为平面角购的法向量，/? 方=0,加12y_4z=0,方=0,a25-可取 27=(0, 2,1 ) 于是|cos EGCHF=P.由已知可得平直ADHE平& BCGF,所以刊能同理可得：EF/

12、HG,所以四边形日矽为平行四边形，所以P为“的中点，0为的中点，所以0P块AE.从而胪丄平面磁D,又04丄倒所以0B, “两两垂直，由平面几何知识得匪2分别以2?,初，N的方向为”轴，y轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系刀刃z,则(0,2,0), (23, 0,3),F(0,2,2), P(0,0,3),所以辰二仗，2,3),朮二(2 迈，0,0),牙=(0,2,1).设平面曰础的法向量为n (x, y, z) t可得x=0,2y-z=0,令則z=2.所以/二(0,1,2).设处与平面日础所成角为&,45 一一25所以空与平面和/所成角的正孫值为仝g考点三二面角典例引领(2016 全国乙卷)

13、如图，在以儿2 C A E, F为顶点的五面体中，施ABEF为正方形，AF=2FDZ砂=90。,且二面角A/b?F与二面角&歴尸都是60-(1) 证明：平面磁尸丄平面日刃0(2) 求二面角E威川的余弦值.解：(1)证明：由已知可得胪丄” ；AE4.甩,所以人F丄平面EFDC.又胪z平面倔5故平面丄平面曰皿过。作丄硏垂足为G.由(1)知加丄“ABEF.以G为坐标原点，号的方向为*轴正方向，I下I为羊位长，建立如图所示的空间直角坐标系G由知20咗为二面角0/IFF的平面角，取乙DFE二g ,則吩 2,心,可得 4(1,4,0), 5(-3,4,0), F(-3, 0,0), 0(0, 0, .由已

14、知碍ABEF、所以M “平面EFDC.又平面/I及劝 I平面EFDC=Ob故肋為CD/EF.由BE”AF.可得空丄平面旳0所以乙CEF为二面角G肪F的平面角，ZCEF=60 .从而可得t?(2,0,羽).所以-? = (1,0,审)，方=(0,4,0), 7?=(-3, V,羽)，7?=(4, 0, 0).设刀一(x,pz)是平面 3GF 的法向量, 则F=0，FX+A/3Z 二 0,L4v=0.n EB =0,所以可取力=(3,0,羽). =0,设帀是平面磁o的法向董，Kjy初=0,同理可取777=(0,屈4).f I n刃2八/19 则 cos 5E=T7 帀 T_19219_ 19 由图知，二面角B BO *为钝角,故二面角麼力的余戏值为由题悟法利用法向量求二面角时的2个注意点(D对于某些平面的法向量要注意题中隐含条件，不用单独求.(2)注意判断二面角的平面角是锐角还是钝角，可结合图形进行，以防姑论失误.即时应用(2017省三市联考)如图，三棱柱 腔7丸四边形朋是矩形，F是“的中歎EA丄AB, AD=AE=EF= I,平面肋GF丄平面磁6(1)求证：丄平面舷7求二面角&滋0的正弦值.解：(1)证明：四边形磁P是矩形，:.BCLAB,又平面”8GF丄平面力仇込/. BCr 平面 ABGE：:AFc 平面 ABGE。: BC1AF 在力朋中AF=BF=y (